Appendix B3 電場・磁場の応力
f-denshi.com ［目次へ］　更新日： 03/05/26

１．マクスウェルの応力

［１］　誘電性と磁性を合わせ持つ物体が，電場E (r ,t)，磁場(磁束密度B(r ,t))におかれたときに働く力についての一般論を考えます。この物体には，

(１)　真電荷密度：                 ρ ＝ ρ(r ,t)，

が存在し，また，

(２)　真電流密度：                 j  ＝ j (r ,t)

が流れ，物体の持つ分極[#]をP ，磁化[#]をM とします。

真電荷，真電流の他には，

(３)　分極電荷密度 [#] ：　　 ρP ＝− ｄｉｖ P  
(４)　磁荷の電流密度 [#] ：　j M ＝rot M
μ0
(５)　分極電流密度 [#] ：  　 j P ＝ ∂P
∂t

も存在することができます。　したがって，この物体にはたらくローレンツ力[#]は，

F　＝  ｛ (ρ＋ρP)E ＋( j ＋ j M ＋ j P )× B ｝dV
＝ (ρ−divP )E ＋ j ＋rot M ＋ ∂P  ×B dV
μ0 ∂t
↓
ｄｉｖ(ε0E ＋P ) ＝ ρ[#] と
rot H ＝ rot B −M  ＝ j＋ ∂ε0E  ＋ ∂P   [#] を用いて，
μ0 ∂t ∂t
＝ div (ε0E )･E ＋ rot B − ∂ε0E  ×B dV
μ0 ∂t
↓
∂(ε0E × B )  ＝ ∂ε0E ×B ＋ε0E × ∂B
∂t ∂t ∂t
＝− ∂(ε0E × B ) dV ＋ ε0E × ∂B dV ＋ div (ε0E ･E )＋ rot B  ×B dV
∂t ∂t μ0
↓ファラデーの法則　rotE＋∂B/∂t ＝ 0 [#]　とdivB ＝0 [#] に注意して 0 となる項を最後に一つ付け加えて，
＝− ∂(ε0E × B ) dV
∂t
第１項
＋   ε0rotE ×E ＋ div ( ε0E  )E dV ＋ 1  rotB ×B ＋ 1 (div B )B dV
μ0 μ0
第２項 第３項

［２］　第１項　はここでは詳しく述べませんが，p　＝ε0E × B　を電磁場の持つ運動量密度と解釈できて[#]，

F (電磁場)　＝− ∂p(電磁場)
∂t

とみなすことができます。　　⇒ 物質と材料の掟（物質の光学的性質/古典論）参照[#]

［３］　第２項 について，x 成分の計算をさらに進めると，(　E ＝ ( Ex，Ey，Ez ) とします。　)

x方向：　f(E)x ＝ε0 ∂Ex − ∂Ez Ez− ∂Ey − ∂Ex Ey ＋ ∂Ex Ex＋ ∂Ey Ex＋ ∂Ez Ex dV
∂z ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y ∂z
↓　少し並び替え工夫して　
＝ε0  2 ・ ∂Ex Ex＋ ∂Ey Ex＋ ∂Ez Ex＋ ∂Ex Ey＋ ∂Ex Ez− ∂Ex Ex− ∂Ey Ey− ∂Ez Ez dV
∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂x ∂ｘ
＝ε0   ∂ Ex2＋ ∂ (ExEy)＋ ∂ (ExEz)− 1 ∂ (Ex2＋Ey2＋Ez2) dV
∂x ∂y ∂z 2 ∂ｘ
＝  div ε0ExEx − ε0(E ･E ) ， ε0ExEy， ε0ExEz dV
2
↑　もちろん，最後のdiv(*，*，*)の(*，*，*)はベクトル成分を意味する括弧です。
＝ ε0ExEx− ε0(E ･E ) ，ε0 ExEy， ε0ExEz  ・n dS　＝  T x ・n dS
2

最後はガウスの定理 [#] を使いました。　

ベクトルT x の物理的な意味は最後の面積分で表した式から，
物体の表面の単位面積あたりに働く x方向に働く力を，

　　T x ≡( x 軸に垂直な面を通して働く力， y 軸に垂直な面を通して働く力， z軸に垂直な面を通して働く力，)

に分解して表していたものとみなすことができます。このベクトルT x と面の単位法線ベクトル n との内積：T x ・n がこの微小面積に働く力の x成分 fx です。

［４］　同様にy，z成分は，

 y方向：　f(E)y ＝ ε0EyEx，ε0EyEy− ε0(E ･E )   ，ε0EyEz ・n dS
2
 z方向：　f(E)z ＝ ε0EzEx，ε0EzEy，EzEz − ε0(E ･E )  ・n dS
2

［５］　第３項 の磁束密度に関する項も数学的な形式が第２項と全く同じなので，同様な計算のあとに，第２項の結果において，E → B，ε0 → 1/μ0 と置き換えただけの式が得られます。これら第２項，３項の部分の結果だけをまとめて行列(テンソル)を用いて書けば次のようになります。
マクスウェルの応力

n に垂直な単位面積に働く力 f は，
Tn ＝ T x  n
T y
T z
＝
ε0ExEx − ε0(E ･E ) ＋ BxBx − (B ･B )
2 μ0 2μ0
ε0ExEy＋ BxBy
μ0
ε0ExEz＋ BxBz
μ0
n1 　
ε0EyEx＋ ByBx
μ0
ε0EyEy− ε0(E ･E ) ＋ ByBy − (B ･B )
2 μ0 2μ0
ε0EyEz＋ ByBz
μ0
n2
ε0EzEx＋ BzBx
μ0
ε0EzEy＋ BzBy
μ0
ε0EzEz − ε0(E ･E ) ＋ BzBz − (B ･B )
2 μ0 2μ0
n3
                 
この行列　T　はマクスウェルの応力と呼ばれ，２階テンソル[#] であって，成分では，
Tjk ＝ ε0EjEk− ε0 δjk(E ･E ) ＋ 1 BjBk− 1 δjk(B ･B )　　　　　　　［ 応力テンソル ］
2 μ0 2μ0
と書くことができます。

これらの用語･記号を用いると，はじめに考えた物体に働く力は，

F ＝ − ∂(ε0E × B ) dV  ＋  T ・n dS
∂t

と書くことができます。　続きの考察は物性論の中で行いました。


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