Appendix１　 位数 p-1 の元の存在
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−　 しばらくメモ書きだけ 　−

　［証明の方針］
　　　　Ｆp^*から１以外の元を取り a とし、その位数をsとする。
　（ケース１）
　　　　　 s＝p-1　⇒　証明終わり

　（ケース２）
　　　　　s＜p-1　⇒　「Ｆp^*に位数がsより大きい元が存在する」・・・・・・・・・・・［１］
　　　　　　　　　　　　　　を示す。

　　　　　［１］が成り立てば、
　　　　　　　⇒　その元をs1（＞s）とする、もしs1＜p-1なら、位数がs1より大きい元が存在するはず、
　　　　　　　　　 その元をs2とする、もしs2＜p-1なら、　位数がs2より大きい元が存在する

　　　　　　　　　以上、　sn＝p−1　となるまで繰り返す　→　定理は証明される。

［１］の証明

［�T］　a、a²、a³、・・・、a^s-1、a^s（＝1）　は互いに異なる

［�U］ a、a²、a³、・・・、a^s-1、a^s（＝1） 　は s 乗すると１になる

[�V]　a、a²、a³、・・・、a^s-1、a^s（＝1）　は ｘ^s−1＝0 の根のすべてである

[�W]　a、a²、a³、・・・、a^s-1、a^s（＝1) 以外の元 b の位数 t と s の最小公倍数 を k とすれば、k ＞ s である

　　　 　　a、a²、a³、・・・、a^s-1以外の元　b　が存在するはず、（s＜p-1なので）
　　　(1)　b の位数 t＞s　→　［３］が成り立つ、証明終わり
　　　(2)　b の位数 t≦s

　　　　　　s と t との最大公約数を d とし、s＝s’d、t＝t’d　とする

　　　　　　１．ｔ が s の約数（t’＝1）　→　b　は ｘ^s−1＝0 の根になる　（矛盾）
　　　　　　２．t’≠1　　→　tとsの最小公倍数　＝k＝s’t’d＝t’s＞s　である

[�X]　位数 k (＞s) の元 c が存在する　⇒ [１] の証明おわり

　　　　　　具体的には　c＝a^S1b^t1の位数がkであることを示す。

　　　　　　　　ただし、S₁とt₁を次のように定義される。　
　　　　　　　　s（＝s’d）の約数のうちでt’と素で最大のものをS₀として、
　　　　　　　　s＝S₀S₁
　　　　　　　　と書くと、S₁は整数でS₀とS₁とは互いに素

　　　　　　　　　また、s’はS₀の約数　（s’≦S₀）　　
　　　　　　　　　　　　S₁はdの約数　　（d≧S₁）
　　　　　⇒　　t’S₁はt’d（＝t）の約数　　→　t＝（t’S₁）t₁　なる整数t₁が存在する
　　　　　　　　　（S₀　はt’S₁と互いに素でもある）

まず、

　　　　c^k＝（a^S1b^t1）^k＝a^S1kb^t1k＝a^S1t’sb^t1t’s＝（a^s）^S1t’b^t1t’S0S1

　　　　　＝（a^s）^S1t’（b^t）^S0＝（1）^S1t’（1）^S0＝1　

　　　　　　　→　ｃ　の位数はk以下である

次に、

　　　　c^m＝1　ならば、m≧k　を示す。

　　　1＝（c^m）^S0＝（a^S1b^t1）^mS0＝a^S0S1mb^t1mS0＝（a^S）^mb^t1mS0＝b^t1mS0

　　　よって、t（＝t’S₁t₁）はt₁mS₀の約数、（かつ、S₀　はt’S₁と互いに素）　→　t’S₁はmの約数

　　　1＝（c^m）^S1t’＝（a^S1b^t1）^mS1t’＝a^S1S1mt’b^t1mS1t’＝a^S1S1mt’（b^t）^m＝a^S1S1mt’

　　　よって、s（＝S₀S₁）はS₁S₁mt’の約数、（かつ、S₀　はS₁とt’互いに素）　→　S₀はmの約数

　　　したがって、（t’S₁）S₀＝kはmの約数　→　m≧k

　　　　　　　　　　　　　証明終

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