14 剰余類の乗法群
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1.整数の剰余類の乗法群

[1] 整数の剰余類の集合Znについては、[a]n に属する任意の元 a’および、[b]n に属する任意の元 b’とすると、

a≡a’ (mod n)、  b≡b’ (mod n) → a×b ≡ a’× b’ (mod n) 

となります。なぜなら、整数 c、d を用いて、a−a’= c×n、 b−b’= d×n とおくと、

a×b=(a’+c×n)(b’+d×n) = a’× b’ + (a’×d+b×c+c×d×n) ×n
整数

となるからです。したがって、前章の加法と同様に、剰余類の乗法(積)を

[a]n × [b]n=[a× b]n

によって定義し、演算に意味をもたせることができます。

[2] この積をもとでのZ5の各元の演算結果を表にすると乗積表をつくってみると、

× [0]5 [1]5 [2]5 [3]5 [4]5
[0]5 [0]5 [0]5 [0]5 [0]5 [0]5
[1]5 [0]5 [1]5 [2]5 [3]5 [4]5
[2]5 [0]5 [2]5 [4]5 [1]5 [3]5
[3]5 [0]5 [3]5 [1]5 [4]5 [2]5
[4]5 [0]5 [4]5 [3]5 [2]5 [1]5

となり、。この表の[0]5の関係した部分を除いた部分(色の濃い部分)は群を作っていることがわかります。すなわち、

定理:

      Z5*Z5−{[0]5} = {[1]5、[2]5、[3]5、[4]5

は乗法×のもとで群をなす。

ことがわかります。単位元は[1]5 であり、逆元の存在もすべての行、(列)に[1]5 が存在することからわかります。

[3] しかし、どんな n についても Zn* が乗法群をなすわけではありません。たとえば、Z6 の乗法表を作りますと、

× [0]6 [1]6 [2]6 [3]6 [4]6 [5]6
[0]6 [0]6 [0]6 [0]6 [0]6 [0]6 [0]6
[1]6 [0]6 [1]6 [2]6 [3]6 [4]6 [5]6
[2]6 [0]6 [2]6 [4]6 [0]6 [2]6 [4]6
[3]6 [0]6 [3]6 [0]6 [3]6 [0]6 [3]6
[4]6 [0]6 [4]6 [2]6 [0]6 [4]6 [2]6
[5]6 [0]6 [5]6 [4]6 [3]6 [2]6 [1]6

となり、Z6* は群をなしません。[2]6、[3]6、[4]6に逆元が存在しないからです (これらに何をかけても [1]6 にはならない!) また、[2]6、[3]6、[4]6 の行には、[2]6 × [3]6 = [0]6 という ”かけ算” としてはオカシナこともおきています。 一般に、

ある b≠0 に対して、  a × b = 0

となるとき、a を零因子といいます。この用語を用いると[0]6以外にもZ6には零因子が存在します。どのような元が零因子になるかといえば、n が 1と n 以外の約数をもてば、a≠1 (つまり、[bn≠[0]n)、かつ a× b = n となる a、b が存在して、

[a]n × [b]n = [a× b]n = [nn = [0]n     (0≦a、b<nとして考えてます。)

となることから、

a が n の 1 以外の約数 ⇔ [a]n は零因子となる。

ことがわかります。

[4] また、[bn≠[0]n の零因子 [a]n に逆元 [a]n-1 が存在すると、

[b]n = [a]n-1×[a]n × [b]n = [a]n-1×[0]n = [0]n

となり、[b]n≠[0]n に矛盾します。すなわち、

零因子は逆元をもたない。

そこで、Z6*の中で逆元をもつ元(←可逆元といいます)だけを抜き出した集合

  G6 = {[1]6、[5]6
× [1]5 [5]5
[1]5 [1]5 [5]5
[5]5 [5]5 [1]5

を考えるとこれは群をなすことがわかります。これは、「 Z6* から零因子を除外して群6を 得る。 」 ということができます。

[5] 以上、考察のもと次の定理が成り立ちます。

定理

Zn* の乗法における可逆元全体を n={[a]nZn*[b]∈Zn*、[a]×[b]=[1]} とすると、

(1) nは乗法群をなす。特に n が素数 p ならば、Zp* の元全体は乗法群をなす
(2) [a]nn ⇔ a と n は互いに素
(3)|n|=φ(n)

ただし、φ(n)はオイラー(Euler)のPhi 関数

n=1 のとき、 φ(1)= 1
n>1 のとき、 φ(n): 1≦m≦n をみたす n と互いに素な整数 m の個数
によって定義されます。

 また、Gn に属する剰余類を nと素な剰余類 ということもあります。





補遺

ここで、突然でてきたオイラーのPhi 関数の具体的な性質をいくつか書いておきましょう。

まず、具体的に計算してもみましょう。

n= 1 2 3 4 5 6 7 8 ・・・
φ(n)= 1 1 2 2 4 2 6 4 ・・・
素数 1 1 1,2 1,3 1,2,3,4 1,5 1,2,3,4,5,6 1,3,5 ・・・

・重要な関係式:

n=p1a・p2b・・・・pkrとするとき、

φ(n)=n 1− 1 1− 1 ・・・・ 1− 1
p1 p2 pk
p1a p1a p2b p2b ・・・・ pkr pkr
p1 p2 pk
=(p1a−p1a-1)(p2b−p2b-1)・・・(pkr−pkr-1

例: φ(12)=φ(22・3)=(4-2)(3-1)=4   ( ← 素な数は、1、5、7、11 )         

・n と素な整数 a に対して

aφ(n) = 1 (mod n)

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オイラーの関係式 

Pm を小さい方から数えて m 番目の素数とすれば、

1
ns
  = 1
1− 1
pms

が成り立ちます。 この関係式を示すのには、次の公式を用います。

1 = 1+r+r2+・・・+rn+・・・・    、 ただし、|r|<1
1− r
r として、 1  < 1 代入すれば、 
pms
1 = 1 +
1
 p1s
1
 p22s
1 + ・・・・・
 p33s
1− 1
pms

したがって、

1 1 +
1
 2s
1
 22s
1 + ・・・・・
 23s
・・・・[1]
1− 1
pms
                     × 1 +
1
 3s
1
 32s
1 + ・・・・・
 33s
・・・・[2]
           ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
                    × 1 +
1
 pks
1
 pk2s
1 + ・・・・・
 p3s
・・・・[k]
           ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

これを展開すれば、

=  Σ 1
α、β・・・   (p1αp2βp3γ・・・・・)s

ここで、Σは(α、β、・・・ω)は、0 以上のあらゆる整数の組についてわたてとります。すると、自然数が一意的に

p1αp2βp3γ・・・・・pkω          (α=β=・・・=0 のとき、1 です。)

のように表せることから、この級数は、

1
ns

と書いてよいことがわかります。