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８ 体の拡大とn次代数方程式の解法へ | |
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前の２つの章で示した有限体上での方程式の解法を一般の（無限の）体上での代数方程式の解法への拡張するにはどうしたらよいのかその方向性を示します。
［１］ この章はさらに代数を学ぼうとする人のためへのイントロダクションです。体Fp上で解をもたない方程式：
f ＝X2−α ＝ 0
における多項式 f はFp上で既約です。なぜなら、可約で（x−a）（x−b）と因数分解ができれば、a、b
をFp に根としてもつからです。
Fp上の方程式の環Fp[x] のイデアル （ ｆ ） [#] による剰余環：Fp[x]/（ ｆ ） を考えます。（実はこれは体でもあります。）２次式で割った余りですからこの剰余環の元は１次式以下となり、ax＋b＋（
f ） ； a、b ∈Fp と書くことができます。これを整数の剰余環にならって、
［ax＋b］f （ ∈F7[x]/（ ｆ ） ）
と書くことにします。このとき、これまでみてきたように剰余類の計算規則
［ax＋b］f ＝ [a]f・[x]f＋［b］f
が成り立ちます。また、
[x]f・[x]f＝[x2]f ＝ ［α］f
が成り立っていることに注意して下さい。 ここで、Fp[x]/（ ｆ ）（←これは1次式の集合でした）から Fp2 への写像
μ： [a]f・[x]f＋［b］f → aα＋b a、b、α ∈ Fp
[a]f → a
[x]f → α
［b］f → b
を考えるとこれは同型写像です。
［２］ つまり、Fp からFp2 を構成する方法は、
［A］ ［拡大体］ Fp に α を添加してできる体 Fp（α）
［B］ ［剰余体］ Fp の剰余体 Fp/ （f ） ←ここで示した方法です。
の２通りの考え方があることがわかりました。 これは以下のように一般化できます。
| ［剰余体］
（１） Ｋ上の多項式 f ∈Ｋ［x］ が既約多項式ならば、剰余環 Ｋ［x］/（ f ） は体である。 これを f による剰余体といい、Ｋf と書く。 （２） 体 Ｋから体 Ｋf への写像 μ： a → ［a］f ； a ∈ Ｋ、［a］f ∈ Ｋf は単射準同型で、Ｋ ⊂ Ｋf である。つまり、Ｋ は Ｋf に ”埋め込まれて” いる。 |
［３］ Ｋ （たとえば実数） は Ｋf（たとえば、複素数） の部分体なので、Ｋ上の既約方程式
r0＋r1x＋r2x2＋・・・・＋rnxn ＝ 0 ・・・・・・・・・・・・ （１）
は Ｋf上の方程式と見ることもできます。つまり、（←たまたま虚数成分が 0 である複素数とみなすわけです）
［r0]f＋［r1］fX＋［r2］fX2＋・・・・＋［rn］fXn ＝ 0 ･･･（２）
と見ることができます。ここで（２）の左辺の X に ［x］f を代入して見ます。すると、（剰余類の計算規則に従い、）
［r0]f＋［r1］f［x］f＋［r2］f［x2］f＋・・・・＋［rn］f［xn］f
＝［r0]f＋［r1x］f ＋［r2x2］f ＋・・・・＋［rnxn］f
＝［r0＋r1x＋r2x2＋・・・・＋rnxn］f
＝［0］f
＝0
となり、［x］f が Kf 上の方程式（２）の根であることがわかります。すなわち、
Ｋ上の既約な代数方程式
f ＝ r0＋r1x＋r2x2＋・・・・＋rnxn ＝ 0 は剰余体Ｋf にかならず根をもつ。 |
このことから、ｆ が Ｋf 上にもつ根 x1、・・・、xm をもちいて、
f ＝ （x−x1)・・・（x−xm)・g（X） ； g（x）∈Ｋf［x］
と因数分解できます。ここで、g（x）が、（定数でなくて） Ｋf上で２次以上の既約な多項式として因数分解されずに残れば、さらに大きな剰余体Ｋf/（g）を考えてg（x）をその上で因数分解することができます。これを繰り返してゆけば、
f ＝ （x−x1）（x−x2）・・・（x−xn） × 定数
と最後には完全に一次の因数に分解できる大きな体 Ｌ を見つけられるのではないかと思われます。このような体 Ｌ をf の分解体といいます。
実数を係数にもつ代数方程式は虚数ｉ を添加した拡大体上で必ず解をもつことが証明できます。（それ以上大きな体を考える必要はありません）同様な発想から整数（有理数）を係数にもつ n 次方程式が解をもつように整数（有理数）から体を拡大してゆくこともできそうです。しかし、結論をいうと、どんな n についてもそのような拡大体が構成可能なわけではありません。そのためには解と係数の関係に見られる対称性を詳しく調べる必要があります。