13　マクスウェルの方程式と電磁波
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１．マクスウェル方程式

［１］　これまでにでてきた電磁気学の次の４つの基本法則をマクスウェルの方程式といいます。

マクスウェルの方程式

　(１)　divD　＝ρ ∇D　＝ρ 電荷のガウスの法則　[#]
　(２)　rotE　＝− ∂B
∂t
∇×E　＝− ∂B
∂t
ファラデーの法則　[#]
　(３)　divB　＝0 ∇B　＝0 磁荷のガウスの法則　　[#]
　(４)　rotH　＝ ∂D ＋j
∂t
∇×H　＝ ∂D ＋j
∂t
アンペールの法則　[#]

［２］　真空中では，さらに

ρ＝0，　　j ＝ 0
D ＝ ε0E
B ＝ μ0H

なので，Ｄ と B を消去して，

(１)’　div E　＝ 0
(２)’　rot E　＋μ0 ∂H  ＝ 0
∂t
(３)’　div H　＝ 0
(４)’　rot H　−ε0 ∂E  ＝ 0
∂t

［３］　(２)’の回転をとって，(４)’を代入して，(ベクトル解析の公式，rot･rot [#] を用います。)

　rot (rotE ) ＋μ0 ∂rotH 　＝ ( grad (divE )−ΔE  ) ＋ε0μ0 ∂2E
∂t ∂t2
  　　　　　　　　　　　　　  ↓　　div E ＝ 0
　　　　　　　　　　　　　　　　＝−ΔE ＋ε0μ0 ∂2E  ＝ 0　　
∂t2

一方で，(４)’の回転をとって，(２) ’を用いて，

　rot (rot H )　−ε0 ∂rotE  ＝ grad (div H )−ΔH ) ＋ε0μ0 ∂2H
∂t ∂t2
　　　　　　　　　＝−ΔH＋ε0μ0 ∂2H  ＝ 0
∂t2

すなわち，マクスウェル方程式から電場，磁場が波動方程式 [#] を満たしていることがわかりました。これらの結果にD ＝ ε0E，B ＝ μ0H，関係を用いると，D ，B に対しても同形の微分方程式を得ることができます。

まとめ，

真空中の電磁波の方程式
ΔE　＝ ∂2E
c2∂t2
＆
ΔH　＝ ∂2H
c2∂t2
または，
ΔD　＝ ∂2D
c2∂t2
＆
ΔB　＝ ∂2B
c2∂t2
ただし，c ＝
1
ε0μ0

この方程式に従って，振動，伝播する電磁界を電磁波と呼びます。

波動のごく基本的な性質と真空中，および誘電体中を伝わる電磁波については Appdix B1 に，また，導電体中を伝わる電磁波については，Appendix　B2 にまとめましたのでそちらを読んでください。







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