７　テンソルの基底変換･座標変換
f-denshi.com  最終更新日：07/10/19 (仮)

１．共変テンソルの座標変換　

［１]　２つの座標系の基底とそれらの関係が，

Σ　 ＝ ｛e1,e2,e3 ｝,　Σ'  ＝ ｛e'1,e'2,e'3 ｝ 　 e'j ＝ Σ pkjek

で与えられているとします。すると，ベクトルx ，y をそれぞれ，

x　＝ x¹e₁＋x²e₂ ＋x³e₃　＝ x'¹e'₁＋x'²e'₂＋x'³e'₃ 　

y　＝ y¹e₁＋y²e₂ ＋y³e₃　＝ y'¹e'₁＋y'²e'₂＋y'³e'₃ 　

と一次結合で表すとき，ベクトル成分の座標変換は，

x^s ＝ Σ_j p^s_jx'^j      
y^t ＝ Σ_k p^t_kx'^k

で与えられます。ここまでは前章のベクトルの座標変換で説明したとおりです[#] 。

［２]　さて，この基底変換のもとでの双線形関数φ(x,y )がどのような影響を受けるのか考えましょう。５章と同じ記号　[#]　のもとで，２つの座標系で，テンソル T の成分が，

φ(e₁,e₁ )  ＝ T₁₁，  φ(e₁,e₂ ) ＝ T₁₂，  ･･･  ，φ(e₃,e₃ ) ＝ T₃₃
φ(e'₁,e'₁)＝ T'₁₁，φ(e'₁,e'₂ ) ＝ T'₁₂，･･･，φ(e'₃,e'₃ )＝ T'₃₃

とそれぞれ表されるとしましょう。これを用いて双線形写像 φ(x,y )を２つの座標系で，

φ(x,y ) ＝ φ(x¹e₁＋x²e₂ ＋x³ e₃, y¹e₁＋y²e₂ ＋y³e₃)
          ＝ x¹y¹φ(e₁,e₁ )＋x¹y²φ(e₁,e₂ )＋･･･＋x³y³φ(e'₃,e'₃ )　　
　　　　　＝ x¹y¹T₁₁＋x¹y²T₁₂＋･･･＋x³y³T₃₃　　　　　
　　　　　＝ Σ_sΣ_tx^sy^tT_st　　　　　･････　[*]　　　　　　　　　 　　(座標系Σ  )

φ(x，y ) ＝　φ(x'¹e'₁＋x'²e'₂＋x'³e'₃，y'¹e'₁＋y'²e'₂＋y'³e'₃)
　　　　　＝ x'¹y'¹T'₁₁＋x'¹y'²T'₁₂＋･･･＋x'³y'³T'₃₃　
　　　　　＝Σ_jΣ_kx'^jy'^kT'_jk　　　　･････　[**]　　　　　　　　　　　(座標系Σ')

と成分で表すことができます。

［３]　さて，　T_jkとT'_stとの関係を求めるために，ベクトル成分の座標変換，x^s ＝Σ_j p^s_jx'^j ，y^t ＝Σ_k p^t_kx'^k を上の [*] 式に代入すると，

φ(x，y ) ＝Σ_sΣ_t x^s y^tT_st
　　　　　　  ＝Σ_sΣ_t( Σ_j p^s_jx'^jΣ_kp^t_kx'^k)T_st
　　　　　　　＝Σ_jΣ_kx'^jx'^k (Σ_sΣ_tp^s_jp^t_kT_st)

これを座標系Σ' での [**] 式 , Σ_jΣ_kx'^jy'^k T'_jk と比較すれば，以下の結果を得ます。

T'_jk＝Σ_sΣ_t p^s_jp^t_kT_st

となります。一方，V^*×V^*　の基底 {e^j×e^k } の座標変換の式は，{e^j×e^k }　が双線形関数である[#]ことを思い出し，ベクトルの基底変換，e^j ＝Σ _s p^j_se'^s　［#]におけるp^j_s をスカラー係数とみなせば，

{e^j×e^k }＝{ Σ_sp^j_se'^s×Σ_tp^k_te'^t }＝Σ_sΣ_t p^j_sp^k_t　{e'^s×e'^t }     　

と計算できることから得られます。以上をまとめると，

２．反変テンソルの座標変換

［1]　反変テンソルの座標変換の場合も考え方，導出，まったく同じようになりますので，結果だけ書きます。

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