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11 整数の剰余類の加群 | |
| f-denshi.com 最終更新日： 04/04/18 | ||
この章では位数が無限大の群の類別を考えます。整数の集合に普通のたし算を導入するとそれは群になります。この群に同値関係を持ち込み、整数の剰余類と呼ばれる新しい群を構成しましょう。その手順は、整数をある自然数 n で割った余りが等しいとき、この整数を同一視することで、n 個の同値類を得ます。次に、この同値類を元とする集合が群をなすための演算を定めます。
［1］ 整数の集合Zは普通のたし算 ＋ を演算とする群（Z、＋ ） です。整数の部分群として、n（＞1）の倍数全体からなる集合、
nZ ＝｛・・・、-2n、-n、0、n、2n、3n、・・・｝
は整数群（Z、＋）の正規部分群[#]です。したがって、前章にならうと、nZ によって整数を類別し、nZ による商群を得ることができるはずです。この商群は整数nによる剰余群と呼ばれます。
［2］ では、この商群を具体的に構成してみましょう。この章では演算として加法を表すために「＋」または「＋」記号を用いますが、（ 演算記号 ・ を用いた）前章の議論と本質的な違いはありません。
まず、同値関係を導入します。
| nZ を用いて、
b ＝ a＋s、 s ∈ nZ （または、b−a＝s、 s∈nZ ： a と b との差が n の倍数であることを同値関係と定める。） であるとき、整数 a、b の関係を、n を法として合同であるといい、a≡b （mod n ） と書く。 |
ことにします。この関係が同値関係であることは、
（1） a≡a （mod n ）
（2） a≡b （mod n ） ⇒ b≡a （mod n ）
（3） a≡b （mod n ）、b≡c （mod n ） ⇒ a≡c （mod n ）
が成り立つことで確かめられます。
［3］ 次に a がすべての整数にわたるとき、どのような同値類が現れるか調べると、
0 ＋ nZ ＝｛・・・、 −n、 0、 n、 2n、 ・・・ ｝
1 ＋ nZ ＝｛・・・、 −n＋1、 1、 n＋1、 2n＋1、 ・・・ ｝
2 ＋ nZ ＝｛・・・、 −n＋2、 2、 n＋2、 2n＋2、 ・・・ ｝
・・・・・・・・・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・・・・・・・・・
（n-1）＋nZ ＝ ｛・・・ −n＋（n−1）、 n−1、n＋（n−1）、2n＋（n−1）、・・・ ｝
の n 個の集合（同値類）で尽くされることがわかります。
| a＋nZ ＝ ｛a＋s｜s∈nZ｝ ⇒ ［a］n |
と記せば、整数群の集合はその部分群 nZ によって類別され、
| Z ＝ ［0］n∪［1]n∪・・・∪[n−1］n |
ここで、正四面体群のときの代表元を用いた記法などと比較すれば、
a＋nZ は a2・S1、hx･H など
［a］n は A、 H など
に対応しています。[#]
となり、その剰余類の集合を、
| Zn ＝ ｛［0］n、［1]n、・・・[n−1］n ｝ |
と書くことにします。（注意1）。また、 ［a］nの ” a ” をこの剰余類の代表元といい、普通 0 から n-1 までの整数を使います。
［4］ 例として、n＝5 のとき、剰余類は［0］5、[1]5、［2］5、［3］5、［4］5 の5つで尽くされます。ここで、［8］5を考えたとしても、8＝5＋3なので
［8］5＝｛・・・、−5＋8、 0＋8、 5＋8、 2×5＋8、・・・、 k×5＋8、 ・・・｝
＝｛・・・、 0＋3、 5＋3、2×5＋3、 3×5＋3、・・・、（k＋1）×5＋3、・・・｝
＝［3］5
となります。
［5］ 次に、この剰余類の元どうしの間に演算を定義します。それには、［a］n に属する任意の元 a’および、［b］nに属する任意の元 b’とすると、
a≡a’ （mod n ）、 b≡b’ （mod n ） ⇒ a＋b ≡ a’＋b’ （mod n ）
が成立することに着目します。つまり、剰余類 ［a］n に属する任意の元と剰余類 ［b］n の属する任意の元の和 a’＋b’は、必ず、剰余類［a＋b］nに属しているので、剰余類 ［a］n と ［b］n との和 ＋ を
| ［a］n ＋ ［b］n ＝ ［a＋b］n |
とすれば、意味のある演算として定義できます。剰余類はこの演算のもとで群をなすことは容易に確かめられ、この群を整数nによる剰余群といい、Znと書きます。
（Zn が位数 n の巡回群に用いる記号 Zn と同じ記号を使われるのには意味があります。）
［6］ n＝5 のとき、すなわち、Z5 の群表を下に示します。
＋ ［0］n ［1］n ［2］n ［3］n ［4］n ［0］n ［0］n ［1］n ［2］n ［3］n ［4］n ［1］n ［1］n ［2］n ［3］n ［4］n ［0］n ［2］n ［2］n ［3］n ［4］n ［0］n ［1］n ［3］n ［3］n ［4］n ［0］n ［1］n ［2］n ［4］n ［4］n ［0］n ［1］n ［2］n ［3］n
この群の単位元は［0］5、［a］5の逆元は［5−a］5です。
なお、代表元としてふつう、0 から 4 までの整数を用いるので、上表で a＋b が 5 を超える場合、
［5］n＝［0］n、［6］n＝［1］n、［7］n＝［2］n、［8］n＝［3］n
としています。