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14 剰余類の乗法群 | |
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［１］ 整数の剰余類の集合Znについては、［a］n に属する任意の元 a’および、［b］n に属する任意の元 b’とすると、
a≡a’ （mod n）、 b≡b’ （mod n） → a×b ≡ a’× b’ （mod n）
となります。なぜなら、整数 c、d を用いて、a−a’＝ c×n、 b−b’＝ d×n とおくと、
a×b＝（a’＋c×n）（b’＋d×n） ＝ a’× b’ ＋ （a’×d＋b’×c＋c×d×n） ×n 整数
となるからです。したがって、前章の加法と同様に、剰余類の乗法（積）を
［a］n × ［b］n＝［a× b］n
によって定義し、演算に意味をもたせることができます。
［２］ この積をもとでのZ5の各元の演算結果を表にすると乗積表をつくってみると、
× ［０］5 ［１］5 ［２］5 ［３］5 ［４］5 ［０］5 ［０］5 ［０］5 ［０］5 ［０］5 ［０］5 ［１］5 ［０］5 ［１］5 ［２］5 ［３］5 ［４］5 ［２］5 ［０］5 ［２］5 ［４］5 ［１］5 ［３］5 ［３］5 ［０］5 ［３］5 ［１］5 ［４］5 ［２］5 ［４］5 ［０］5 ［４］5 ［３］5 ［２］5 ［１］5
となり、。この表の［０］5の関係した部分を除いた部分（色の濃い部分）は群を作っていることがわかります。すなわち、
| 定理： Z5* ＝ Z5−｛[０]5｝ ＝ ｛[1]5、［2］5、［3］5、［4］5｝ は乗法×のもとで群をなす。 |
ことがわかります。単位元は［１］5 であり、逆元の存在もすべての行、（列）に［１］5 が存在することからわかります。
［３］ しかし、どんな n についても Zn* が乗法群をなすわけではありません。たとえば、Z6 の乗法表を作りますと、
× ［０］6 ［１］6 ［２］6 ［３］6 ［４］6 ［５］6 ［０］6 ［０］6 ［０］6 ［０］6 ［０］6 ［０］6 ［０］6 ［１］6 ［０］6 ［１］6 ［２］6 ［３］6 ［４］6 ［５］6 ［２］6 ［０］6 ［２］6 ［４］6 ［０］6 ［２］6 ［４］6 ［３］6 ［０］6 ［３］6 ［０］6 ［３］6 ［０］6 ［３］6 ［４］6 ［０］6 ［４］6 ［２］6 ［０］6 ［４］6 ［２］6 ［５］6 ［０］6 ［５］6 ［４］6 ［３］6 ［２］6 ［１］6
となり、Z6* は群をなしません。［2］6、［3］6、［4］6に逆元が存在しないからです （これらに何をかけても [1]6 にはならない！） また、［2］6、［3］6、［4］6 の行には、［2］6 × ［3］6 ＝ ［０］6 という ”かけ算” としてはオカシナこともおきています。 一般に、
ある b≠0 に対して、 a × b ＝ 0
となるとき、a を零因子といいます。この用語を用いると［0］6以外にもZ6には零因子が存在します。どのような元が零因子になるかといえば、n が 1と n 以外の約数をもてば、a≠1 （つまり、［b］n≠［0］n）、かつ a× b ＝ n となる a、b が存在して、
［a］n × ［b］n ＝ ［a× b］n ＝ ［n］n ＝ ［0］n (0≦a、b＜nとして考えてます。)
となることから、
| a が n の 1 以外の約数 ⇔ ［a］n は零因子となる。 |
ことがわかります。
［４］ また、［b］n≠［0］n の零因子 ［a］n に逆元 ［a］n-1 が存在すると、
［b］n ＝ ［a］n-1×［a］n × ［b］n ＝ ［a］n-1×［0］n ＝ ［0］n
となり、［b］n≠［0］n に矛盾します。すなわち、
| 零因子は逆元をもたない。 |
そこで、Z6*の中で逆元をもつ元（←可逆元といいます）だけを抜き出した集合
Ｇ6 ＝ ｛[1]6、［5］6｝
× ［1］5 [5］5 [1］5 [1］5 [5］5 ［5］5 [5］5 [1］5
を考えるとこれは群をなすことがわかります。これは、「 Z6* から零因子を除外して群 Ｇ6を 得る。 」 ということができます。
［５］ 以上、考察のもと次の定理が成り立ちます。
| 定理
Zn* の乗法における可逆元全体を Ｇn＝｛［a］n∈Zn*｜∃［b］∈Zn*、［a］×［b］＝［1］｝ とすると、 （１） Ｇnは乗法群をなす。特に n が素数 ｐ ならば、Zp* の元全体は乗法群をなす （２） ［a］n ∈ Ｇn ⇔ a と n は互いに素 （３）｜Ｇn｜＝φ（n） ただし、φ（n）はオイラー（Euler）のPhi 関数で によって定義されます。 |
また、Ｇn に属する剰余類を nと素な剰余類 ということもあります。
補遺
ここで、突然でてきたオイラーのPhi 関数の具体的な性質をいくつか書いておきましょう。
まず、具体的に計算してもみましょう。
n＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 ･･･ φ（n）＝ 1 1 2 2 4 2 6 4 ･･･ 素数 1 1 1,2 1,3 1,2,3,4 1,5 1,2,3,4,5,6 1,3,5 ･･･
･重要な関係式：
n＝p1a･p2b････pkrとするとき、
φ（n）＝n 1− 1 1− 1 ････ 1− 1 p1 p2 pk
＝ p1a− p1a p2b− p2b ････ pkr− pkr p1 p2 pk
＝（p1a−p1a-1）（p2b−p2b-1）・・・（pkr−pkr-1）
例： φ（12）＝φ（22･3）＝（4-2）（3-1）＝4 （ ← 素な数は、1、5、7、11 ）
･n と素な整数 a に対して
aφ（n） ＝ 1 （mod n）
オイラーの関係式
Pm を小さい方から数えて m 番目の素数とすれば、
1 ns ＝ 1
1− 1 pms
が成り立ちます。 この関係式を示すのには、次の公式を用います。
1 ＝ 1＋r＋r2＋・・・＋rn＋・・・・ 、 ただし、｜r｜＜1 1− r
| r として、 | 1 | ＜ 1 代入すれば、 |
| pms |
1 ＝ 1 ＋
1 p1s ＋
1 p22s ＋
1 ＋ ・・・・・ p33s
1− 1 pms
したがって、
1 ＝ 1 ＋
1 2s ＋
1 22s ＋
1 ＋ ・・・・・ 23s ・・・・［1］
1− 1 pms ･･････････････････････････････････････････
× 1 ＋
1 3s ＋
1 32s ＋
1 ＋ ・・・・・ 33s ・・・・[2] ･･････････････････････････････････････････
× 1 ＋
1 pks ＋
1 pk2s ＋
1 ＋ ・・・・・ pｋ3s ・・・・[k]
これを展開すれば、
＝ Σ 1 α、β・・・ （p1αp2βp3γ･････）s
ここで、Σは（α、β、・・・ω）は、0 以上のあらゆる整数の組についてわたてとります。すると、自然数が一意的に
p1αp2βp3γ･････pkω （α＝β＝・・・＝0 のとき、1 です。）
のように表せることから、この級数は、
1 ns
と書いてよいことがわかります。
