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３ 環 Znと体 Fp | |
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第一部 群論 11章，14章では整数の剰余類の集合Zn について，加法群＋と乗法群 ×を別々に導入してそれぞれ考察しましたが，ここでは同時にこれら２種の演算を持ち込み，環，および体を構成します。
［１］ 整数の剰余類の集合：
Zn ＝｛[0]n，[1]n，［2］n，・・・，［n-1］n｝
を考えます。11章[#]で見たようにZnは加法＋を演算として可換群をなします。この加群では，[0]n が零元となり，[a]n のマイナス元は［n-a］n であたえられます。また，剰余類を乗法群とするために乗法×を定義することも可能で交換法則が成り立ちました。 さらに，この２種の演算の定義に基づいて，
[a]n×（ [b]n＋［c］n）＝[a]n× [b＋c］n
＝[a×（b＋c）］n
＝[a×b＋a×c］n
＝[a×b］n＋［a×c］n
＝[a］n×［b］n＋［a］n×［c］n
と，×，＋ についての分配法則が成り立つことがわかります。すなわち，
| 剰余類，Znは この×，＋の演算のもとで（1をもつ可換）環である |
ことがわかります。これを整数の剰余環と呼びます。
［２］ 整数の剰余類Znのうち，n の倍数の集合（n）＝[0]n＝｛・・・-2n，-n，0，n，2n，・・・｝は整数のイデアルとなっています。
さて，14章で見たように，
Zn* ＝ Zn −｛ [0]n ｝
＝ ｛ [1]n，［2］n，・・・，［n-1］n ｝
はn が素数 p であるとき，積 × のもとで群をなしました。これは環 Znで考えると，零元である[0]n 以外のすべての元が積に関しての逆元をもつことを示しています。したがって，２種類の演算＋，× が定義されたもとで次の定理が成り立ちます。
| 定理 ［p 元体］ p を素数とすると，Zp ＝｛ [0]p，[1]p，［2］p，・・・，［p-1］p ｝ は ×，＋ の演算のもとで体となる |
この体（正確にはこれと同型な体）を整数の剰余体，またはｐ元体といいます。また，体であることを（2種類の演算を考えていることを）はっきり示すために体の英語，Field の頭文字をとって，Zp の代わりに以後，Fp と書くことにします。←整数の剰余群Zpと区別するためです。また，これ以後，特に注意を促す必要があるときを除いて，［ ］pを省略して，
Zp ⇒ Fp ＝ ｛ 0，1，2，・・・，p-1 ｝
と表記することにしましょう。
［１］ 体 Fp ＝ ｛ 0，1，2，・・・，p-1 ｝ から零元を除いた集合を， Fp* ＝｛ 1，2，・・・，p-1 ｝ とします。 Fp* には乗法として元の位数 [#] が p-1 の元 ｒ が少なくとも一つ存在することが証明できます（Apndex 1）。すなわち，Fp*は積に関して巡回群で，r 自身をかけ合わせていけば，
r，r2，・・・，rp-2，rp-1＝1
が得られ，これら p-1個の元はすべて異なっています。このような元 ｒ を ｐ を法としての原始根といいます。
この r を用いれば，
Fp* ＝ ｛ 1，r，r2，・・・，rp-2 ｝
と表すことができます。したがって，r が与えられると， Fp* の任意の元 a は，
a ＝ rk
と書くことができ，各元をそれぞれ異なる k に一意的に対応させることができます。この k を r に関する a の指数 といい，
k ＝ind r（ a )
と書きます。
［２］ これは普通の対数 log と似た性質（ a ＝ rk ⇔ ”log ra ＝ k” ） をもっていて，
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Fp* の元 a，b に対して ind r（ab) ＝ ind r（ a ) ＋ind r（ b ) （mod p-1） |
が成り立ちます（証明略）。 ←指数の演算＋，× が ” mod p-1 ” でおこなわれるのはもちろん， ap-1＝１ に起因してます。
［３］ また，Fp* の元 a の位数 |a| と r に関する a の指数 ind r（a) との間には，次の関係があります。
｜a｜＝ （p-1） （p-1，ind r（a)）
（証明略）
［１］ 体の理論に入り込む前に，これからしばしば用いる定理を一つ紹介しておきましょう。数論と代数との接点がここに見いだせます。この定理はフェルマーの小定理と呼ばれています。
| フェルマーの定理： 素数 ｐ で割り切れない整数 a に対して， ap-1 は ｐ で割ると余りは 1 である。 ⇔ ap-1≡１ （mod ｐ） |
証明
［２］ 有限体Fp を考えます。←もちろんpは素数です！ まず，a を p で割り切れない整数としたので，[a]p は [0]p に等しくないことに注意しましょう。
［３］ 次に，集合： Fp*＝Fp−｛ [0]p ｝ の （p-1）個の元，
｛[1]p，［2］p，・・・，［p-1］p｝ ＝ Fp*
と Fp* の元それぞれに， [a]p∈Fp* を掛けた集合，
[a]p×Fp*≡｛[a]p×[1]p，[a]p×［2］p，・・・，[a]p×［p-1］p｝
を考えます。この集合の（p-1）個の元は互いにすべて異なります。たとえば，もし，
[a]p×[1]p＝[a]p×［p-1］p ならば，⇒ [1]p＝［p-1］p
となって矛盾するからです。↑体は簡約ができるのでした。[#] したがって，
Fp* ＝ [a]p×Fp* ←集合として等しいことを言ってます。
です。
［４］ すると，この２つの集合それぞれについて，”すべての元のかけ合わせ（積）”を考えると，それらは等しく，次の等式が成り立ちます：
[1]p×［2］p×・・・×［p-1］p＝（[a]p×[1]p）×（[a]p×［2］p）・・・×（[a]p×［p-1］p）
＝[a]pp-1×（ [1]p×［2］p×・・・×［p-1］p ）
両辺を [1]p×［2］p×・・・×［p-1］p で簡約すれば，
[1]p ＝ [a]pp-1 （ mod p ） ←計算の途中では省略しましたが，”＝”は（mod p ）の下でした。 ）
つまり，mod p のもとでは， [a]pp-1 ＝ [ap-1]p なので [#]，
[1]p ＝ [ap-1]p ⇔ 「 ap-1 は p で割ると 1 余る整数」
と言うことがいえるのです。以上よりフェルマーの小定理が証明されました。