Appendix B4  光の反射と透過(屈折)
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1.不連続面における電磁場の満たすべき境界条件

誘電率や透磁率が面(z=0)において不連続に変化する場合で,なおかつ,その不連続面に電荷や電流が存在しないとき,この不連続面における電磁場の境界条件は次のようになります。

(1) 電場 E 、磁場 H (面電流存在しないとき) の接線成分は連続 
(2) 電気変位 D 、磁束密度 (面電荷存在しないとき) の法線成分は連続
(1)  E ・dr =0
(2) Dn dS = 0 

(簡単な説明)

(1) これは図左のような不連続面を含む長方形abcdを考えて,不連続面付近にどんな電流も存在しない ( j=0 ) ならば,rot E = rot H = 0 が成り立ちます。したがって,長方形の内部の面S,その周囲Cのついてストークスの定理を用いれば,

 E ・dr  rotE ・dS =0   [#] 

および,

 H ・dr  rotH ・dS =0   [#] 

が成り立ちます。これより,図の幅ab,および,bc→0 の極限では,(1)が不連続面について成り立たなければなりません。

(2) 一方,div D =div B =0 でもあるので,上図右のような直方体にガウスの定理[#]を用いて,

Dn dS  divD dV = 0   [#]

および,

Bn dS  divB dV = 0   [#]

が得られます。これより,幅ε,面積S→0 の極限では,(2)が不連続面について成り立たなければなりません。


2.不連続面における電磁波(平面波)の反射と透過(屈折)

結果だけまとめておきます。

透明な媒質の反射率: n1 (媒質1) ⇒ n2 (媒質2)
振幅反射率: rs E(r)0  = sin (θi−θt)
E(i)0 sin (θi+θt)
フレネルの第1方程式
rp E(r)0  = tan (θi−θt)
E(i)0 tan (θi+θt)
フレネルの第2方程式
パワー反射率: Rs =  |E(r)02  = sin2i−θt)
|E(i)02 sin2i+θt)
Rp =  |E(r)02  = tan2i−θt)
|E(i)02 tan2i+θt)
パワー透過率: Ts = 
4n1cosθi
 n22-n12sin2θi
n1cosθi 2
 n22-n12sin2θi
Tp = 
4n1cosθi
 n22-n12sin2θi
n2cosθi+(n1/n2 2
 n22-n12sin2θi
垂直入射  
振幅反射率: r E(r)0   = n1−n2 、  振幅透過率: t E(r)0 2n1
E(i)0 n1+n2 E(i)0 n1+n2
パワー反射率: R |E(r)02   = (n1−n22 、 パワー透過率: T 4n1n2
|E(i)02 (n1+n22 (n1+n22
吸収のある媒質の反射率: n ⇒ nniκ ( εr=ε1iε2 )と置き換え
垂直入射
振幅反射率: r =|r|eiθ
  
E(r)0  = n1n2 n1=1
n2n +iκ
のとき

 ⇒
1− εr
  = 1−niκ
E(i)0 n1n2
1+ εr
1+niκ
垂直入射パワー反射率: R = r ・r* (1−n2+κ2
(1+n2+κ2
  n = 1−R  、  κ =
2 R sinθ
1+R+2 R cosθ
1+R+2 R cosθ

(注意)  複素屈折率のκを正に定義しています。



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下書き

導出:

2つの誘電体どおしの界面での平面波の反射と屈折

s-偏光を,電場がx成分だけを持ち,y-z平面内を進む平面波として取り扱い,次のように表すことにします。

平面波 : Er,t )=E 0 exp [ i ( kr − ωt ) ] , r =(x,y,z), 

E (i) = (E(i)0 exp (i (k(i)yy+k(i)zz−ωt)), 0, 0 ) , k (i) = ( 0,k(i)y,k(i)z),   [入射波]
E (r) = (E(r)0 exp (i (k(r)yy+k(r)zz−ωt)), 0, 0 ) , k (r) = ( 0,k(r)y,k(r)z)   [反射波]
E (t) = (E(t)0 exp (i(k(t)yy+k(t)zz−ωt)), 0, 0 ) , k (t) = ( 0,k(t)y,k(t)z)   [透過(屈折)波]

k の定義,k2c02=n2ω2より,

k(i)2c02=n12ω2, k(r)2c02=n12ω2, k(t)2c02=n22ω2 
k(i)2 k(r)2 k(t)2 ω2
n12 n12 n22 c02

第2式より,

k(i)2=k(r)2    ⇔   (k(i)y)2+(k(i)z)2 = (k(r)y)2+(k(r)z)2

平面 z=0 上の接線x軸方向における電場についての連続性から,

E(i)0exp (i (k(i)yy−ωt)) + E(r)0exp (i (k(r)yy−ωt)) = E(t)0exp (i (k(t)yy−ωt))    ・・・ [*]

さらに t=0 として,任意の y についてこの式が成り立つためには,

k(i)y=k(r)y=k(t)y

でなければいけません。したがって,

(k(i)z)2=(k(r)z)2

入射角と反射角の関係について考えているのでこれは,

k(i)z=−k(r)z

のように符号を取る必要があります。したがって乳sh角と反射角に対して,θi = θrが成り立たなければいけません。

一方,入射角θi,透過(屈折)角θtと各は波数ベクトルとの間には,

k(i)z =k(i)cosθi n1ω cosθi
c0
k(t)z =k(t)cosθt n2ω cosθt
c0

および,

k(i)y =sinθi , k(t)y =sinθt 
k(i) k(t)
sinθt n1    [スネルの式]
sinθi n2

のような関係式が導かれます。

結局,以上の条件の下で[*]は,

E(i)0+E(r)0=E(t)0     ・・・ [**]

となります。

一方,磁場Hは,

H (i) 1 k×Ei
μω
  = 1  0, k(i)zE(i)0 exp (i (k(i)yy−ωt)), -k(i)yE(i)0 exp (i (k(i)yy−ωt))    ←ベクトル
μω

同様に,

H (r) 1  0, k(r)zE(r)0 exp (i (k(r)yy−ωt)), -k(r)yE(r)0 exp (i (k(r)yy−ωt)) 
μω
H (t) 1  0, k(t)zE(t)0 exp (i (k(t)yy−ωt)), -k(t)yE(t)0 exp (i (k(t)yy−ωt)) 
μω

このうち,z=0平面の磁場Hの接線成分,特にy成分が連続であるためには

kzE(i)0 exp (i (k(i)yy−ωt))+kzE(r)0 exp (i (k(r)yy−ωt))=kzE(t)0 exp (i (k(t)yy−ωt))
        ↓↑
kzE(i)0 +kzE(r)0 =kzE(t)0  ・・・ [***]

 [**]と [***]とを連立して解けば,

E(r)0 =  k(i)z−k(t)z  E(i)0
k(i)z+k(t)z
E(t)0 =  2k(i)z  E(i)0
k(i)z+k(t)z
k kx成分 ky成分 kz成分
入射波
θi
0
n1ω sinθi
c0
n1ω cosθi
c0
反射波
θr=−θi
0
n1ω sinθr
c0
n1ω cosθr
c0
透過波
θt
0
n2ω sinθt
c0
n2ω cosθt
c0

したがって,振幅反射率はスネルの式を用いて,

E(r)0 n1cosθi−n2cosθt
E(i)0 n1cosθi+n2cosθt
sinθtcosθi−sinθicosθt
sinθtcosθi+sinθicosθt
sin(θi−θt)    フレネルの第1方程式
sin(θi+θt)

特に垂直入射θi=0 のときは,

r E(r)0 n1−n2
E(i)0 n1+n2

パワー反射率は,

R E(r)0 2 (n1−n2)2
E(i)0 (n1+n2)2

パワー透過率は,1−Rを計算すればよい。

金属のような吸収性の物質の場合は,n1 ⇒ 1(真空) , n2niκと置き換えればよい。

振幅反射率: r n1−n2   ⇒   1−(niκ)
n1+n2 1+(niκ)

あとは簡単な計算。

p-偏光についての計算はweb上では省略。