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９ 電流が作る磁場：ビオ･サバールの法則 | |
| f-denshi.com ［目次へ］ 最終更新日：03/05/18 | ||
前章で導かれた法則の微分形がビオ･サバールの法則です。
電荷の移動 （ ＝電流 ） によって生じる磁場の方向，大きさを与えるのがビオサバールの法則 (Biot-Savart Law) です。
| ビオサバールの法則 （１） 原点に電流 I が流れている導線の微小長さを ds とすると，この部分が位置 r に作る磁場は， で与えられる。ベクトルの向きは右下図参照。 磁場はこれを導線全体にわたって積分して求まる（重ね合わせの原理）。 （２） 電荷 Q が速度v で動いているとき，位置r に作る磁場は
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外積 ”×” については⇒[#]，運動電荷，もしくは電流要素から位置を指すベクトルをr とします。
この法則は実験事実としてそのまま受け入れることもできますが，クーロンの法則と相対性原理に基づいて必然的に導かれる（予測される）ものです。これを簡単に見ておきます。(きちんと示すには電磁ポテンシャルの知識が必要です。⇒[#])
［１］ まず，線電荷密度σの無限直線が作る静電場が以下のような積分で計算される [#] ことを思い出して下さい。
dE ＝ σsinθdz ， sinθ ＝ R / r， r ＝（ R2+z2）1/2 4πε0r2
⇒ 積分して， E ＝ σ 2πε0R
この最後の式が前章で求めた電流 I が流れる無限直線の作る磁場 [#]，
H ＝ I ････････ [*] 2πR
と同形 （ R に反比例 ）であることに気がつきます。また，先に考察したように磁場がローレンツ短縮で生じる電荷 ( 電荷密度の変化 ) に起因することから電場と同様に重ねあわせの原理が適用され，各電流要素が作る磁場の総和（ 積分 ）で磁場を計算することが妥当だとわかります。結局，(σ/ε0) sinθdz ⇔ Isinθds という（数学上の）対応を考えて，磁場の微分要素は，
dH ＝ I sinθ･ds 4πr2
とおけばよいことがわかります。これを積分すれば確かに [*] が得られます。磁場の方向まで考慮すると，
dH ＝ I ds×r 4πr3
とベクトルで書けることもわかります。これはビオサバールの法則に他なりません。
［２］ また，電流 I ds は dQ ・v と書けるので，（ I＝dQ/dt ， ds/dt＝v ）
dH ＝ dQv ×r 4πr3
微分量 d の中身を見て，
H ＝ v ×（Qr） ＝ v ×ε0E ； ただし，E ＝ Qr 4πr3 4πε0r3
が得られます。E はクーロンの法則から電場を導入したときの定義式[#]に倣ったものです。ただし，今の段階ではまったく形式的な電場の表現でしかありません。
［３］ ビオサバールの法則の積分形を書いておきます。
| ビオサバールの法則 ［積分形］ ( 09/06/11 追加 ) （１） 回路Cに定常電流 I が流れているとき，位置 r に作られる磁場，磁束密度は， （２） 位置sにおける電流分布 j (s) が与えられているとき，位置 r に作られる磁場，磁束密度は， で与えられる。 |
無限に長い直線電流が作る磁場の計算 (積分の具体的計算方法) はこちら⇒[#]
［１］ ビオサバールの法則を使ってリングに沿って回り続ける電流 ［ 円電流 ］ の中心線上にできる磁場を計算しましょう。これは，原子一つが作る磁場を説明する古典的な”分子電流”モデル[#]などで重要です。
円電流がその中心軸上で右図の原点から z の位置に作る磁場は積分後は z 成分（dH）z しか持たず，
（dH）z ＝ dHcosα ＝ dH･R/r， r ＝ （ R2＋z2 ）1/2
となります。また，電流と r とのなす角度は， θ＝π/2；（sinθ＝1） なので，ビオサバールの法則より，
（dH）z＝ I sinθ ds ・ R ＝ I Rds 4πr2 r 4πr3
電流リングの弧長sに沿ったスカラー関数の線積分[#]を行うと，
Hz ＝ 2πR I Rds ＝ I R・2πR 0 4πr3 4πr3
よって，
H ＝ IR2 2（R2＋z2）3/2
円筒座標を使った計算方法はこちら⇒[#]
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