ときわ台学/ベクトル解析/円柱座標

	Appendix　C　円柱座標
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［　円筒座標(円柱座標)　］

［１］　デカルト座標と円柱座標で，

(x，y，z)，および，(r,φ,z)

と表される点を考えます。右図を参考にすれば変数変換の式は，

x＝r･cosφ，　　y＝r･sinφ，　　　　z＝z

これを逆に解くと

r＝(x²＋y²)^1/2，　φ＝tan-1(y/x)，　z＝z　　　　　　　　

ただし，0≦r＜∞，0≦φ＜2π，－∞＜z＜∞ となります。

［２］　このとき，座標曲線[#]は，

r (r)＝r (r･cosφ₀，r･sinφ₀， z₀)　 ⇒　r 曲線
r (φ)＝r (r₀･cosφ，r₀･sinφ， z₀)　 ⇒　φ曲線
r (z)＝r (r₀･cosφ₀，r₀･sinφ₀，z)　 ⇒　z 曲線

また，座標曲面[#]は定義より

r₀＝(x²＋y²)^1/2　 ⇒　r 曲面
φ₀＝tan-1(y/x) 　 ⇒　φ曲面
z₀＝z　　　　　　 ⇒　z 曲面

となります。各曲面，曲線の幾何学的な形状は右図を参照して下さい。また，空間のどの点についてもその点を通る r，φ，z 各座標曲面と各座標曲線が一つずつ存在することも確かめられますね。

［３］　計量係数[#]は，↓r ＝(r･cosφ，r･sinφ，z　)なので，

∂r ＝(cosφ，sinφ，0)， ∂r ＝(－rsinφ，rcosφ，0)， ∂r ＝(0，0，1)

∂r ∂φ ∂z

より，
　　　　　h_r ＝(cos²φ＋sin²φ)^1/2　　　＝1，
　　　　　h_φ＝［(－rsinφ)²＋(rcosφ)²］^1/2 ＝r，
　　　　　h_z　　　　　　　　　　＝1　　　　　　

したがって，円柱座標の基底ベクトルは

　e_r　＝　cosφe_x＋sinφe_y
　re_φ ＝－sinφe_x＋cosφe_y
　e_z　＝　e_z

となります[#]。また，e_r，e_φ，e_zが互いに直交していることも簡単に確かめられます。

微分要素[#]： dr ＝dre_r＋rdφe_φ＋dze_z
体積要素[#]： dＶ＝dxdydz＝r dr dφdz　

［４］　以下，結果だけ書きます。
勾配(円筒座標)

　　gradψ＝ ∂ψ e_r＋　∂ψ e_φ＋ ∂ψ e_z

∂r 　r∂φ ∂z

発散(円筒座標)

divA ＝ 1 ∂(rA_r) ＋ ∂(A_φ) ＋ ∂(rA_z)

r 　∂r 　∂φ 　∂z

　　　　＝ ∂(rA_r) ＋ ∂A_φ ＋ ∂A_z

　r∂r r∂φ ∂z

回転(円筒座標)

rotA ＝ ∂(1･A_z) － ∂(r･A_φ) e_r＋ ∂(1･A_r) － ∂(1･A_z) e_φ＋ ∂(r･A_φ) － ∂(1･A_r) e_z

　r∂φ 　r∂z 　∂z 　∂r 　r∂r 　r∂φ

　　　　＝　∂A_z － ∂A_φ e_r＋ ∂A_r － ∂A_z e_φ＋ ∂(r･A_φ) － ∂A_r e_z

　r∂φ 　∂z ∂z ∂r 　r∂r 　r∂φ

ラプラシアン(円筒座標)

div･gradφ＝ 1 ∂ r･ ∂ψ ＋ ∂ 1 ･ ∂ψ ＋ ∂ r･ ∂ψ

r ∂r ∂r ∂φ r ∂φ ∂z ∂z

　　　　　　　＝ 1 ･ ∂ r ･ ∂ψ ＋ 1 ･ ∂²ψ ＋ ∂²ψ

r ∂r ∂r r² ∂φ² ∂z²

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∂r	＝(cosφ，sinφ，0)，	∂r	＝(－rsinφ，rcosφ，0)，	∂r	＝(0，0，1)
∂r		∂φ		∂z

gradψ＝	∂ψ	e_r＋	∂ψ	e_φ＋	∂ψ	e_z

	∂r		r∂φ		∂z

divA ＝	1	∂(rA_r)	＋	∂(A_φ)	＋	∂(rA_z)

	r	∂r		∂φ		∂z

＝	∂(rA_r)	＋	∂A_φ	＋	∂A_z

	r∂r		r∂φ		∂z