６　ベクトルの基底変換･座標変換
f-denshi.com  最終更新日：07/10/20

反変ベクトル，共変ベクトルの区別がない３次元ユークリッド空間の座標変換については，を Appeﾝdix1 を参照してください。

１．ベクトルの座標変換の行列

［１］　３次元ベクトル空間 V の基底(＝座標系)が変われば，それに応じてV の元x の(成分)座標も変化します。ここでは基底Σ からΣ 'への変換(＝基底どおしの関係)が与えられたときのベクトル成分間の変換式を導きます。

考えている異なる２つの座標系の基底ベクトルを，

Σ  ＝｛ e₁, e₂, e₃ ｝
Σ' ＝｛e'₁,e'₂,e'₃ ｝

とします。また，あるベクトルx をそれぞれの座標系で，

x　＝ x¹ e₁＋x² e₂ ＋x³ e₃　 　(座標系Σ)　　　　　
x　＝ x'¹e'₁＋x'²e'₂＋x'³e'₃ 　 (座標系Σ ')　　

とします。問題は，2つの座標系でのべくトル成分

を求めることです。

［２］　まず，Σ 'の各基底ベクトルe'_j もベクトルの一つですから座標系Σ の基底を用いて一次結合で一意的に表せます。それを

すなわち，     ↑注意：正規直交基底の場合は，両辺e_kとの内積を計算して，(e'_j,e_k)＝p^k_j とも書きなおせる！

e'₁＝p¹₁e₁＋p²₁e₂＋p³₁e₃≡ (p¹₁,p²₁,p³₁)
e'₂＝p¹₂e₁＋p²₂e₂＋p³₂e₃≡ (p¹₂,p²₂,p³₂)        ← 座標系Σでの座標表示です。
e'₃＝p¹₃e₁＋p²₃e₂＋p³₃e₃≡ (p¹₃,p²₃,p³₃)　　

とします。この　p^j_k　はΣとΣ'が与えられると同時に与えられる(定まる)ものです。

［３］　ベクトルx　はどちらの基底で表しても同じなので，

x ＝x¹e₁＋x²e₂＋x³e₃＝ x'¹e'₁＋x'²e'₂＋x'³e'₃

が成り立ちます。この右辺に［２］で書いたe'₁，e₂'，e'₃ を代入してe₁，e₂，e₃ について整理すると，

x¹e₁＋x²e₂＋x₃e₃ ＝ (p¹₁x'¹＋p¹₂x'²＋p¹₃x'³)e₁
　　　　　　　　　　　＋(p²₁x'¹＋p²₂x'²＋p²₃x'³)e₂
　　　　　　　　      ＋(p³₁x'¹＋p³₂x'²＋p³₃x'³)e₃

e₁，e₂，e₃　は１次独立なので両辺の各 e_j の係数が等しいとして，

x¹＝p¹₁x'¹＋p¹₂x'²＋p¹₃x'³

など，すなわち，

を得ます。

［４］　この結果を行列を用いて表すと，

x1 　 p11 p12 p13 x'1 　⇔　x ＝ Px'　　 x2  ＝ p21 p22 p23 x'2 x3 　 p31 p32 p33 x'3

ここで，

p11 p12 p13　 　⇒　　P ≡ ［ pjk ］ p21 p22 p23 p31 p32　p33

を　座標変換の行列　(または，基底変換の行列)　といいます。

［５］　特に，ベクトル空間の基底が正規直交系である場合は，P は直交行列 [#] となります。

詳しくは　固有値論入門：　第６章　「ユニタリ行列」　を参照してください。　⇒　[#]
(なおユニタリ行列とは直交行列の成分として複素数まで考えたものです。)

なお，最初の［ 基底変換 ］は形式的ですが，「基底ベクトルをベクトル成分とする」ようなベクトル ”モドキ” (e'₁,e'₂,e'₃) などを考えてP の役割を下の一覧のように書けることを確かめてみてください。

(e'1,e'2,e'3) ＝(e1,e2,e3)P　　　：　　　　 x1 　 x'1 x2  ＝ P x'2 x3 　 x'3 e1 　 e'1 　　　　　：　　　　　(x'1,x'2,x'3)＝(x1,x2,x3)P e2  ＝P e'2 e3 　 e'3

(e'1,e'2,e'3)Q ＝(e1,e2,e3)　　　　  　                                                                    ：      すなわち，    Σ e'm qmn ＝ en   Q x1 　 x'1 x2  ＝ x'2 x3 　 x'3 Q e1 　 e'1 　　　　　：　　　　　(x'1，x'2，x'3)Q ＝(x1，x2，x3) e2 ＝ e'2 e3 　 e'3

と Q を用いた表現が得られます。ただし，

Q＝P-1≡［qjk］≡ q11 q12 q13　 q21 q22 q23 q31 q32 q31

２．双対ベクトル空間の座標変換

［１］　２つの基底変換の関係式　e'_j ＝ Σ p^k_je_kが与えられると，それぞれの基底に対応する双対基底 e'^k と e^j　(←添え字が上がっていることに注意)の間の変換式も

ek (em) ＝e'k (e' m)＝δkm   　[#]

(←　ここでもek　が線形写像を起源とすることを意識した記号法を使いました。慣れてきたら内積記号で表してもOKです。)

なる関係から一意的に決まるはずです。まず，それぞれの基底系で，Q (＝[ q^m_n ] ) をP の逆行列として，　

(e'₁,e'₂,e'₃)Q ＝(e₁,e₂,e₃)　⇔  Σ e'_m q^m_n ＝ e_n

と書いておきます。　そこで，これを用いて次の量を計算すると，

Σ p^j_ke'^k(e_n) ＝ Σ p^j_ke'^k(Σ e'_m q^m_n )
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓　線形性と

＝ΣΣp^j_kq^m_n e'^k(e'_m )   
　　　　　　　　　　　　　↓e'^k (e'_m)＝ δ_km     

＝ Σp^j_kq^k_n  
　　　　　　　　　　　　　↓ Q はP の逆行列なので，
＝δ_jn　    

これと，e ^j(e_n)＝δ_jn　とを較べて，

でなければならないことがわかります。

［２］　また，P の逆行列 P^-1＝Q≡ ［ q^j_k ］の成分を用いて，

e'j＝ Σqjkek

( さらにΣ もΣ'も正規直交系のときは，［ qjk ］＝ tP ＝ ［ pkj ］ )

と書くことも可能です。以上，まとめると，

［　基底　］　　　 座標系１　 座標系２ ベクトル空間 Σ＝｛e1,e2,e3｝ ej ＝ Σqkje'k ⇔ e'j ＝ Σpkjek Σ' ＝｛e'1,e'2,e'3｝　 ｅj=gjkek↓↑ej=gjkｅk 　 ↓↑ 双対空間 　Σ*＝｛e1,e2,e3｝ ej ＝ Σpjke'k ⇔ e'j ＝ Σqjkek Σ'* ＝｛e'1,e'2,e'3｝ 　［　成分　］　　　　　　　　　　　 座標系１ 　 座標系２ 反変成分 x1 x2 x3 xj ＝ Σ pjkx'k ⇔ x'j ＝Σ qjkxk x'1 x'2 x'3 xj=gjkxk↓↑xj= gjkｘk ↓↑ 共変成分 ( x1,x2,x3 ) xj ＝ Σ qkjx'k ⇔ x'j ＝ Σ pkjxk　 (x'1,x'2,x'3 )

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