７　体Fp上の2次方程式［Fp2における解］
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　前章ではF_p上の２次方程式がF_pの中に”根をもたない”こともこの問題の”答え”としました。しかし，実数係数をもつ２次方程式が実数の範囲に根をもたなくても，複素数の範囲まで広げて考えると必ず根を見い出せる（代数の基本定理[#]）ように，この問題ももっと広い範囲で根を探せば見つかるのではないかと考えられます。この章では実数から複素数を作り出した方法を模倣することでF_p上の２次方程式が必ず根をもつようになF_p より大きな体を構成する方法を示します。

　１．体F_p² の構成

［１］　　実数係数をもつ２次方程式X²＋1＝0の根は実数の範囲には根をもちませんが，複素数の範囲まで広げると根を見つけ出せます。このとき，どのように複素数を作り出したかといいますと，実数に根をもたない方程式，X²＝-1　の根をi　（虚数）と定義し，新しく，

a＋bi　　　　　←　複素数はベクトル空間：（a，b）∈R² の元と考えることができます。

と書ける数の集合（複素数）を考え出したのでした。ここでも，F₇に根をもたないF₇上２次方程式　[#]，

X² ＝ 3　　　（←右辺が0，1，2，4のときだけ根をもちます。）

の根の一つをα　（α²＝3 )　を用いて，新しい数　a＋bα　の集合，

F₇² ＝ ｛ a＋bα｜a，b ∈F₇ ｝　　←　平面をR²と書くような感覚でF₇²と書きます。

を考えます。ここで，＋は単なる仕切り記号で，F₇² は49個の元からできていますが，この集合は以下の演算の下で体となることが確かめられます。

↓　新しく定義する演算：＋，−，×，÷

（a＋bα）＋（c＋dα）＝（a＋c）＋（b＋d）α
（a＋bα）−（c＋dα）＝（a−c）＋（b−d）α
（a＋bα）×（c＋dα）＝（ac＋bdt）＋（ad＋bc）α
（a＋bα）÷（c＋dα）＝［（ac−bdt）/（c²−d²t）］＋［（-ad＋bc）/（c²−d²t）］α　（ただし，c＋dα≠0，α ² ＝ t）

ここで，白文字の演算，+，-，/はF₇での四則演算（かけ算は演算記号省略）です。（白黒の本ではこれら３種類の記号は普通混同して使われます。）

F₇²はF₇にαを添加してできる代数拡大体 F(α) です。するとこの拡大体の中で，

（α）²＝3，（2α）²＝5，（3α）²＝6，（4α）²＝6，（5α）²＝5，（6α）²＝3　　（mod7）　　　　　･･･　[*]

という計算結果より，

x²−3＝(x−α)(x−6α)

と因数分解できることがわかります。このようにf(x)∈F[x]を１次の因数に分解できる体をf(x)の分解体といいます。また，αと6αはF₇上同じ最小多項式を持っており互いに共役な根といいます。

さらに[*]をよくみると，F₇ に根をもたなかった２項方程式　x² ＝ a　（ a＝3，5，6 ）は，

x2＝3　  →　 根は α  と 6α x2＝5　  → 　根は 2α と 5α x2＝6　  → 　根は 3α と 4α

前のページの結果より，

x2 ＝ 0　  →　 根は 0 x2 ＝ 1　  →　 根は 1 と 6 x2 ＝ 2　  →　 根は 3 と 4 x2 ＝ 4　  →　 根は 2 と 5

というように F₇² に根をもつことがわかります。すなわち，すべての　x²＝ a，　a ∈ F₇　が F₇²上で根を持っています。したがって， a＝5，6　についても

x²−5＝(x−2α)(x−5α)
x²−6＝(x−3α)(x−4α)

のように因数分解ができます。

ここで，x²−1＝0 の1以外の根をθ，すなわち，θ＝6 とおく。このとき，方程式，x²−a＝0 の根の一つを b とすると，もう一つの根は常にbθで与えられることが確かめられます。例えば，x²−a＝0 の一つの根は4ですがもう一つの根は4×6＝3　(mod7)　というように。これはもう少し一般化されて，xⁿ−1の原始n乗根をθとすれば，２項方程式 xⁿ−a＝0 の解の一つを b を用い，この方程式のすべての根を，b，bθ，･･･，bθ^n-1 と表すことができる。

［２］　今，α を定義するのに，（α ²＝3)　を用いましたが，残りのF₇ に根をもたない α ² ＝ 5，または 6 を用いたらどうでしょうか。

α²＝5
α²＝6

とすると，

（α）²＝5，（2α）²＝6，（3α）²＝3，（4α）²＝3，（5α）²＝6，（6α）²＝5　　（mod7）
（α）²＝6，（2α）²＝3，（3α）²＝5，（4α）²＝5，（5α）²＝3，（6α）²＝6　　（mod7）

となり，体F₇² の構成に用いる元は α，α，α のいずれであっても，体F₇上の方程式，x²−a　＝0　がF₇² 上に解を持つことになります。つまり，x²−3＝0　の解は，3αと4α，もしくは，2α，5αと表すこともできます。したがって，

(ｘ−3α)(x−4α)＝x²＋5α²＝x²＋4＝x²−3＝････＝ （x−2α）（x−5α）

という関係があります。また，共役な元はすべて拡大体F₇²に含まれていますが，そのような体の拡大をF₇からF₇²へのガロア拡大といいます。

ここの問題を解くにあたっては，この説明でも十分なのですが，他の教科書とつき合わせて勉強する人のために補足しておくと，
αのFに関する共役元が全てFの拡大体L，([L：F]≠∞) に属すならば，LはFの正規拡大といい，さらにLがF上分離的[#]であるとき，LをFのガロア拡大体といいます。ここでの例に絡めて，分離的でない拡大体の例をあげておくと，β⁷＝3を満たす 3exp(2πi /7) を加えてできる拡大体F₇(β) は分離拡大ではありません。なぜなら，g(x)＝x⁷-3 を考えるとこれはF₇上でβの最小多項式ですが，g(x)＝(x−3)⁷　(mod 7)　と変形すればわかるようにβはg(x)＝0 の７重根となっているからです。

一般的に，

ここの４つの演算の定義式で問題となるのは，c,dがともに0でないとき，

c＋dα≠ 0　  ⇒  　c²−d²t≠0　

がいえるかどうかです。それは，c²≠3，5，6　(c≠ 0) に対して，d²t＝3，5，6　(d≠ 0)なのでOK。そして，逆元の存在もいえ，F_p² が体であることがわかります。

（補足）　さらに一般的に，

q ＝ pn　（ p は素数，n は自然数 ）　のとき，Fq は（有限）体になる。

ことが分かっています。詳しくは⇒[#]　このような有限体をガロア体と呼びます。逆に有限体はガロア体に限ることも分かっています。

［３］　さて，以上の結果を代数方程式を代数的に解くという視点から見直しておきます。

まず，ここで示した解法は，「体F₇上の方程式，x²−a＝0　(a＝3，5，6)　は体F₇上では既約 」 であり，これ以上因数分解できません。ところが，新しい数α ( ただし，α²＝3 ) を体F₇に添加して作られる 「 F₇の拡大体F₇² 上では可約」　となり，(x−β)(x−γ)＝0，　(β，γ∈とF₇² ) と因数分解ができ，代数方程式を解くことができるようになりました。　　ということです。

ここで，F₇²上で定義される体同型写像，

σ(x)＝x⁷　，σ(x＋y)＝(x＋y)⁷＝x⁷＋y⁷＝σ(x)＋σ(y)，σ(xy)＝x⁷y⁷＝σ(x)σ(y)

を考え，この定義域を部分体，F₇に制限して考えると，

σ(0)＝0，　σ(1)＝1，　σ(2)＝2⁷(mod7)＝2，　
σ(3)＝3，　σ(4)＝4，　σ(5)＝5，　σ(6)＝6，

というように計算できます。つまり，σ(x)＝x　となり，　x∈F₇　の元を動かさないことがわかります。このような写像σを，「σはF₇² のZ₇自己同型写像である。」といいます。他にこれと同じ性質をもつ写像はF₇²上の恒等写像 {e} しかありません。これら自己同型写像全体から構成される(変換)群，

G(F₇² /F₇)＝｛e，σ｝

はガロア群と呼ばれます。この写像はF₇の拡大体　F₇(α)　について，

α ²＝3，　α³＝3α，　α⁴＝2，　α⁵＝2α，　α⁶＝6，　α⁷＝6α，　･･･

したがって，

σ（α）＝6α＝θα，　σ（6α）＝α，

この自己同型写像を，x²-3＝(x−α)(x−6α)　の両辺に作用させると，左辺の方程式を不変のままにして，右辺のF₇²上で得られる根αと6αを入れ替える働きがあることがわかります。x²-5＝0，x²-6＝0　についても同様な働きです。この性質は一般化できて，「LのF自己同型写像は，任意のF上の(２項)多項式の形を不変に保ち，その分解体L上の根を入れ替える働きをもつ」とすることができます。

体をZ⁷からF₇²へ拡大するとき，その体Z₇上のベクトル空間[#]からみて，体F₇²のベクトル空間としての次元は２次元となりますが，これを拡大次数が２であるといいます。ガロアの理論によれば，拡大次数とガロア群の位数が一致する時に限って，代数的に方程式を解くことができます。今調べた例では，まさにそのようになっていたために代数方程式x²−a＝0　(mod7)　を解くことができたのです。

代数方程式の次数が大きくなると，添加しなければならない元の数が増えていきますが，それを一つ追加するごとの体の拡大次数と，その拡大に対応したガロア群の位数が，体の拡大ごとにおいてすべて一致するとき，その代数方程式は代数的に解けるということが示されています。この事情は標数0の有理数体であっても同じです。　(ただし，他の拡大に際してどのような元を添加すべきかは慎重でなければいけません。)

２．体F_p上の方程式，aX²＋bx+c ＝ 0  の解法

体F_p上の２次の２項方程式の解が求まれば，一般の方程式，

aX²＋bx+c ＝ 0　；　a ≠ 0，b，c ∈ F_p

を F_p² で解くことは簡単です。２次方程式の平方を完成すると，

（x＋b/（2a））²−（b²−4ac）/4a² ＝ 0

となります。x＋b/（2a） ＝ X ，（b²−4ac）/4a² を A とおいた方程式，

X²＝A　；　A ∈F_p

を解いた根（１つか２つ） を X₀∈F_p² とすると，

x＝X₀−b/（2a） ∈ F_p²

が根となります。
以上，代数方程式を解く，または解けるようにするにはどのように”数”を拡張すればよいかということを特に有限体F₇上の２次方程式について具体的に示しました。

（一応，これが講義のメインの結論です。より一般的な述べ方をすると，「体F_p上の２次方程式は，ガロア拡大体F_p²の元を用いて表わすことができる。」となります）　

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F₇の拡大体　F₇(α)　について，

α ²＝3，　α³＝3α，　α⁴＝2，　α⁵＝2α，　α⁶＝6，　α⁷＝6α，
α⁸＝4，　α⁹＝4α，　α¹⁰＝5，　α¹¹＝5α，α¹²＝1，　α¹³＝α

したがって，σ(x)＝x⁷　によって，

σ（α）＝6α＝θα，σ(6α)＝α

F₅について

n ＝ 0 1 2 3 4 5 6 3n ＝ 1 3 2 6 4 5 1 ↓ a  ＝ 1 2 3 4 5 6 ind 3（a) ＝ 0 2 1 4 5 3	n＝ 0 1 2 3 4 5 6 r＝0 * 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 4 1 2 4 1 3 1 3 2 6 4 5 1 4 1 4 2 1 4 2 1 5 1 5 4 6 2 3 1 6 1 6 1 6 1 6 1
	F7の rn の計算結果(原始根表)

F₇²はF₇にβを添加してできる代数拡大体 F(β) です。するとこの拡大体の中で，

（β）³＝2，（2β）³＝2，（3β）³＝5，（4β）³＝2，（5β）³＝5，（6β）³＝5　　（mod7）　　　　

という計算結果より，

x³−2＝(x−β)(x−2β)(x−4β)

今度はx³−3＝0 の解γを添加してできる代数拡大体 F(γ) を考える。

（γ）³＝3，（2γ）³＝3，（3γ）³＝4，（4γ）³＝3，（5γ）³＝4，（6γ）³＝4　　（mod7）　　　　

x³−3＝(x−γ)(x−2γ)(x−4γ)

まとめ，原始立方根は，2または4で，

x3＝2　  →　 根は β， 2β，4β x3＝5　  → 　根は 3β，5β，6β x3＝3　  → 　根は γ， 2γ，4γ x3＝4　  → 　根は 3γ，5γ，6γ

x3 ＝ 0　  →　 根は 0 x3 ＝ 1　  →　 根は 1，2，4 x3 ＝ 6　  →　 根は 3，5，6

一般的にF₇上の３次方程式が常に解を持つためには拡大体，F₇³≡{s＋tβ＋uγ｜s，t，u∈F₇}　を考えればよいことを示すことができます。