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13-2 電場・磁場の応力 | |
| f-denshi.com ［目次へ］ 更新日： 03/05/26 ポインティングベクトル転入(10/03/05) | ||
［１］ 誘電性と磁性を合わせ持つ物体が，電場E (r ,t)，磁場(磁束密度B(r ,t))におかれたときに働く力についての一般論を考えます。この物体(＝荷電粒子の集合)には，
(１) 真電荷密度： ρ ＝ ρ(r ,t)，
が存在し，また，
(２) 真電流密度： j ＝ j (r ,t)
が流れ，物体の持つ分極[#]をP ，磁化[#]をM とします。
真電荷，真電流の他には，
(３) 分極電荷密度 [#] ： ρP ＝− ｄｉｖ P
(４) 磁荷の電流密度 [#] ： j M ＝rot M μ0
(５) 分極電流密度 [#] ： j P ＝ ∂P ∂t
も存在することができます。 したがって，この物体にはたらくローレンツ力[#]は，
F ＝ ｛ (ρ＋ρP)E ＋( j ＋ j M ＋ j P )× B ｝dV
＝ (ρ−divP )E ＋ j ＋rot M ＋ ∂P ×B dV μ0 ∂t
↓
ｄｉｖ(ε0E ＋P ) ＝ ρ[#] と
rot H ＝ rot B −M ＝ j＋ ∂ε0E ＋ ∂P [#] を用いて， μ0 ∂t ∂t
＝ div (ε0E )･E ＋ rot B − ∂ε0E ×B dV μ0 ∂t
↓
∂(ε0E × B ) ＝ ∂ε0E ×B ＋ε0E × ∂B ∂t ∂t ∂t
＝− ∂(ε0E × B ) dV ＋ ε0E × ∂B dV ＋ div (ε0E ･E )＋ rot B ×B dV ∂t ∂t μ0
↓ファラデーの法則 rotE＋∂B/∂t ＝ 0 [#] とdivB ＝0 [#] に注意して 0 となる項を最後に一つ付け加えて，B→μ0H として，
＝− ∂ε0μ0(E ×H ) dV ＋ ε0rotE ×E ＋ div ( ε0E )E dV ＋ μ0 rotH ×H ＋μ0(div H )H dV ∂t 第１項 第２項 第３項
［２］ 第１項 は後ほど述べるように，ε0μ0(E ×H )＝(E ×H )/c2を電磁場の持つ運動量密度とみなすことができ，Pt ≡E ×H をポインティングベクトルといいます。
［３］ 第２項 について，x 成分の計算をさらに進めると，( E ＝ ( Ex，Ey，Ez ) とします。 )
| x方向： f(E)x ＝ε0 |  |
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∂Ex | − | ∂Ez |  |
Ez− | |
∂Ey | − | ∂Ex | |
Ey ＋ | ∂Ex | Ex＋ | ∂Ey | Ex＋ | ∂Ez | Ex | |
dV | |
| ∂z | ∂x | ∂x | ∂y | ∂x | ∂y | ∂z | |||||||||||||||||
↓ 少し工夫して
| ＝ε0 | |
|
2 ・ | ∂Ex | Ex＋ | ∂Ey | Ex＋ | ∂Ez | Ex＋ | ∂Ex | Ey＋ | ∂Ex | Ez− | ∂Ex | Ex− | ∂Ey | Ey− | ∂Ez | Ez | |
dV | |||
| ∂x | ∂y | ∂z | ∂y | ∂z | ∂x | ∂x | ∂ｘ | |||||||||||||||||
| ＝ε0 | |
|
∂ | Ex2＋ | ∂ | (ExEy)＋ | ∂ | (ExEz)− | 1 | ∂ | (Ex2＋Ey2＋Ez2) | |
dV | ||
| ∂x | ∂y | ∂z | 2 | ∂ｘ | |||||||||||
| ＝ | |
div | |
ε0ExEx − | ε0(E ･E ) | ， ε0ExEy， ε0ExEz | |
dV | ||
| 2 | ||||||||||
↑ もちろん，最後のdiv(*，*，*)の(*，*，*)はベクトル成分を意味するつもりの括弧です。
| ＝ |  |
|
ε0ExEx− | ε0(E ･E ) | ，ε0 ExEy， ε0ExEz | |
・n dS ＝ | |
T x ・n dS |
| 2 |
最後はガウスの定理 [#] を使いました。
ベクトルT x の物理的な意味は最後の面積分で表した式から，
物体の表面の単位面積あたりに働く x方向に働く力を，
T x ≡( x 軸に垂直な面を通して働く力， y 軸に垂直な面を通して働く力， z軸に垂直な面を通して働く力，)
に分解して表していたものとみなすことができます。このベクトルT x と面の単位法線ベクトル n との内積：T x ・n がこの微小面積に働く力の x成分 fx です。
［４］ 同様にy，z成分は，
| y方向： f(E)y ＝ | |
|
ε0EyEx，ε0EyEy− | ε0(E ･E ) | ，ε0EyEz | |
・n dS |
| 2 |
| z方向： f(E)z ＝ | |
|
ε0EzEx，ε0EzEy，EzEz − | ε0(E ･E ) | |
・n dS |
| 2 |
［５］ 第３項 の磁場に関する項も数学的な形式が第２項と全く同じなので，同様な計算のあとに，第２項の結果において，E → H，ε0 → μ0 と置き換えただけの式が得られます。これら第２項，３項の部分の結果だけをまとめて行列(テンソル)を用いて書けば次のようになります。
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n に垂直な単位面積に働く力 f は，
この行列 T はマクスウェルの応力と呼ばれる２階テンソル[#] であって，成分では， と書くことができます。 |
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これらの用語･記号を用いると，はじめに考えた物体に働く電磁気学的な力は，ε0μ0＝1/c2として，
F ＝ − ∂ (E ×H ) dV ＋ T・n dS ∂t c2
と書くことができます。
以下を追加，(10/03/05)
この第２項は上で示したマクスウェルの応力ですが，第１項，
F1＝ − ∂ (E ×H ) dV ････[*] ∂t c2
からは，ポインティングベクトルPt ＝(E ×H )をc2で除したベクトル(E ×H )/c2 が物質のもつ電磁場の運動量密度，または，必要範囲にわたって積分することで，この系の電磁場がもつ運動量を表すことが結論として導くことができます。これは物体が静止しているときでもゼロでない「運動量」が付随することを意味しており，ニュ−トン力学において，物体の質量と速度との積で定義される運動量とは似つかない形です。しかし，符号を別にすれば，力と力学的運動量pの満たす関係，
F ＝ dp dt
と，[*]を比較して，(E ×H )/c2 が運動量と同じ単位をもつ物理量であることはすぐに確認できます。しかし，これだけでは(E ×H )/c2 を運動量密度と呼ぶことには抵抗があります。
［６］ そこで，この力の具体的な描像を一つ示し，ポインティングベクトルを光速の２乗で除した量，(E ×H )/c2 が電磁場に蓄えられている運動量密度にあたることを確かめてみましょう。わかりやすいように電場と磁場が直交している下図の状況で説明を行います。
原点を中心にもつyz平面内に大きな円弧を描くループには電流が流れており，その中心付近にはx方向へ向かう均一な静磁場Hが形成されているとします。また，その中心付近に小さな平板コンデンサが静置されており，上部の電極が負(-Q)，下部の電極が正(+Q)に帯電していることとします。電極の面積に比べて電極間の幅は十分狭く，電極の間にだけz軸正方向へ向かう一様な静電場E が形成されている(電場は電極隙間から漏れていない！) とみなせることととします。(図は見やすくするために，電流ループに対するコンデンサのサイズ，および，コンデンサの電極間距離を大きく強調して描いています。)
［６］ この配置であるとき，ポインティングベクトルPt ＝(E ×H )はy軸方向を向くベクトルです[A]。この状態から外側のループに流れる電流を減少させるとどんな現象が観察されるでしょうか。仮に，コンデンサの代わりに，コンデンサの電極と上辺と下辺が重なるようなyz平面と平行な長方形の導体[D]が中心付近に存在すれば，ファラデーの電磁誘導の法則に従い，x軸から見て反時計回り方向に電流が流れるはずです。したがって，コンデンサの置かれている空間的な対称性を考慮すれば，コンデンサの上の電極の位置には-y方向，下の電極の位置には+y方向に正味の誘導電場が形成されるはずです。
実際はコンデンサの上下の電極は分離されているので，ループ電流は流れようがなく，電荷の符号に注意すれば，上下いずれの電極もy軸正方向に力を受けることになります。つまり，外側のループ電流の減少，消滅にしたがって，コンデンサの電極は力を力学的運動量を獲得することになります。(具体的計算)
この現象は，「電流，磁場が消失して，Pt →0 となることの引き換えとして，静止していた電極に力学的運動量が授けられた。」と解釈することができます。これを定量的に示しているのが[*]式ではないかと推測されます。
ここで，運動量保存則が古典力学の範囲内においてだけでなく，電磁気現象をも含めた系で成立する基本法則であるならば，電磁場において計算される，(E ×H )/c2 は力学的な運動量密度と等価な物理量と考えてよいでしょう。また，上で示したように質量をもつ物体の運動量と交換も可能であり，[*]式にマイナスの符号がついているのは，電磁場の運動量変化の反作用として物体が力を受けることに対応しています。
「同一方向を向かない静電場と静磁場が同時に存在する場に運動量が備わっている」ということは，ニュートン力学の範囲内で考えると，不思議に思えます。しかし，よくよく考えてみると，ニュ−トン力学において，静止している物体の運動量がゼロであると主張できるのは，その物体が静止して見える慣性座標系においてだけであって，相対運動する他のすべての慣性座標系では，むしろ，その物体の運動量はすべてゼロでないのです。したがって，すべての慣性系が等価であるという特殊相対性理論が深く関与する電磁気学においては，特殊な座標系においてだけ通用する「静止した物体の運動量はゼロである。」という考え方は，もはや通用しなくて当たり前と言うのが，「正しい直感」なのかもしれません。
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E-B対応ならば最後の結果は次のとおりとなります。
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n に垂直な単位面積に働く力 f は，
この行列 T はマクスウェルの応力と呼ばれ，２階テンソル[#] であって，成分では， と書くことができます。 |
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これらの用語･記号を用いると，はじめに考えた物体に働く力は，
F ＝ − ∂(ε0E × B ) dV ＋ T・n dS ∂t
と書くことができます。
［１］ 最終的に到達すべき電荷分布 ρ(r ) にいつも比例するように，すなわち，
0 ⇒ λρ(r ) ⇒ ρ(r ) ( λ： 0 ≦ λ ≦ 1 )
と電荷を空間に分布させていく様子を考えます。(点電荷の場合は右図のようになります。厳密に言うと点では困るので，小さな球と思ってください。) 電荷分布がλρ(r )のとき，電位分布関数は，λφ(r ) で表せますが，さらにdλρ(r )だけ電荷密度を増加させるために必要な電荷量は，
dQ＝ dλρ(r )dV
また，この電荷を増加させるために必要なエネルギー dW は，
dW ＝ (λφ)(dλρ(r )dV) ＝ λdλ φ(r )ρ(r )dV
となります。積分は全空間に渡って行ないます。 したがって，電荷分布ρ(r )を形成するために必要なエネルギーは λ＝0 から 1 まで積分すればよく，
W ＝ λdλ φ(r )ρ(r )dV ＝ 1 φ(r )ρ(r )dV ＝ 1 φ(r ) div D dV 2 2
＝ 1 φ(r ) ∂Dx ＋ ∂Dy ＋ ∂Dz dV 2 ∂x ∂y ∂z
第１項を x について部分積分すれば，
1 φ(r ) ∂Dx dV ＝ 1 ［φDx］ − ∂φ Dxdx dydz ← φDx＝0 at x＝±∞ 2 ∂x 2 ∂x
＝ 1 ExDxdV ； ここで，Ex＝ ∂φ 電場の x 成分 2 ∂x
第２，３項も同様で，結局，電界に蓄えられるエネルギー は E と D の内積の積分で，
W ＝ 1 E ･D dV ［ 電界に蓄えられるエネルギー ］ 2
電場のエネルギー密度は各空間の点で，，
1 E ･D ［ 電界に蓄えられているエネルギー密度 ］ 2
と考えることができます。
［２］ 磁場に蓄えられるエネルギーについても同様に考えて，
1 H ･B ［ 磁界に蓄えられているエネルギー密度 ］ 2
電場，磁場に蓄えられるエネルギーは，
W ＝ 1 ｛ E ･D ＋H ･B ｝dV ［ 電場＋磁場に蓄えられるエネルギー ］ 2
［３］ 真空や均一な媒体(空気，水など)の中のように，電場と電気変位の関係，磁場と磁束密度との関係が比例関係，
E ∝ D，H ∝ B ← もっとはっきりと書けば，D ＝ εE， B ＝ μH
で十分近似できるときは，体積 V 内にある電磁場エネルギーの時間変化は，
dW ＝ ｛H ･ ∂B ＋ E ･ ∂D ｝dV dt ∂t ∂t
↓ 実在電荷，実在電流のない時のマクスウェルの方程式 [#] ，
＝ ｛ E ･( rot H )＋H ･(−rot E )｝ dV
↓ ベクトル解析の公式 2-(2) [#]
＝ div(H ×E ) dV
↓ガウスの定理 [#]
＝ (H ×E )n dS
これは単位時間に単位面積を垂直方向に出ていくエネルギーが，
Pt ≡ (E ×H )
で与えられることを意味しています。これをポインティングベクトルと言います。
中断，・・・・・・・・
