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５ 剰余環と剰余体 | |
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［1］ 整数環 Zについて n∈Z を選んで整数の剰余環（体） Zn（ Fp ） を得たように、体 K上の多項式環 K[x] についても元 f ∈ K[x] を選んで、多項式の剰余環 （ または体 ）を得ることができます。すべての K上の多項式 h（x） は f（x）が与えられると、q（x）、r（x）∈K[x] ； （deg r（x） ＜deg f（x）） を用いて、
h（x） ＝ q（x）f（x） ＋ r（x）
と一意的に表せます。したがって、整数の剰余類にならって f による多項式の剰余類を
［r（x）］f、または r（x） + （ f ）
と書きます。 ここで、（f） は ｆ （x） の倍数で、
（ ｆ ）＝｛ ｆ（x） ・g（x）｜g（x）∈K[x] ｝
です。 これは、例えば、f ＝ x2＋1 （2次式） をとれば、任意の多項式 h（x）∈R［x] は
h（x） ＝ Ｑ（x）（x2＋1）＋ ax＋b ； （ a、b∈K、Ｑ（x）∈K[x] ）
と書け、剰余は1次式 ax＋b となることを言ってます。 ←高校生でやりましたね。
［２］ 整数の n による剰余類の代表元に 0 から n-1 までの整数を選べたように、代表元 r（x） は、次数 （deg f（x）−1）以下の多項式を選ぶことができます。そして、多項式全体の集合 K[x] は類別されて、
K[x] ＝ （r1（x）＋（f））∪（r2（x）＋（f））∪・・・∪（rn（x）＋（f））∪・・・
となります。ただし、整数の類別の場合は類別の数はn個と有限ですが、多項式の場合は類別の数は無限となっています。
多項式の剰余類の演算の定義］
［r1（x）]f ±[r2（x）］f ＝ ［r1（x） ± r2（x）］f と定義すれば、剰余類 ［r（x）]f の集合は環になる。 これを剰余環K[x]/（f） と書く。 |
ここで、［r1（x） ・ r2（x）］f は deg r1（x）・r2（x） ＞（deg f（x）−1）ならば、
r1（x）・r2（x）＝ ｑ’（x）f（x） + r12（x）
と一意的に書けることを利用して、次数 （deg f（x）−1） 以下の多項式に代表元をみつけることにします。
また、ｆ ∈ K[x] が既約ならば、次の定理が成り立ちます。
| ｆ ∈ K[x] が既約ならば剰余環K[x]/（f） は体である。これを ｆ による剰余体といい、Kf と書く |
［３］ ｆ の倍数、
（ ｆ ）＝｛ ｆ・g（x）｜g（x）∈K[x] ｝＝Ｉ
は K[x] のイデアルとなります。
例えば、f＝x2＋1、g1（x）、g2（x）、h（x）∈K[x] とすると、
（x2＋1）g1（x）、（x2＋1）g2（x）∈ Ｉ
⇒
（x2＋1）g1（x）±（x2＋1）g2（x）＝（x2＋1）（g1（x）±g2（x））∈ Ｉ
（x2＋1）g1（x）・h（x）＝（x2＋1）［g1（x）h（x）］∈ Ｉ
が示されるからです。
| 体 K上の多項式環を K[x] とすると、
(1) 任意の f ∈ K[x] の倍数の集合 （f） は K[x] のイデアルである。 |
補
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・特に 0 でない定数 c （∈K⊂K[x] ） の倍数 （ c ）はイデアルとなり、（ c ） ＝ K[x] ・g、h∈K[x] のとき、（ g ） ＝ （ h ） である ⇔ g ＝ rh なる可逆元 r が存在する。 ・（ 1変数 ）多項式環は単項イデアル環である。 |
このように整数環から整数の剰余環への写像と多項式環から多項式の剰余環への対応＝写像にはイデアルを介して共通の概念が含まれています。実は、「イデアルは、環の準同型写像の核である。」とまとめられることが次に示されます。
整数環 多項式環 整数の剰余環 多項式の剰余環 整数 n の倍数（ n ） 多項式 f の倍数（ f ） 素数 既約多項式 [a]n ［r（x）］f
［1］ 群論における準同型写像[#]と同じように環についても準同型写像を定義します。
| 定義： R、R’ を 1 をもつ可換環とする。写像 μ： R → R’ が環の準同型（写像）であるとは、 任意の a、b ∈ R、1 ∈ R、 1’∈ R’ に対して （1） μ（a±b）＝μ（a）±μ（b） となることである。 ただし、＋、・ は環 R 上の演算、＋、・ は環 R’上の演算とする。 |
［２］ さて、環準同型写像μ によって0’∈R’に写ってくる元像、｛x∈R｜μ（x）＝0’、0’∈R’｝を、 Ker μ と書き、核と呼びます。
核はR のイデアルである
ことは次のように示せます。
まず、a、b ∈ Ker μ ならば、
0’＝μ（0）＝μ（ b-b ）＝μ（b ）＋μ（-b ）＝ 0’＋μ（-b ）、
すなわち、μ（-b ） ＝ 0’ 。したがって、
μ（ a-b ） ＝μ（a）＋μ（-b）＝ 0’＋0’＝ 0’
μ（ a+b ） ＝μ（a）＋μ(b)＝ 0’＋0’＝ 0’
μ（ ab ） ＝μ（a）μ（b）＝ 0’･ 0’＝ 0’
これより、a-b、a＋b、ab ∈ Ker μ なので[#] から、
（1） Ker μ は R の部分環である。
さらに、任意の元 r ∈ Rに対して、
μ（ar ） ＝μ（a ）μ（r ）＝0’・μ（r ） ＝ 0’
より
（２） ar ∈ Kerμ （ a ∈ Ker μ 、r ∈ R ）
です。つまり、Kerμ はR のイデアルです。
さらにμ（p ）＝ p’ ならば、
μ（p＋Ker f ） ＝ μ（p ）＋μ（Ker f ） ＝ p’＋0’
＝ p’
となり、p＋Ker μ が一団となってp’に移されます。この様子を右に示しました。