Appendix B4  光の反射と透過(屈折)
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１．不連続面における電磁場の満たすべき境界条件

誘電率や透磁率が面（z＝0）において不連続に変化する場合で，なおかつ，その不連続面に電荷や電流が存在しないとき，この不連続面における電磁場の境界条件は次のようになります。

（１） 電場 E 、磁場 H （面電流存在しないとき） の接線成分は連続　
（２） 電気変位 D 、磁束密度 Ｂ （面電荷存在しないとき） の法線成分は連続

（１） 　E ･dr ＝0		（２） D ･n dS ＝ 0

（簡単な説明）

（１）　これは図左のような不連続面を含む長方形abcdを考えて，不連続面付近にどんな電流も存在しない ( j＝0 ) ならば，rot E = rot H = 0 が成り立ちます。したがって，長方形の内部の面S，その周囲Cのついてストークスの定理を用いれば，

	E ･dr ＝		rotE ･dS ＝0　　　[#]

および，

	H ･dr ＝		rotH ･dS ＝0　　　[#]

が成り立ちます。これより，図の幅ab，および，bc→0 の極限では，（１）が不連続面について成り立たなければなりません。

（２）　一方，div D ＝div B ＝0　でもあるので，上図右のような直方体にガウスの定理[#]を用いて，

D ･n dS

divD dV ＝ 0　　　[#]

および，

B ･n dS

divB dV ＝ 0　　　[#]

が得られます。これより，幅ε,面積S→0 の極限では，（２）が不連続面について成り立たなければなりません。

２．不連続面における電磁波(平面波)の反射と透過(屈折)

結果だけまとめておきます。

透明な媒質の反射率：　n1 （媒質1）　⇒　n2 （媒質2）
振幅反射率：　rs ＝ E(r)0  ＝ sin (θi−θt) E(i)0 sin (θi＋θt) フレネルの第1方程式	rp ＝ E(r)0  ＝ tan (θi−θt) E(i)0 tan (θi＋θt) フレネルの第2方程式
パワー反射率：　Rs ＝　 ｜E(r)0｜2  ＝ sin2(θi−θt) ｜E(i)0｜2 sin2 (θi＋θt)	Rp ＝　 ｜E(r)0｜2  ＝ tan2(θi−θt) ｜E(i)0｜2 tan2(θi＋θt)
パワー透過率： Ts ＝　 4n1cosθi  n22-n12sin2θi n1cosθi＋ 2  n22-n12sin2θi	Tp ＝　 4n1cosθi  n22-n12sin2θi n2cosθi＋（n1/n2） 2  n22-n12sin2θi
垂直入射
振幅反射率：　r⊥ ＝ E(r)0   ＝ n1−n2 、  振幅透過率：　t⊥ ＝ E(r)0 ＝ 2n1 E(i)0 n1＋n2 E(i)0 n1＋n2
パワー反射率：　R⊥ ＝ ｜E(r)0｜2   ＝ （n1−n2）2 、　パワー透過率：　T⊥ ＝ 4n1n2 ｜E(i)0｜2 （n1＋n2）2 （n1＋n2）2
吸収のある媒質の反射率：　n　⇒　n＝n ＋iκ　（ εr＝ε1＋iε2 ）と置き換え
垂直入射 振幅反射率：　r ＝｜r｜eiθ＝ 　　 E(r)0  ＝ n1−n2 n1＝1 n2＝n +iκ のとき 　⇒ ＝ 1− εr   ＝ 1−n−iκ E(i)0 n1＋n2 1＋ εr 1＋n＋iκ
垂直入射パワー反射率：　R ＝ r ･r* ＝ （1−n）2＋κ2 （1＋n）2＋κ2
n　＝ 1−R  、　 κ ＝ 2 R sinθ 1＋R＋2 R cosθ 1＋R＋2 R cosθ

（注意）　　複素屈折率のκを正に定義しています。

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下書き

導出：

２つの誘電体どおしの界面での平面波の反射と屈折

s-偏光を，電場がx成分だけを持ち，y-z平面内を進む平面波として取り扱い，次のように表すことにします。

平面波　：　E （r，t ）＝E ₀ exp [ i ( k ･r − ωt ) ] ，　r ＝(x,y,z)，　

E ⁽ⁱ⁾ ＝ (E⁽ⁱ⁾₀ exp (i (k⁽ⁱ⁾_yy＋k⁽ⁱ⁾_zz−ωt)), 0, 0 )　，　k ⁽ⁱ⁾ ＝ ( 0,k⁽ⁱ⁾_y,k⁽ⁱ⁾_z),　　　[入射波]
E ^(r) ＝ (E^(r)₀ exp (i (k^(r)_yy＋k^(r)_zz−ωt)), 0, 0 )　， k ^(r) ＝ ( 0,k^(r)_y,k^(r)_z)　　　[反射波]
E ^(t) ＝ (E^(t)₀ exp (i(k^(t)_yy＋k^(t)_zz−ωt)), 0, 0 )　， k ^(t) ＝ ( 0,k^(t)_y,k^(t)_z)　　　[透過(屈折)波]

k　の定義，k²c₀²＝n²ω²より，

k⁽ⁱ⁾²c₀²＝n₁²ω²，　k^(r)2c₀²＝n₁²ω²，　k^(t)2c₀²＝n₂²ω²　

k(i)2	＝		k(r)2	＝		k(t)2	＝		ω2
n12			n12			n22			c02

第２式より，

k⁽ⁱ⁾²＝k^(r)2 　　　⇔　　　(k⁽ⁱ⁾_y)²＋(k⁽ⁱ⁾_z)² ＝ (k^(r)_y)²＋(k^(r)_z)²

平面　z＝0　上の接線x軸方向における電場についての連続性から，

E⁽ⁱ⁾₀exp (i (k⁽ⁱ⁾_yy−ωt)) ＋ E^(r)₀exp (i (k^(r)_yy−ωt)) ＝ E^(t)₀exp (i (k^(t)_yy−ωt))　　　　･･･　[*]

さらに t＝0 として，任意の ｙ についてこの式が成り立つためには，

k(i)y＝k(r)y＝k(t)y

でなければいけません。したがって，

(k⁽ⁱ⁾_z)²＝(k^(r)_z)²

入射角と反射角の関係について考えているのでこれは，

k(i)z＝−k(r)z

のように符号を取る必要があります。したがって乳sh角と反射角に対して，θ_i ＝ θ_rが成り立たなければいけません。

一方，入射角θ_i，透過(屈折)角θ_tと各は波数ベクトルとの間には，

k(i)z ＝k(i)cosθi＝		n1ω	cosθi
		c0

k(t)z ＝k(t)cosθt＝		n2ω	cosθt
		c0

および，

k(i)y ＝sinθi　， k(t)y ＝sinθt　 k(i) k(t)

⇒

sinθt ＝ n1 　　　[スネルの式] sinθi n2

のような関係式が導かれます。

結局，以上の条件の下で[*]は，

E(i)0＋E(r)0＝E(t)0　　　　　･･･　[**]

となります。

一方，磁場Hは，

H (i)＝		1	k×Ei
		μω

＝	1					0， k(i)zE(i)0 exp (i (k(i)yy−ωt))， -k(i)yE(i)0 exp (i (k(i)yy−ωt))		←ベクトル
	μω

同様に，

H (r)＝	1					0， k(r)zE(r)0 exp (i (k(r)yy−ωt))， -k(r)yE(r)0 exp (i (k(r)yy−ωt))
	μω

H (t)＝	1					0， k(t)zE(t)0 exp (i (k(t)yy−ωt))， -k(t)yE(t)0 exp (i (k(t)yy−ωt))
	μω

このうち，z＝0平面の磁場Hの接線成分，特にy成分が連続であるためには

k_zE⁽ⁱ⁾₀ exp (i (k⁽ⁱ⁾_yy−ωt))＋k_zE^(r)₀ exp (i (k^(r)_yy−ωt))＝k_zE^(t)₀ exp (i (k^(t)_yy−ωt))
　　　　　　　　↓↑

kzE(i)0 ＋kzE(r)0 ＝kzE(t)0　　･･･　[***]

　[**]と　[***]とを連立して解けば，

E(r)0 ＝　 k(i)z−k(t)z 　E(i)0 k(i)z＋k(t)z E(t)0 ＝　 2k(i)z 　E(i)0 k(i)z＋k(t)z k kx成分 ky成分 kz成分 入射波 θi 0 n1ω sinθi c0 n1ω cosθi c0 反射波 θr=−θi 0 n1ω sinθr c0 − n1ω cosθr c0 透過波 θt 0 n2ω sinθt c0 n2ω cosθt c0

したがって,振幅反射率はスネルの式を用いて，

E(r)0	＝					n1cosθi−n2cosθt
E(i)0						n1cosθi＋n2cosθt

＝					sinθtcosθi−sinθicosθt
					sinθtcosθi＋sinθicosθt

＝		sin(θi−θt)	フレネルの第１方程式
		sin(θi＋θt)

特に垂直入射θ_i＝0 のときは，

r⊥ ＝	E(r)0	＝					n1−n2
	E(i)0						n1＋n2

パワー反射率は，

R⊥ ＝		E(r)0		2	＝					(n1−n2)2
		E(i)0								(n1＋n2)2

パワー透過率は，1−R_⊥を計算すればよい。

金属のような吸収性の物質の場合は，n₁ ⇒ １（真空）　，　n₂ ⇒ n ＋iκと置き換えればよい。

あとは簡単な計算。

p-偏光についての計算はweb上では省略。