７　体Fp上の2項方程式［Fp2における解］
f-denshi.com  最終更新日：
［目次へ］
サイト検索

　前ページではF_p上の２次方程式がF_pの中に”根をもたない”こともこの問題の”答え”としました。しかし，実数(有理数)係数をもつ２次方程式が実数(有理数)の範囲に根をもたなくても，複素数の範囲まで広げて考えると必ず根を見い出せる（代数の基本定理[#]）ように，この問題ももっと ”広い範囲” で根を探せば見つかるのではないかと考えられます。この章では実数(有理数)から複素数を作り出した方法を模倣することで F_p上の２次方程式が必ず根をもつようにな F_p より大きな体を構成する方法を示します。

　１．体F_p² の構成

［１］　実数係数をもつ２次方程式 x²＋1＝0 の根は実数の範囲には根をもちませんが，複素数の範囲まで広げると根を見つけ出せます。このとき，どのように複素数を作り出したかというと，実数に根をもたない方程式，x²＝-1　の根をi　（虚数）と定義し，新しく，

a＋bi　　　　　←　複素数はベクトル空間：（a，b）∈R² の元と考えることもできます。

と書ける数の集合（複素数）を考え出したのでした。

ここでも，F₇に根をもたないF₇上２次方程式　[#]，

x² ＝ 3　　　←右辺が 0，1，2，4 のときだけ根をもつ。（下図を見よ）

の根の一つを

α　　（α²＝3 )

を用いて，新しい数　a＋bα　の集合，

F72 ＝ ｛ a＋bα｜a，b ∈F7 ｝　　←　平面を R2 と書くような感覚で F72 と書きます。

を考えます。ここで，＋は単なる仕切り記号で，F₇² は49個の元からできていますが，この集合は以下の演算の下で体となることが確かめられます。

↓　新しく定義する演算：＋，−，×，÷

（a＋bα）＋（c＋dα）＝（a＋c）＋（b＋d）α
（a＋bα）−（c＋dα）＝（a−c）＋（b−d）α
（a＋bα）×（c＋dα）＝（ac＋bdt）＋（ad＋bc）α
（a＋bα）÷（c＋dα）＝［（ac−bdt）/（c²−d²t）］＋［（-ad＋bc）/（c²−d²t）］α　
　（ただし，c＋dα≠0，α ² ＝ t）

ここで，白文字の演算，+，-，/はF₇での四則演算（かけ算は演算記号省略）です。（白黒の本ではこれら３種類の記号は混同して使われます。）

F₇² は F₇ にαを添加してできる代数拡大体 F₇(α) と同じです。するとこの拡大体の中で，

（α）2＝3，（2α）2＝5，（3α）2＝6，（4α）2＝6，（5α）2＝5，（6α）2＝3　　（mod 7）　　　　　･･･　[*]

という計算結果より，

x²−3＝(x−α)(x＋α)
 　　　＝(x−α)(x−6α)　　　　←　6α²＝−α²＝-3

と因数分解できることがわかります。

［２］

このように f(x)∈F[x] を１次の因数に分解できる体を f(x) の分解体といいます。また，αと6αは F₇上同じ最小多項式 x²−3 を持っており互いに共役な根となっています。

さらに [*] をよくみると，F₇ に根をもたなかった２項方程式　x²＝a　（ a＝3，5，6 ）　は，

x2＝3　  →　 根は α  と 6α x2＝5　  → 　根は 2α と 5α x2＝6　  → 　根は 3α と 4α

前ページ の結果 再掲すると， 　　　　⇒

x2 ＝ 0　 →　根は 0 x2 ＝ 1　 →　根は 1 と 6 x2 ＝ 2　 →　根は 3 と 4 x2 ＝ 4　 →　根は 2 と 5

というように F₇² に根をもつことがわかります。すなわち，

すべての a ∈ F₇ について，x²＝ a は F₇²上に根を持つ

ことも分かりました。したがって， a＝5，6　についても

x²−5＝(x−2α)(x−5α)
x²−6＝(x−3α)(x−4α)

のように因数分解ができます。

［３］　ここで，x²−1＝0 の「1以外の根」をθ，すなわち，θ＝6 とおきます。このとき，方程式，x²−a＝0 の根の一つを b とすると，もう一つの根は常にbθで与えられることが確かめられます。例えば，x²−2＝0 の一つの根は4ですが，もう一つの根は θ＝6 をこれに乗じて， 6×4＝3　(mod 7)　というように。

これはもう少し一般化されて [#]，

いま調べた例は，n＝2 のもっとも簡単な場合です。

証明　　⇒　[#]

［４］　ここまで，体を拡大するための元α を定義するのに，α ²＝3　を用いましたが，残りのF₇ に根をもたない α ² ＝ 5，または 6 を用いたらどうでしょうか。

α₁²＝5
α₂²＝6

とすると，

（α₁）²＝5，（2α₁）²＝6，（3α₁）²＝3，（4α₁）²＝3，（5α₁）²＝6，（6α₁）²＝5　　（mod 7）
（α₂）²＝6，（2α₂）²＝3，（3α₂）²＝5，（4α₂）²＝5，（5α₂）²＝3，（6α₂）²＝6　　（mod 7）

となり，体F₇² の構成に用いる元は α，α₁，α₂ のいずれであっても，体F₇上の方程式，x²−a ＝ 0　がF₇² 上に解を持つことになります。つまり，x²−3＝0　の解は，3α₁と4α₁，もしくは，2α₂，5α₂と表すこともできます。実際，

x²−3＝(x−α)(x−6α)

　＝(ｘ−3α₁)(x−4α₁)
　＝ （x−2α₂）（x−5α₂）

というように因数分解できます。　（　F₇²≡F₇ (α)≡F₇(α₁) ≡F₇(α₂)　）

ここの問題を解くにあたっては，この説明でも十分なのですが，他の教科書とつき合わせて勉強する人のために補足しておくと，
αの F に関する共役元が全て F の拡大体 L，([L：F]≠∞) に属すならば，L は F の正規拡大といい，さらに L が F上分離的 [#] であるとき，L を F のガロア拡大体 [#] といいます。

したがって，F₇ へのα，α₁，α₂ による F₇² への体の拡大は，いずれもガロア拡大となっています。そして，

F₇²≡F₇ (α)≡F₇(α₁) ≡F₇(α₂)　

3＝α2＝2(α1)2＝4(α2)2

の関係が成り立っています。

［５］

一般的に，

ここの４つの演算の定義式で問題となるのは，c，d がともに 0 でないとき，

c＋dα≠ 0　  ⇒  　c²−d²t≠0　

がいえるかどうかです。背理法で示します。

もし，c²−d²t＝0　ならば，d＝0 とすると，c も 0 となり仮定：c＋dα≠0　に反するので，d≠0　でなければなりません。
すると，t＝（c/d）²　と表せますが，これの r に関する指数をとって，

ind_r t ＝2×ind_r (c/d)   mod (p-1)

と表せば，これは t の指数が偶数であることを示しており，仮定（tの指数数は奇数）に反します。よって，c²−d²t＝0 とはならない。

（補足）　さらに一般的に，

ことが分かっています。詳しくは⇒[#]　このような有限体をガロア体と呼び，GF(pⁿ) とも書きます。逆に有限体はガロア体に限ることも分かっています。

［６］　さて，以上の結果を代数方程式を代数的に解くという視点から見直しておきます。ガロアが初めて気が付いたいわれる視点です。

まず，ここで示した解は，「体F₇上の方程式，x²−a＝0　(a＝3，5，6)　は体F₇上では既約 」 であり，これ以上因数分解できません。ところが，新しい数α ( ただし，α²＝3 ) を体　F₇　に添加して作られる 「 F₇　の拡大体　F₇² 上では可約」　となり，因数分解ができ，代数方程式を解くことができるようになりました。…ということでした。

ここで，F₇²上で定義される体同型写像，

σ(x)＝x⁷　
σ(x＋y)＝(x＋y)⁷＝x⁷＋y⁷＝σ(x)＋σ(y)     ←(x＋y)^p＝x^p＋y^p　［mod p］
σ(xy)＝x⁷y⁷＝σ(x)σ(y)　　                           

を考え，この定義域を部分体，F₇に制限して考えると，

σ(0)＝0，　σ(1)＝1，　σ(2)＝2⁷＝2，　
σ(3)＝3，　σ(4)＝4，　σ(5)＝5，　σ(6)＝6，

というように計算できます。つまり，F₇　から　F₇　への1対1上への写像となり，　x∈F₇　の元を動かさないことがわかります。このような写像σを 「F₇² のZ₇上の自己同型写像 (Z₇上のF₇²自己同型写像)」　といいます。他にこれと同じ性質をもつ写像は F₇²上の恒等写像 e ：e(x）＝x  しかありません。これら自己同型写像全体から構成される群，

G(F₇² /F₇)＝｛ e，σ｝

はガロア群と呼ばれます。この写像はF₇の拡大体　F₇(α)　については，

α ²＝3，　α³＝3α，　α⁴＝2，　α⁵＝2α，　α⁶＝6，　α⁷＝6α，　･･･

であることを利用して，

σ（α）＝α⁷＝6α，　
σ（6α）＝σ(6)σ（α）＝α　　←36α＝α　mod 7

この自己同型写像を，x²−3＝(x−α)(x−6α)　の両辺に作用させると，左辺の方程式を不変のままにして，右辺のF₇²上で得られる方程式の根αと6αを入れ替える働きがあることがわかります。

x²−5＝0，x²−6＝0　についても同様な働きです。この性質は一般化できて，「 L の F上の自己同型写像は，任意の F上の(２項)多項式の形を不変に保ち，その分解体 L上の根を入れ替える働きをもつ 」 とすることができます。

体を Z⁷ から F₇² へ拡大するとき，その体 Z₇ 上のベクトル空間[#]からみて，体 F₇² のベクトル空間としての次元は２次元となりますが，これを拡大次数が２であるといいます。ガロアの理論によれば，拡大次数とガロア群の位数が一致する時に限って，代数的に方程式を解くことができます（必要条件）。今，調べた例では，まさにそのようになっていたために代数方程式 x²−a＝0　( mod 7 )　を解くことができたのです。詳しくは次のページで説明します。

代数方程式の次数が大きくなると，添加しなければならない元の数が増えていきますが，それを一つ追加するごとの体の拡大次数と，その拡大に対応したガロア群の位数が，体の拡大の各ステップごとにおいてすべて一致するとき，その代数方程式は（べき根を用いて）代数的に解けるための必要条件の一つであることが示されます。詳しくは次のページで説明します。

２．3次の2項方程式について　　

［１］

n＝ 0 1 2 3 4 5 6 r＝0 * 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 4 1 2 4 1 3 1 3 2 6 4 5 1 4 1 4 2 1 4 2 1 5 1 5 4 6 2 3 1 6 1 6 1 6 1 6 1

F7の rn の計算結果(原始根表)

上の表から，x³−a＝0　は自明な a＝0 を除いて，a＝1，6　のときにF₇上に解を持つことが分かります。

x³−1＝(x−1)(x−2)(x−4) 　　　　　＝x³−7x²＋14x−8
x³−6＝(x−3)(x−5)(x−6) 　　　　　＝x³−14x²＋63x−90　　　　　　

a≠0，1，6　の場合は，F₇の拡大体の中に解を求めることができます。

a がそれら以外のときも2次方程式の場合と同様に考えることができます。

F₇²を F₇ に x³−2＝0 の解の一つβを添加してできる代数拡大体 F₇(β)とします。

すると，この拡大体の中で，

（β）³＝2，（2β）³＝2，（3β）³＝5，（4β）³＝2，（5β）³＝5，（6β）³＝5　　（mod 7）　　　　

という計算結果より，共役な他の根は，2β，4βと分かり，

x³−2＝(x−β)(x−2β)(x−4β)    　＝ x³-7βx² ＋14β²x−8β³

同時に，a＝5のときの根は，3β，5β，6βと分かります。

x³−5＝(x−3β)(x−5β)(x−6β)    　＝ x³-14βx² ＋63β²x−90β³

［２］

今度は x³−3＝0 の解の一つγを添加してできる代数拡大体 F₇(γ) を考えると，まず，

（γ）³＝3，（2γ）³＝3，（3γ）³＝4，（4γ）³＝3，（5γ）³＝4，（6γ）³＝4　　（mod 7）　　

という計算を行っておけば，

x³−3＝(x−γ)(x−2γ)(x−4γ)
x³−4＝(x−3γ)(x−5γ)(x−6γ)

と因数分解されることがわかります。

まとめて示します。

x3＝1　  →　 根は  1， 2， 4 x3＝6　  → 　根は  3， 5， 6 x3＝2　  →　 根は β， 2β，4β x3＝5　  → 　根は 3β，5β，6β x3＝3　  → 　根は γ， 2γ，4γ x3＝4　  → 　根は 3γ，5γ，6γ

x3 ＝ 0　  →　 根は 0

［３］

自己同型写像の性質の確認

β³＝2，　β⁴＝2β，　β⁵＝2β²，　β⁶＝4，　β⁷＝4β，　･･･

自己同型写像 σ(x)＝x⁷ により，x³−2＝0 の根は，

σ(β)＝β⁷     ＝4β，
σ(2β)＝2・4β＝β 　　　　←σ(2)＝2⁷＝2　mod 7    
σ(4β)＝4・4β＝2β

巡回的に根が入れ代わることが確かめられます。F₇(β) は F₇ のガロア拡大体で自己同型写像は方程式を不変に保ちます。

x³−4＝0 の場合も，

γ³＝3，γ⁴＝3γ，　γ⁵＝3γ²，　γ⁶＝2，　γ⁷＝2γ，

σ(3γ)＝3・2γ＝6γ
σ(5γ)＝5・2γ＝3γ
σ(6γ)＝6・2γ＝5γ

と同様に自己同型写像 σ(x)＝x⁷ により根が巡回的に入れ代わります。

ただし，β＝γ²　の関係がある。　( β³＝2＝γ⁶ )

４．4，5，6次方程式

F₇上の二項方程式を具体的に解いてみましょう。

4次方程式

a=1の場合　　　α²＝3　とする

x⁴-1＝(x²−1)(x²−6)＝0

と変形すれば，

x²−1＝(xー1)(x−6)
x²−6＝(x−3α)(x−4α)

　∴　x⁴-1＝(x−3α)(x−4α)(x−1)(x−6)

a＝2の場合

x⁴-2＝(x²−3)(x²−4)＝0

と変形して考えることができます。

(x²−3)＝(x−α)(x−6α)
(x²−4)＝(x−2)(x−5)

　∴　x⁴-2＝(x−α)(x−6α)(x−2)(x−5)
　　　　　　 ＝（x−α）(x−α(3α⁾²) (x−α(3α)) (x−α(3α)³)

a＝3の場合　　(α₃)⁴＝3　として，　(α₀)²＝α

x⁴-3＝(x²−α)(x²−6α)＝0

x²−α＝(x−α₃)(x−6α₃)
x²−6α＝(x−3αα₃)(x−4αα₃)
　　　　　＝(x−3α₃³)(x−4α₃³)

　∴　x⁴-3＝(x−α₃)(x−6α₃)(x−3α₃³)(x−4α₃³)
　　　　　　 ＝(x−α₃) (x−α₃(3α)²) (x−α₃(3α)) (x−α₃(3α)^３)　　　　　　　

a＝4の場合　

x⁴-4＝(x²−2)(x²−5)＝0

x²−2＝(x−3)(x−4)
x²−5＝(x−2α)(x−5α)

a＝5の場合　　(α₃)⁴＝3　として，　(α₃)²＝α

x⁴-5＝(x²−2α)(x²−5α)＝0

x²−2α＝(x−3α₃)(x−4α₃)
x²−5α＝(x−2αα₃)(x−5αα₃)

x⁴-5＝(x−3α₃)(x−4α₃)(x−2α₃³)(x−5α₃³)
　　　　　　 ＝(x−3α₃) (x−3α₃(3α)²) (x−3α₃(3α)) (x−3α₃(3α)^３)　　　

a＝6の場合　

x⁴-6＝(x²−3α)(x²−4α)＝0

x²−4α＝(x−2α₃)(x−5α₃)
x²−3α＝(x−αα₃)(x−6αα₃)

x⁴-6＝(x−2α₃)(x−5α₃)(x−α₃³)(x−6α₃³)
　　　　　　 ＝(x−2α₃) (x−2α₃(3α)²) (x−2α₃(3α)^３)(x−2α₃(3α))

5次方程式

3次方程式の場合と同様な計算をしてみると，

δ₁⁵＝1　⇒　(2δ₁)⁵＝4，(3δ₁)⁵＝5，(4δ₁)⁵＝2，(5δ₁)⁵＝3，(6δ₁)⁵＝6　 (δ₁=1)
δ₂⁵＝2　⇒　(2δ₂)⁵＝1，(3δ₂)⁵＝3，(4δ₂)⁵＝4，(5δ₂)⁵＝6，(6δ₂)⁵＝5
δ₃⁵＝3　⇒　(2δ₃)⁵＝5，(3δ₃)⁵＝1，(4δ₃)⁵＝6，(5δ₃)⁵＝2，(6δ₃)⁵＝4
δ₄⁵＝4　⇒　(2δ₄)⁵＝2，(3δ₄)⁵＝6，(4δ₄)⁵＝1，(5δ₄)⁵＝5，(6δ₄)⁵＝3
δ₅⁵＝5　⇒　(2δ₅)⁵＝6，(3δ₅)⁵＝4，(4δ₅)⁵＝3，(5δ₅)⁵＝1，(6δ₅)⁵＝2
δ₆⁵＝6　⇒　(2δ₆)⁵＝3，(3δ₆)⁵＝2，(4δ₆)⁵＝5，(5δ₆)⁵＝4，(6δ₆)⁵＝1

これより，x⁵ｰaの根を各δ_k　(k＝1,2,…,6)で表すことができます。

ただし，δ_k　の関係は次のとおり。（δ₂で表したい場合）

δ₁⁵＝(2δ₂)⁵＝4δ₂⁵
δ₃⁵＝(3δ₂)⁵＝5δ₂⁵
δ₄⁵＝(4δ₂)⁵＝2δ₂⁵
δ₅⁵＝(6δ₂)⁵＝6δ₂⁵
δ₆⁵＝(5δ₂)⁵＝3δ₂⁵

6次方程式

x⁶-1＝（ｘ³−1)(x³−6）
　　　＝(x−1)(x−2)(x−4)(x−3)(x−5)(x−6)

a＝2　のとき，γ₁⁶＝2 ⇔ γ₁³＝3　⇔　γ₁＝γ

x⁶-2＝（ｘ³−3)・(x³−4）

      ＝{ (x−γ)(x−2γ)(x−4γ) }・{ (x−3γ)(x−5γ)(x−6γ) }
      ＝(x−γ)(x−3γ)(x−2γ)(x−6γ)(x−4γ)(x−5γ)
　　　＝(x−γ)(x−3γ)(x−3²γ)(x−3³γ)(x−3⁴γ)(x−3⁵γ)

a＝3　のとき，　γ₃⁶＝3＝γ³　　を導入すればよい

後は結果だけ表に示します。

xⁿーa　の根の一覧表は次のとおりです。

α²＝3 　⇔　α⁴＝2，α⁶＝6，α⁸＝4，α¹⁰＝5，α¹²＝1，
β³＝2 　⇔　β⁶＝4，β⁹＝1，
γ³＝3 　⇔　γ⁶＝2，γ⁹＝6，γ¹²＝4，γ¹⁵＝5，γ¹⁸＝1
α₃⁴＝3　⇔　α₃²＝α　⇔　 α₃＝√α
δ_k⁵＝k
γ₃⁶＝3　⇔　γ₃³＝α，γ₃²＝γ　⇔　 γ₃＝√γ
γ₅⁶＝5

３．体F_p上の方程式，ax²＋bx+c ＝ 0  の解法

［１］

体F_p上の２次の２項方程式の根の求め方が分かれば，一般の方程式，

ax²＋bx+c ＝ 0　；　a ≠ 0，b，c ∈ F_p

を F_p² で解くことも同様な手順で進められます。先ず，a が 1でない場合は，an＝1　mod　p　となるような n （n＝2，3，・・・，6）を乗じてやれば，a＝1　とすることができるので，一般性を失うことなく，

x²＋B x＋C ＝ 0　；　B，C ∈ F_p

を考えれば良いことが分かります。

ここでは，具体例を用いて， F₇上の2次方程式，

f(x)＝x²＋x＋3 ＝ 0　

を考えてみましょう。xに0から6までの値を代入してみると，下図のようにf(x)≠0　なので f(x) は F₇上で既約です。

	x2	＋x	＋m	＝f(x)
x＝0	0	0	3	3
1	1	1	3	5
2	4	2	3	2
3	2	3	3	1
4	2	4	3	2
5	4	5	3	1
6	1	6	3	2

そこでこの方程式の根を F₇上にないαとします。このとき，

f(α)＝α²＋α＋3 ＝ 0　　　⇔　　α²＝−α−3　＝ 6α＋4

もう一つの根βは，解と係数の関係から，αβ＝3

F₇にαを添加した拡大体 F₇(α) の 0 以外の元は，αⁿで与えられるが，αの1次式で表せば，

α⁰＝1
α¹＝α
α²＝−α−3　　　　　＝ 6α＋4
α³＝6( 6α＋4)＋4α＝5α＋3
α⁴＝5(6α＋4)＋3α＝5α＋6
α⁶＝5 (6α＋4)＋6α＝α＋6
α⁷＝ (6α＋4)＋6α ＝5α＋4
α⁸＝5(6α＋4) ＋4α＝6α＋6
α⁹＝6(6α＋4)＋6α＝3

・・・・　　α⁴⁸　までに F₇(α) の 0 以外の元48個が現れる。

これから，

αβ＝3＝α⁹　

∴　β＝α⁸
　　　　＝6α＋6

実際に

ｆ（6α＋6） ＝（6α＋6）²＋(6α＋6)＋3
　　　　　　　＝36（α²＋2α＋1）＋6α+9
　　　　　　　＝（α²＋2α＋1）＋6α+2
　　　　　　　＝α²＋α＋3

と検算して確かめることもできます。

関連する定理

［目次へ］

メモ：

F₇の拡大体　F₇(α)　について，

α ²＝3，　α³＝3α，　α⁴＝2，　α⁵＝2α，　α⁶＝6，　α⁷＝6α，
α⁸＝4，　α⁹＝4α，　α¹⁰＝5，　α¹¹＝5α，α¹²＝1，　α¹³＝α

したがって，σ(x)＝x⁷　によって，

σ（α）＝6α (＝θα)， σ(6α)＝α