Appendix B1 真空中と誘電体中での電磁波
f-denshi.com 　［目次へ］　更新日： 04/10/14

１．真空中を伝わる電磁波の波動方程式

13章で示したように真空中でのマックスウェル方程式 [#]

（１）　∇E　＝ 0 　　　　　　；　 （２）  ∇× E　＋		∂B	＝ 0
		∂t

（３）　∇H　＝ 0　　　　　　；　　（４）  ∇×H　−		∂D	＝ 0
		∂t

から次の波動方程式が導かれます。

∂2E（r，t）	＝ c02∇2E（r，t）　　 　・・・・・　　（１）
∂t2

∂2H（r，t）	＝ c02∇2H（r，t）　　　・・・・・　　（２）
∂t2

c0 ＝	1 はこの波動の伝播速度＝真空中の光速度です。 ε0μ0

この方程式の平面波解の一つは，

工学では，虚数の符号を換えて，E （r，t ）＝E ₀ exp [− i ( k ･r − ωt ) ] のように定義することもあります。　⇒[#]

これらパラメーターの意味は一般的波動[#]と同じで，パラメーター間には，

｜k |　  ＝ 2π/λ， ｜k | c0＝ 2πc0/λ＝2πν　＝ ω　    ω2   ＝ c02（kx2＋ky2＋kz2） ＝ c02k2

なる関係が成り立ちます。また，この解をマックウェルの方程式（１）〜（３）に代入すると，

k ・E ₀ ＝ 0，
k ×E ₀ ＝μ₀ωH ₀ ＝ωB₀　　　　
k ・ H ₀ ＝0

なる関係のあることも確かめられます [#]。つまり，波の進行方向 k と変位：E ₀ ，H ₀ は互いに直交しており，下のような方向関係をもった横波となります。[#]

特にz軸方向に進む電磁波は，

E （r，t ）＝E 0 exp [ i ( k z − ωt ) ] 　　　　　＝E 0 exp i ω z − t c0

２．空気中（ε＝ε_rε₀，μ＝μ₀ ）を伝わる電磁波

［１］　空気中では誘電率　ε＝ε_rε₀　なる誘電体中を伝わる電磁波として取り扱うことができます。これは真空中の電磁場の満たす波動方程式[#]において，係数を　ε₀　→　ε_rε₀　と記号を置き換えること，すなわち，

c0 ＝	1 　　→　　 1 　＝　 c0  ＝ c0 εr n ε0εrμ0 ε0μ0

とすることにすぎないので，空気中を伝播する波動方程式は，

∂2E （r，t）	＝		c02	∇2E （r，t）　　 　・・・・・　　（３）
dt2			n2

∂2H （r，t）	＝		c02	∇2H （r，t）　　　・・・・・　　（４）
dt2			n2

となり，

誘電体中を進む光は位相速度 c0/n で伝播する波

であることがわかります。ただし，ここで 屈折率 と呼ばれる，

n ＝ εr

を定義して用いました。

［２］　ここで，真空中の解を参考にして，（３）の解を

E （r，t ）＝E ₀ exp [ i ( k ･r − ωt ) ] 　　　　( ←　真空中の k から k と換えています。)

とおいて（３）に代入してみると，

− E （r，t ）ω²＝−E （r，t ）（c₀²/n ²）（k_x²＋k_y²＋k_z²）

すなわち，

ω2 ＝ c02（kx2＋ky2＋kz2）/n2＝ c02k2/n2     　                  　⇔    n2ω2 ＝ c02k2　 　　　　　　　　　　　⇔    k2 ＝ n2ε0μ0ω2 ただし，k ＝｜k｜，k ＝ （kx，ky，kz ）

↑　真空中では ω² ＝ c₀²（k_x²＋k_y²＋k_z²） ＝ c₀²k² 　でした。

を満たさねばならず，これから， （ 波の性質： 2πν＝ ω＝ 2πν＝2πv/λより [#] ）

kc0 ＝ nω ＝ 2πnν ＝ 2πnc0/λ 　　　↓ 　　　　  k ＝ 2πn/λ

なる関係も導かれます。つまり，真空中の波数 k を，k　→ k/n，もしくは，c₀→c₀/n などと置き換えることで，空気中（誘電体）の対応する関係式(パラメータ)が得られます。特にz方向に進む電磁波は，

E ( z，t ) ＝E 0 exp i ω n z − t 　　　　　　　[電場成分] c0

と表されます。

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補足

平面波： E ＝E₀ e^{i (k ･r −ωt )}

（E_0x exp φ，E_0ｙ expφ，E_0z expφ），　　ただし，φ≡i ［ xk_x＋yk_y＋zk_z−ωt ]

に表の左演算子が作用するとき，右の演算子で代用できる。

演算子		掛け算
(1)  ∂ ∂t	⇔	−i ω
(2) ∇	⇔	i k
(3) ∇×	⇔	i k ×

（１）は簡単なので，(2)　を示すと，（　φ ≡i ［xk_x＋yk_y＋zk_z−ωt ]　として ）

 ∇･E

＝		∂E0xexpi ［xkx＋yky＋zkz−ωt ]	＋	∂E0yexpi ［xkx＋yky＋zkz−ωt ]	＋	∂E0zexp i ［xkx＋yky＋zkz−ωt ]
		∂x		∂y		∂z

＝　 i k_xE_0xexp φ＋i k_yE_0yexp φ＋i k_zE_0zexp φ

＝i k ・E

(3)は

∇×E　

＝		∂E0zexp i ［xkx＋yky＋zkz−ωt	−	∂E0yexpi ［xkx＋yky＋zkz−ωt ]
		∂y		∂z

，	∂E0xexpi ［xkx＋yky＋zkz−ωt ]	−	∂E0zexpi ［xkx＋yky＋zkz−ωt ]
	∂z		∂x

，	∂E0yexpi ［xkx＋yky＋zkz−ωt ]	−	∂E0xexpi ［xkx＋yky＋zkz−ωt ]
	∂x		∂y

＝（i k_yE_0zexpφ−i k_zE_0yexpφ，i k_zE_0xexpφ−i k_xE_0zexpφ，i k_xE_0yexpφ−i k_yE_0xexpφ）

＝i k ×E ＝　（i k ×E ₀） expφ

すると，本文中の k ･E ₀ ＝ 0 なる関係は，

0 ＝ ∇E　＝ k ・E  ＝ （ k ･E ₀ ）exp [ i ( k ･r − ωt ) ]　⇔　k ･E ₀ ＝ 0

と計算ができて，波数ベクトルと電場が直交していることが示される。他の式の導出は演習問題。

注意：　

電磁波を，空間部分と時間部分の符号を変えて，E ＝E₀ e^{i ( ωt-k ･r )}　と定義している教科書（電気回路など工学系の教科書）もありますが，材料科学を主題とする「ときわ台学」では，量子力学で多く使われるここで示したような符号を採用しています。この違いは次章で複素屈折率取り扱うときに虚数部の符号の違いとなって残るのでいろいろな文献を並行して読むときには注意が必要です。悩まないように。

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