|
３ 環 Znと体 Fp | |
| f-denshi.com 最終更新日： | ||
第一部 群論 11章、14章では整数の剰余類の集合Zn について、加法群＋と乗法群 ×を別々に導入してそれぞれ考察しましたが、ここでは同時にこれら２種の演算を持ち込み、環、および体を構成します。
［１］ 整数の剰余類の集合：
Zn ＝｛[0]n、[1]n、［2］n、・・・、［n-1］n｝
を考えます。11章[#]で見たようにZnは加法＋を演算として可換群をなします。この加群では、[0]n が零元となり、[a]n のマイナス元は［n-a］n であたえられます。また、剰余類を乗法群とするために乗法×を定義することも可能で交換法則が成り立ちました。 さらに、この２種の演算の定義に基づいて、
[a]n×（ [b]n＋［c］n）＝[a]n× [b＋c］n
＝[a×（b＋c）］n
＝[a×b＋a×c］n
＝[a×b］n＋［a×c］n
＝[a］n×［b］n＋［a］n×［c］n
と、×、＋ についての分配法則が成り立つことがわかります。すなわち、
| 剰余類、Znは この×、＋の演算のもとで（1をもつ可換）環である |
ことがわかります。これを整数の剰余環と呼びます。
［２］ 整数の剰余類Znのうち、n の倍数の集合（n）＝[0]n＝｛・・・-2n、-n、0、n、2n、・・・｝は整数のイデアルとなっています。
さて、14章で見たように、
Zn* ＝ Zn −｛ [0]n ｝
＝ ｛ [1]n、［2］n、・・・、［n-1］n ｝
はn が素数 p であるとき、積 × のもとで群をなしました。これは環 Znで考えると、零元である[0]n 以外のすべての元が積に関しての逆元をもつことを示しています。したがって、２種類の演算＋、× が定義されたもとで、次の定理が成り立ちます。
| 定理 ［p 元体］ p を素数とすると、Zp ＝｛ [0]p、[1]p、［2］p、・・・、［p-1］p ｝ は ×、＋ の演算のもとで体となる |
この体（正確にはこれと同型な体）を整数の剰余体、またはｐ元体といいます。また、体であることを（2種類の演算を考えていることを）はっきり示すために体の英語、Field の頭文字をとって、Zp の代わりに以後、Fp と書くことにします。←整数の剰余群Zpと区別するためです。また、これ以後、特に注意を促す必要があるときを除いて、［ ］pを省略して、
Zp ＝ Fp ＝ ｛ 0、1、2、・・・、p-1 ｝
と表記することにしましょう。
［１］ 体 Fp ＝ ｛ 0、1、2、・・・、p-1 ｝ から零元を除いた集合を、 Fp* ＝｛ 1、2、・・・、p-1 ｝ とします。 Fp* には乗法として元の位数 [#] が p-1 の元 ｒ が少なくとも一つ存在することが証明できます（Apndex 1[#]）。すなわち、Fp*は積に関して巡回群で、r 自身をかけ合わせていけば、
r、r2、・・・、rp-2、rp-1＝1
が得られ、これら p-1個の元はすべて異なっています。このような元 ｒ を ｐ を法としての原始根といいます。
この r を用いれば、
Fp* ＝ ｛ 1、r、r2、・・・、rp-2 ｝
と表すことができます。したがって、r が与えられると、 Fp* の任意の元 a は、
a ＝ rk
と書くことができ、各元をそれぞれ異なる k に一意的に対応させることができます。この k を r に関する a の指数 といい、
k ＝ind r（ a )
と書きます。
［２］ これは普通の対数 log と似た性質（ ”log ra ＝ k” ） をもっていて、
|
Fp* の元 a、b に対して ind r（ab) ＝ ind r（ a ) ＋ind r（ b ) （mod p-1） |
が成り立ちます（証明略）。 ←指数の演算＋、× が ” mod p-1 ” でおこなわれるのはもちろん、 ap-1＝１ に起因してます。
［３］ また、Fp* の元 a の位数 |a| と r に関する a の指数 ind r（a) との間には、次の関係があります。
｜a｜＝ （p-1） （p-1、ind r（a)）
（証明略）
［１］ 体の理論に入り込む前に、これからしばしば用いる定理を一つ紹介しておきましょう。数論と代数との接点がここに見いだせます。この定理はフェルマーの小定理と呼ばれています。
| フェルマーの定理： 素数 ｐ で割り切れない整数 a に対して、 ap-1 は ｐ で割ると余りは 1 である。 ⇔ ap-1≡１ （mod ｐ） |
証明
［２］ 有限体Fp を考えます。←もちろんpは素数です！ まず、a を p で割り切れない整数としたので、[a]p は [0]p に等しくないことに注意しましょう。
［３］ 次に、集合： Fp*＝Fp−｛ [0]p ｝ の （p-1）個の元、
｛[1]p、［2］p、・・・、［p-1］p｝ ＝ Fp*
と Fp* の元それぞれに、 [a]p∈Fp* を掛けた集合、
[a]p×Fp*＝｛[a]p×[1]p、[a]p×［2］p、・・・、[a]p×［p-1］p｝
を考えます。この集合の（p-1）個の元は互いにすべて異なります。たとえば、もし、
[a]p×[1]p＝[a]p×［p-1］p ならば、⇒ [1]p＝［p-1］p
となって矛盾するからです。↑体は簡約ができるのでした。[#] したがって、
Fp* ＝ [a]p×Fp* ←集合として等しいことを言ってます。
です。
［４］ すると、この２つの集合それぞれについて、”すべての元のかけ合わせ（積）”を考えると、それらは等しく、次の等式が成り立ちます：
[1]p×［2］p×・・・×［p-1］p＝（[a]p×[1]p）×（[a]p×［2］p）・・・×（[a]p×［p-1］p）
＝[a]pp-1×（ [1]p×［2］p×・・・×［p-1］p ）
両辺を [1]p×［2］p×・・・×［p-1］p で簡約すれば、
[1]p ＝ [a]pp-1 （ mod p ） ←計算の途中では省略しましたが、”＝”は（mod p ）の下でした。 ）
つまり、mod p のもとでは、 [a]pp-1 ＝ [ap-1]p なので [#]、
[1]p ＝ [ap-1]p ⇔ 「 ap-1 は p で割ると 1 余る整数」
と言うことがいえるのです。以上よりフェルマーの小定理が証明されました。