| 3 環 Znと体 Fp | ||
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第一部 群論 11章、14章では整数の剰余類の集合Zn について、加法群+と乗法群 ×を別々に導入してそれぞれ考察しましたが、ここでは同時にこれら2種の演算を持ち込み、環、および体を構成します。
[1] 整数の剰余類の集合:
Zn ={[0]n、[1]n、[2]n、・・・、[n-1]n}
を考えます。11章[#]で見たようにZnは加法+を演算として可換群をなします。この加群では、[0]n が零元となり、[a]n のマイナス元は[n-a]n であたえられます。また、剰余類を乗法群とするために乗法×を定義することも可能で交換法則が成り立ちました。 さらに、この2種の演算の定義に基づいて、
[a]n×( [b]n+[c]n)=[a]n× [b+c]n
=[a×(b+c)]n
=[a×b+a×c]n
=[a×b]n+[a×c]n
=[a]n×[b]n+[a]n×[c]n
と、×、+ についての分配法則が成り立つことがわかります。すなわち、
| 剰余類、Znは この×、+の演算のもとで(1をもつ可換)環である |
ことがわかります。これを整数の剰余環と呼びます。
[2] 整数の剰余類Znのうち、n の倍数の集合(n)=[0]n={・・・-2n、-n、0、n、2n、・・・}は整数のイデアルとなっています。
さて、14章で見たように、
Zn* = Zn −{ [0]n }
= { [1]n、[2]n、・・・、[n-1]n }
はn が素数 p であるとき、積 × のもとで群をなしました。これは環 Znで考えると、零元である[0]n 以外のすべての元が積に関しての逆元をもつことを示しています。したがって、2種類の演算+、× が定義されたもとで、次の定理が成り立ちます。
| 定理 [p 元体] p を素数とすると、Zp ={ [0]p、[1]p、[2]p、・・・、[p-1]p } は ×、+ の演算のもとで体となる |
この体(正確にはこれと同型な体)を整数の剰余体、またはp元体といいます。また、体であることを(2種類の演算を考えていることを)はっきり示すために体の英語、Field の頭文字をとって、Zp の代わりに以後、Fp と書くことにします。←整数の剰余群Zpと区別するためです。また、これ以後、特に注意を促す必要があるときを除いて、[ ]pを省略して、
Zp = Fp = { 0、1、2、・・・、p-1 }
と表記することにしましょう。
[1] 体 Fp = { 0、1、2、・・・、p-1 } から零元を除いた集合を、 Fp* ={ 1、2、・・・、p-1 } とします。 Fp* には乗法として元の位数 [#] が p-1 の元 r が少なくとも一つ存在することが証明できます(Apndex 1[#])。すなわち、Fp*は積に関して巡回群で、r 自身をかけ合わせていけば、
r、r2、・・・、rp-2、rp-1=1
が得られ、これら p-1個の元はすべて異なっています。このような元 r を p を法としての原始根といいます。
この r を用いれば、
Fp* = { 1、r、r2、・・・、rp-2 }
と表すことができます。したがって、r が与えられると、 Fp* の任意の元 a は、
a = rk
と書くことができ、各元をそれぞれ異なる k に一意的に対応させることができます。この k を r に関する a の指数 といい、
k =ind r( a )
と書きます。
[2] これは普通の対数 log と似た性質( ”log ra = k” ) をもっていて、
|
Fp* の元 a、b に対して ind r(ab) = ind r( a ) +ind r( b ) (mod p-1) |
が成り立ちます(証明略)。 ←指数の演算+、× が ” mod p-1 ” でおこなわれるのはもちろん、 ap-1=1 に起因してます。
[3] また、Fp* の元 a の位数 |a| と r に関する a の指数 ind r(a) との間には、次の関係があります。
|a|= (p-1) (p-1、ind r(a))
(証明略)
[1] 体の理論に入り込む前に、これからしばしば用いる定理を一つ紹介しておきましょう。数論と代数との接点がここに見いだせます。この定理はフェルマーの小定理と呼ばれています。
| フェルマーの定理: 素数 p で割り切れない整数 a に対して、 ap-1 は p で割ると余りは 1 である。 ⇔ ap-1≡1 (mod p) |
証明
[2] 有限体Fp を考えます。←もちろんpは素数です! まず、a を p で割り切れない整数としたので、[a]p は [0]p に等しくないことに注意しましょう。
[3] 次に、集合: Fp*=Fp−{ [0]p } の (p-1)個の元、
{[1]p、[2]p、・・・、[p-1]p} = Fp*
と Fp* の元それぞれに、 [a]p∈Fp* を掛けた集合、
[a]p×Fp*={[a]p×[1]p、[a]p×[2]p、・・・、[a]p×[p-1]p}
を考えます。この集合の(p-1)個の元は互いにすべて異なります。たとえば、もし、
[a]p×[1]p=[a]p×[p-1]p ならば、⇒ [1]p=[p-1]p
となって矛盾するからです。↑体は簡約ができるのでした。[#] したがって、
Fp* = [a]p×Fp* ←集合として等しいことを言ってます。
です。
[4] すると、この2つの集合それぞれについて、”すべての元のかけ合わせ(積)”を考えると、それらは等しく、次の等式が成り立ちます:
[1]p×[2]p×・・・×[p-1]p=([a]p×[1]p)×([a]p×[2]p)・・・×([a]p×[p-1]p)
=[a]pp-1×( [1]p×[2]p×・・・×[p-1]p )
両辺を [1]p×[2]p×・・・×[p-1]p で簡約すれば、
[1]p = [a]pp-1 ( mod p ) ←計算の途中では省略しましたが、”=”は(mod p )の下でした。 )
つまり、mod p のもとでは、 [a]pp-1 = [ap-1]p なので [#]、
[1]p = [ap-1]p ⇔ 「 ap-1 は p で割ると 1 余る整数」
と言うことがいえるのです。以上よりフェルマーの小定理が証明されました。