２　ベクトルの微分法と公式
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１．ベクトル(値)関数の微分の定義

［１］　ベクトル値関数の微分は各成分を媒介変数で微分することで定義します。

　１変数ベクトル値関数　A ＝A (t) ＝ (A1(t)，A2(t)，A3(t))　の微分は，

A ’＝　 dA  ＝ dA1 ， dA2 ， dA3
dt dt dt dt

　このA '(t)のすべての成分が0 となる t ＝t0 の点を特異点，そうでない点を正則点といいます。すべての t でA'(t)が連続関数で正則点であるとき A(t) をなめらかなベクトル値関数といいます。(特異点では何が起こるのでしょうか⇒[#])

［２］　３変数ベクトル値関数 A ＝A(x，y，z)＝(A1(x，y，z)，A2(x，y，z)，A3(x，y，z)) の偏微分は，

x についての偏微分　⇒　 ∂A  ＝ ∂A1 ， ∂A2 ， ∂A3
∂x ∂x ∂x ∂x
y についての偏微分　⇒　 ∂A  ＝ ∂A1 ， ∂A2 ， ∂A3
∂y ∂y ∂y ∂y
z についての偏微分　⇒　 ∂A  ＝ ∂A1 ， ∂A2 ， ∂A3
∂z ∂z ∂z ∂z

などと定義します。

［３］　ベクトルの微分に関する初等的な公式です。

基本公式　

(１)   d　 (A＋B) ＝ dA ＋ dB
dt dt dt

(２)   d (φA) ＝ φ dA ＋ dφ A
dt dt dt

(３)   d (A･B) ＝ dA ・B＋A・ dB
dt dt dt

(４)   d (A×B) ＝ dA ×B＋A× dB
dt dt dt

証明は省略します。

２．微分演算子

これから述べるような微分演算子を成分とするベクトルを考えることで，多変数ベクトル値関数の微分計算を形式的に進めることができます。以下この表記法の定義と計算規則をまとめます。

［１］　微分演算子の定義

・ハミルトン演算子とラプラス演算子

定義１
(１) ハミルトン演算子　∇ ＝ ∂ ， ∂ ， ∂ 　　→　ベクトルのように扱うベクトル演算子
∂x ∂y ∂z
(２) ラプラス演算子　　 ∇2 ＝ ∂2 ＋ ∂2 ＋ ∂2 　　→　スカラのように扱うスカラー演算子　
∂x2 ∂y2 ∂z2

∇をナブラ［ nabla ］とかデル[ del ] ともいいます。 ∇2 ＝Δ とも書きます。

［２］　演算規則

定義２　［∇の混じった演算］

(１) ∇φ＝ ∂φ ，
 ∂φ ，
 ∂φ
∂x ∂y ∂z　
⇔  gradφ
(２) ∇A ＝∇･A ＝ ∂A1 ＋ ∂A2 ＋ ∂A3
∂x ∂ｙ ∂ｚ
⇔  divA
(３) ∇×A　＝ ∂A3 − ∂A2 ， ∂A1 − ∂A3 ， ∂A2 − ∂A1
∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
⇔  rotA
∇･φは∇φとも書きます。
(１)gradφ　勾配［ gradient ］ といいます。　　なぜ，勾配というのか　　⇒　方向微分　[#]
(２)divA　発散［ divergence ］ といいます。
(３)rotA　回転［ rotation ］　といいます。　　(　curl A　とも書きます　)

(１)gradφ，(２)divA　(３)rotA　の物理的な意味ついては，Appendix2，Appendix3，および，Appndix　A4　を参考にしてください。

( 注意)　∇φはただのベクトルです。一方，φ∇＝ φ ∂　 　，φ ∂　 　，φ ∂　 　はベクトル演算子です。
∂x ∂y ∂z

重要なテクニック：

∇(φψ)＝φ∇ψ＋ψ∇φ　の計算を，

　　⇒　∇(φψ)　＝(∇ψ＋∇φ)(φψ)
　　　　　　　　＝∇ψ(φψ)＋∇φ(φψ)
　　　　　　　　＝φ∇ψ＋ψ∇φ　　　　　　

のように進めると見通しよく計算できます。ここで，∇ψ　はψだけに作用する微分作用素，∇φ　はφだけに作用する微分作用素という意味です。添え字に記した関数以外に作用するときは演算子∇は定ベクトルのように扱われます。

(注意)　ついでに，コメントしておくと，∇(A･B)≠B(∇A)＋A(∇B)　です。　正解は→ 公式２-(１)。

［３］

定義３　［　Δ の混じった演算　］

(１)　Δφ＝ ∂2φ ＋ ∂2φ ＋ ∂2φ
∂x2 ∂ｙ2 ∂ｚ2
⇔  div･gradφ＝ ∂2φ ＋ ∂2φ ＋ ∂2φ
∂x2 ∂ｙ2 ∂ｚ2
(２)　ΔA ＝(ΔA1,ΔA2,ΔA3) ⇔  grad･divA＝(ΔA1,ΔA2,ΔA3)
Δ がスカラーのように扱われていることに注意してください。

３．初等的な公式  (厳選)

［１］　よく使う公式　　

公式１　　［２階微分］

(１)　∇×(∇φ) ＝ 0　　　　　　　

(２)　∇･(∇×A ) ＝ 0　　　　　　　　

(３)　∇×(∇×A ) ＝ ∇(∇･A )−∇2A

⇔  rot･gradφ ＝ 0

⇔  div･rotA  ＝ 0

⇔  rot･rotA　＝ grad divA−ΔA

(１)∇×(∇φ) ＝ (∇×∇)φ ＝ 0　　(←　外積公式　５．公式(3)，(1)　より )

(２)∇･(∇×A ) ＝ (∇×∇)･A ＝ 0　　(←スカラー３重積[#]より，中央はA ･(∇×∇) であるが，常に∇をA の左におくことに注意して⇒　(∇×∇)･A と表記している。）

　　これから常に，div B　＝ 0　ならば， B ＝ rot A  なる A が存在する。　A をベクトルポテンシャルという。

(３)∇×(∇×A ) ＝ ∇(∇･A )−∇2A　(←ベクトル三重積[#]　∇をA の左におくことに注意して)

［２］

公式２　［分配法則］

(１)　∇(A ･B )
　　　＝(B･∇)A＋(A･∇)B
　　　　　　　　　　　＋A ×(∇×B )＋B ×(∇×A )

⇔  grad(A ･B )
　　　＝(B∇)A＋(A∇)B
　　　　　　　＋A×(rotB )＋B×(rotA )
(２)　∇･(A×B )＝B･(∇×A )−A ･ (∇×B )

(３)　∇×(A×B )
　　　　　　＝(B･∇)A−(A･∇)B
　　　　　　　　　　　＋A(∇B )−B(∇A )

 ⇔  div(A×B )＝B rotA −A rotB

⇔  rot(A×B )
　　　　　　＝(B∇)A−(A∇)B
　　　　　　　　　＋A(divB )−B(divA )
(４)　∇×(φA ) ＝ −A × ∇φ＋φ∇×A　　　　　　　　　　 ⇔  rot(φA )＝ −A ×gradφ＋φrotA
(５)　∇･(φA ) ＝ A ･∇φ＋φ∇A　 ⇔  div(φA )＝ A ×gradφ＋φdivA
ここでも，内積と外積が混じりあう式は，「計算が可能な順に計算すること」との暗黙の了解がなされていることに注意。[#]

(１)　左辺＝∇A(A･B )＋∇B(A･B )

ここで，ベクトル三重積[#]から，

B ×(∇A ×A ) ＝ ∇A(A ･B ) −(B ･∇A)A　
A ×(∇B ×B ) ＝ ∇B(A ･B ) −(A ･∇B )B　

が成り立ちます。これらの辺々を足して移行し，整理すれば，

　∇A(A･B )＋∇B(A･B )
　　　　　＝B ×(∇A ×A )＋(B ･∇A)A ＋A ×(∇B ×B )＋(A ･∇B )B　
　　　　　＝(B･∇)A＋(A･∇)B ＋A×(∇×B )＋B ×(∇×A )

(注意)
　　　∇A･(A･B )＝(∇A･A )･B＋A･(∇A･B )＝(∇A･A )･B ＋0 ＝B ･(∇A )　
　　　とは形式的な結合法則が成り立たないのでできない！ (A･B)はスカラーです。

（１）’　　もし，ここで，B が定ベクトルならば，

∇(A ･B )＝(B･∇)A＋B ×(∇×A ) 　⇔　B ×(∇×A ) ＝∇(A ･B )−(B･∇)A
　　　　　(電磁場中の正準運動量を求めるときに利用します　↑)

(２)　左辺 ＝ ∇A･(A×B)＋∇B･(A ×B )　　　←スカラー３重積[#]，演算子∇BをB の左におくことなどに注意して
　　　　　 ＝ B ･(∇A×A )−∇B(B ×A )
　　　　　 ＝ B ･(∇A×A )−A ･(∇B×B )
           ＝ B ･(∇×A )−A ･(∇×B )

(３)　左辺 ＝ ∇A×(A×B )＋∇B×(A×B )　　(←ベクトル三重積[#]　演算子∇AをA の左におくことなどに注意して)
　　　　　 ＝ (∇A･B )A −( ∇A･A )B　＋｛(∇B･B )A −( ∇B･A )B　｝
　　　　　 ＝ (B ･∇A)A − B(∇A･A )  ＋ A(∇B･B )　− (A ･∇B)B
           ＝ (B ･∇)A − B(∇A )  ＋ A(∇B )　− (A ･∇)B

(４)　左辺 ＝ ∇φ×(φA )＋∇A ×(φA )
           ＝ ∇φφ×A ＋φ∇A ×A　
           ＝ ∇φ×A ＋φ∇×A　
　　　　　 ＝ −A ×∇φ＋φ∇×A　

(５)　左辺 ＝ ∇φ･(φA )＋∇A ･(φA )
           ＝ ∇φφ･A ＋φ∇A ･A　
           ＝ A ･∇φ＋φ∇A　
　　　　　

［３］

公式３　　

(１)　∇･(φ∇ψ)＝∇φ･∇ψ＋φ∇2ψ

(２)　∇･(φ∇ψ−ψ∇φ)＝φ∇2ψ−ψ∇2φ

(３)　∇2(φψ)＝φ∇2ψ＋2∇φ･∇ψ＋ψ∇2φ

(１)　左辺 ＝ ∇φ･(φ∇ψ)＋∇ψ･(φ∇ψ)
　　　　　　　　　　　＝(∇φ･φ)・∇ψ＋φ(∇ψ･(∇ψ)) ＝ 右辺

(２)　左辺 ＝ (１)の右辺−(φとψを交換した(１)の右辺) ＝ 右辺

(３)　左辺 ＝ ∇ψ・(∇(φψ))＋∇φ・(∇(φψ))
　　　　　　　＝∇ψ・(φ∇ψ＋ψ∇φ)＋∇φ・(φ∇ψ＋ψ∇φ)
　　　　　　　＝φ∇2ψ＋∇ψ･∇φ＋∇φ・∇ψ＋ψ∇2φ)
　　　　　　　＝φ∇2ψ＋2∇φ･∇ψ＋ψ∇2φ


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