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７ 体Fp上の2次方程式［Fp2における解］ | |
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前章ではFp上の２次方程式がFpの中に”根をもたない”こともこの問題の”答え”としました。しかし、実数係数をもつ２次方程式が実数の範囲に根をもたなくても、複素数の範囲まで広げて考えると必ず根を見い出せる（代数の基本定理[#]）ように、この問題ももっと広い範囲で根を探せば見つかるのではないかと考えられます。この章では実数から複素数を作り出した方法を模倣することでFp上の２次方程式が必ず根をもつようになFp より大きな体を構成する方法を示します。
１．体Fp2 の構成
［１］ 実数係数をもつ２次方程式X2＋1＝0の根は実数の範囲には根をもちませんが、複素数の範囲まで広げると根を見つけ出せます。このとき、どのように複素数を作り出したかといいますと、実数に根をもたない方程式、X2＝-1 の根をi （虚数）と定義し、新しく、
a＋bi ← 複素数はベクトル空間：（a、b）∈R2 の元と考えることができます。
と書ける数の集合（複素数）を考え出したのでした。ここでも、F7に根をもたないF7上２次方程式 [#]、
X2 ＝ 3 （←右辺が0、1、2、4のときだけ根をもちます。）
の根の一つをα （α2＝3 ) を用いて、新しい数 a＋bα の集合、
F72 ＝ ｛ a＋bα｜a、b ∈F7 ｝ ← 平面をR2と書くような感覚でF72と書きます。
を考えます。（ここで、＋は単なる記号） すると、これは以下の演算のもとで体となることが確かめられます。
↓ 新しく定義する演算：＋、−、×、÷
（a＋bα）＋（c＋dα）＝（a＋c）＋（b＋d）α
（a＋bα）−（c＋dα）＝（a−c）＋（b−d）α
（a＋bα）×（c＋dα）＝（ac＋bdt）＋（ad＋bc）α
（a＋bα）÷（c＋dα）＝［（ac−bdt）/（c2−d2t）］＋［（-ad＋bc）/（c2−d2t）］α （ただし、c＋dα≠0）
ここで、白文字の演算はF7での四則演算（かけ算は演算記号省略）です。（白黒ではこれら３種類の記号は普通混同されます。）
すると、
（α）2＝3、（2α）2＝5、（3α）2＝6、（4α）2＝6、（5α）2＝5、（6α）2＝3 （mod7）
という計算結果より、F7 に根をもたなかった２項方程式 X2 ＝ a （ a＝3、5、6 ） は
x2＝3 → 根は α と 6α
x2＝5 → 根は 2α と 5α
x2＝6 → 根は 3α と 4αちなみに、 x2 ＝ 0 → 根は 0
x2 ＝ 1 → 根は 1 と 6
x2 ＝ 2 → 根は 3 と 4
x2 ＝ 4 → 根は 2 と 5
と F72 に根をもつことがわかります。すなわち、すべての X2＝ a、 a ∈ F7 が F72上で根を持っています。
今、α を定義するのに、（α 2＝3) を用いましたが、残りのF7 に根をもたない α 2 ＝ 5、6 を用いたらどうでしょうか。
α2＝5
α2＝6
とすると、
（α）2＝5、（2α）2＝6、（3α）2＝3、（4α）2＝3、（5α）2＝6、（6α）2＝5 （mod7）
（α）2＝6、（2α）2＝3、（3α）2＝5、（4α）2＝5、（5α）2＝3、（6α）2＝6 （mod7）
となり、F72 の構成に用いる元は α、α、α のどれでもよいことがわかります。
一般的に、
| 定理： 体 Fp上の2次2項方程式は拡大体Fp2 の中に必ず根をもつ。 ただし、拡大体 Fp2とは、Fp の原始根rに関する指数が奇数であるような元 s をとり、α 2 ＝ s となるような数α をFp に添加してできる数の集合： Fp2 ＝ ｛ a＋bα｜a、b ∈Fp ｝、 ←ここで「＋」は単なる記号（演算ではない！） に演算： ＋、−、×、÷ （a＋bα）＋（c＋dα）＝（a＋c）＋（b＋d）α を定義したものとする。 |
（略証）
ここの４つの式で問題となるのは、
c＋dα≠ 0 ⇒ c2−d2t≠0
がいえるかどうかです。これが証明できれば、逆元の存在がいえ、Fp2 が体であることがわかります。
⇒ ただの計算問題です [#]
（補足） さらに一般的に、
q ＝ pn （ p は素数、n は自然数 ） のとき、Fq は（有限）体になる。
ことが分かっています。詳しくは⇒[#] このような有限体をガロア体と呼びます。逆に有限体はガロア体に限ることも分かっています。
体Fp上の２次の２項方程式の解が求まれば、一般の方程式、
aX2＋bx+c ＝ 0 ； a ≠ 0、b、c ∈ Fp
を Fp2 で解くことは簡単です。２次方程式の平方を完成すると、
（x＋b/（2a））2−（b2−4ac）/4a2 ＝ 0
となります。x＋b/（2a） ＝ X 、（b2−4ac）/4a2 を A とおいて、
X2＝A ； A ∈ Fp
を解いた根（１つか２つ） を X0∈Fp2 とすると、
x＝X0−b/（2a） ∈ Fp2
が根となります。
以上、代数方程式を解く、または解けるようにするにはどのように”数”を拡張すればよいかということを係数が有限体である一般的な２次方程式について示しました。
（一応、これが講義のメインの結論です。）