６　ユニタリ演算子
f-denshi.com    ［目次へ］最終更新日:06/12/21
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１．ユニタリ演算子(ユニタリ行列)

［１］　直交行列[#] の成分は実数ですが，それを複素数へ拡張した行列をユニタリ行列と言います。すなわち，

また，ユニタリ行列によるベクトル空間のベクトル(とくに基底ベクトル)の変換: y ＝ Ux　をユニタリ変換と言います。         

［２］　この定義からすぐにわかる基本的な性質を述べておくと，

証明:
(１)　(Ux,Uy )＝(x,U^*Uy )＝(x,Ey )＝(x,y )　　　　←公式[#] を使いました。
(２)　U の固有値をλ，固有ベクトルをx として，(１)の結果を用いると，
　　　　 (x,x)＝(Ux,Ux )＝(λx,λx )＝λλ^*(x,x )　⇒   |λ|²＝λλ^*＝1
一方，
　　　1＝detE＝det(U^*U)＝detU^*detU＝|detU|²　⇒　|detU|＝1　　　←公式 [#]　を用いました。
(３)　(１)の結果より，

(x,x) ＝ (Ux,Ux)　　⇔　　||x || ＝			＝
		(x,x )			(Ux,Ux )

 (これらの性質はユニタリ変換が広義の回転，鏡映，反転などの幾何学的な変換操作に対応していることから理解できます。)

［３］　n 次元列ベクトルu_k の要素を n 個並べてつくられる行列 [#] を考えると，

なぜなら，

U ＝(u1,u2, ･･･,un)＝

u11

u12････

u1n

；  u1 ＝

u11

u2 ＝

u12

， ･･･

u21

u22････

u2n

u21

u22

:

:　････

:

:

un1

un2････

unn

un1

un2

U* ＝		u1*		；　u1* ＝ ( u11*，u21*，･･･，un1* )，u2* ＝ ( u12*，u22*，･･･，un2* )，･･･
		u2*
		:
		un*

と表すと，　　　(テンソル積モドキの計算です↓)

U*U＝		u1*		(u1,u2, ･･･,un)＝		u1*u1　u1*u2　･･･　u1*un
		u2*				u2*u1　u2*u2　･･･　u2*un
		:				:　　 　:　　　･･･　　:
		un*				un*u1　un*u2，･･･　un*un

すなわち，

条件:U*U＝E　(成分では，		uks*ukt ＝ δst)	と　us*ut ＝ δst　であることは同値。
U がユニタリ行列　⇔　｛u1,u2, ･･･,un｝が正規直交系

(UU^*を考えても同様な結果になる。)

［４］　この性質に関して他にもいろいろな言い方ができます。

証明:

　　２つの正規直交基底　｛e₁,e₂,･･･,e_n｝ ⇔ ｛b₁,b₂,･･･,b_n｝ 間の基底変換が行列: U ≡ [ u_jk]  を用いて，

bj ＝ ukjek　　　　　(　j ＝1,2,･･･,n )

と表せるならば [#]，内積 (b_j,b_k )＝δ_jk なので，

δ_jk 　＝(b_j,b_k )　　　
　　　＝(u_1je₁＋u_2je₂＋･･･＋u_nje_n，u_1ke₁＋u_2ke₂＋･･･＋u_nke_n)
　　　　　　　  ↓   　　　 正規直交基底(e_j,e_k )＝δ_jk なので
　　　＝u_1ju_1k^*＋u_2ju_2k^*＋･･･＋u_nju_nk^*　　
　　　＝(u_j,u_k)　　

すなわち，定理１より　Uはユニタリ行列でなければならない。この証明の後半をブラケット記法[#]でもう一度書いておくと，

δ_jk 　＝＜b_k|b_j ＞　　　
　　  ＝(u^*_1k＜e₁|＋u^*_2k＜e₂|＋･･･＋u^*_nk＜e_n| )( u_1j|e₁＞＋u_2j|e₂＞＋･･･＋u_nj|e_n＞)
　　　　　　　  ↓   　　　 正規直交基底　＜e_j|e_k＞＝δ_jk なので
　　  ＝u_1ju_1k^*＋u_2ju_2k^*＋･･･＋u_nju_nk^*　　
　　  ＝＜u_k|u_j＞　　

となります。量子力学の基本をマスターするためにはこの記号にぜひ慣れておいてください。

［５］　逆に，正規直交基底，｛|e₁＞,|e₂＞,･･･,|e_n＞ ｝，＜e_j|e_k＞＝δ_jk　の各基底ベクトルがユニタリ変換により，　

|b1＞＝U|e1＞ |b2＞＝U|e2＞ 　････････ |bn＞＝U|en＞

⇔

＜b1|＝＜e1|U* ＜b2|＝＜e2|U* 　　････････ ＜bn|＝＜en|U*

まとめて書いて，

基底ベクトル:　　|bk＞＝U|ek＞　つまり，　＜bk|＝＜ek|U*

と基底変換されるとしたときのベクトル，|b₁＞，|b₂＞，･･･，|b_n＞　それぞれの関係がどうなっているかというと，

＜b_j|b_k＞＝＜e_j|U^*U|e_k＞＝＜e_j|E|e_k＞＝＜e_j|e_k＞
         ＝δ_jk

すなわち，｛e₁,e₂,･･･,e_n｝が正規直交基底ならば，｛b₁,b₂,･･･,b_n｝ も正規直交系であることがわかります。

［６］　応用上，特に重要なユニタリ行列としては，

回転:		cosθ	-sinθ	0		z軸のまわりで
		sinθ	cosθ	0
		0	0	1

反転:		−1	0	0
		0	−1	0
		0	0	−1

鏡像:		1	0	0		xz平面に関して
		0	−1	0
		0	0	1

などがあります。（これは直交行列でもある。）ただし，量子力学では，位置以外の物理量の期待値と呼ばれる＜a｜T｜a＞が”回転”するように演算子を回転させてやる必要があり，回転の表現行列は上に示したようには簡明ではありません。

［７］　

証明

対角化できることはユニタリ行列だけではなく，一般的に正規行列 （TT^*＝T^*T を満たす） について成り立つ性質です。こちらを見てください。⇒ [#]　　

ユニタリ演算子は，固有値はすべて大きさ１の複素数で，対角化されるとそれらが対角線上に並ぶので，上記のように表すことができます。

２．テンソル積を用いた演算子の表現

量子力学で必要となる ブラ・ケット記法 を用いたユニタリ演算子の処方の説明です。

［１］　二つのベクトルx，y　のテンソル積[#]から作られる行列，

|x＞＜y|＝

x1 (y*1,y*2,･･･,y*n)＝ x1y*1･･･････x1y*n x2 ･･････････････ : ･･････････････ xn xny*1･･･････xny*n

は線形演算子(２階テンソル)でした[#]。  特に二つのベクトルx，y　として，

正規直交基底　Σ＝｛|e₁＞,|e₂＞,･･･,|e_n＞｝　

からある基底ベクトルを選んで作った，

Λk　＝　|ek＞＜ek|

は射影演算子と呼ばれます。その理由は，V 上の任意のベクトル，

|x ＞＝　x₁|e₁＞＋x₂|e₂＞＋･･･＋x_n|e_n＞

に作用して，　x_k|e_k＞　を抜き出す働きがあるからです。実際に計算すれば，

Λ_k|x＞＝|e_k＞＜e_k|［ x₁|e₁＞＋x₂|e₂＞＋･･･＋x_n|e_n＞ ］
　　　　＝|e_k＞ ［ x_k＜e_k|e_k＞ ]         (　←　＜e_k|e_j＞＝0，　k≠j　より　)
　　　　＝x_k|e_k＞

なお，射影演算子については，ページを改めて後ほど詳しく説明します。

［２］　一方，j ≠ k も含めた基底ベクトルから作られるテンソル積の成分は，

|ej＞＜ek|＝ 0･･･  0 ･････0 0･･･  0 ･････0 0･･･ １ ･････0 ←j 行目 ･･･ ･･ ･･････ 0･･･  0 ･････0 ↑ 　　k 列目

と書くことができ， j 行k 列成分だけが 1 で他は 0 という行列となります。この表現を用いれば，
「 j  行 k  列成分が c で他成分が 0  」　である行列は，

|e_j＞c＜e_k|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

と表されることもわかります。

この結果から，恒等演算子E ( n次単位行列 ) は，k 行 k 列成分 ( k＝1，2，･･，n ) だけに 1 が並ぶので，

E　＝ |ek＞＜ek|

のように表現できことがわかりますね。実際，任意のベクトル， |x ＞＝Σ|e_j＞x_j  にたいして，

E|x ＞ ＝ (

|ek＞＜ek|)(

xj|ej＞)

＝ (

|ek＞(

xj＜ek|ej＞)

＝ (

|ek＞(

xk＜ek|ek＞)

＝ (

|ek＞

xk

＝ |x ＞

と計算できます。　　　

［３］　任意の線形演算子を２つの恒等演算子で挟むと

T＝

|ej＞＜ej|T|ek＞＜ek|

これは，［２］の|e_j＞c＜e_k|と比較すれば， j 行 k 列 成分が　＜e_j|T|e_k＞　である行列，

T≡		＜e1|T|e1＞　＜e1|T|e2＞　････＜e1|T|en＞
		＜e2|T|e1＞　＜e2|T|e2＞　････＜e2|T|en＞
		･････････････････････････････
		＜en|T|e1＞　＜en|T|e2＞　････＜en|T|en＞

であることがわかります。これを基底 Σ=｛|e₁＞,|e₂＞,･･･,|e_n＞｝ における線形演算子 T の行列表現[#]　ともいいます。

また，E　は他の演算子(行列)の任意の位置(←行列計算ができるような)に幾つでも挿入できます。例えば，任意の線形演算子を A，B として，

AB　＝EAEBE　＝

|ej＞＜ej|A|ek＞＜ek|B|em＞＜em|

＝

|ej＞

ajkbkm

＜em|

などとすることが可能です。　これは演算子 A と B の積 AB の基底Σを用いた行列表現の j 行m 列成分[#]が，

ajkbkm

で与えられることを示しています[#]。　ただし，　a_jk＝＜e_j|A|e_k＞，b_km＝＜e_k|B|e_m＞は，それぞれ行列A，Bの(j,k)成分，(k,m)成分です。

［４］　さて，今度は異なる２つの正規直交基底，Σ=｛e₁,e₂,･･･,e_n ｝ と Σ’= ｛b₁,b₂,･･･,b_n ｝ の間で作られるテンソル積:|b_j＞＜e_j|について考えます。

これがユニタリ演算子であることは，

UU*＝ (

|bk＞＜ek|)(

|ej＞＜bj|)

＝

|bk＞＜ek|ej＞＜bj|

← ＜ek|ej＞＝δjk

＝

|bk＞＜bk|)

＝ E

からわかります。  一方，座標変換:  Σ→Σ’  であることは，

U|e_k＞＝(|b₁＞＜e₁|＋|b₂＞＜e₂|＋･････＋|b_n＞＜e_n|) |e_k＞
　　　　＝　|b₁＞＜e₁|e_k＞＋･･･＋|b_k＞＜e_k|e_k＞＋･･･＋|b_n＞＜e_n|e_k＞
　　　　＝　|b_k＞

から確かめられます。 ⇒　[#]

また，＜b_k|＝＜e_k|U^*　も同様に計算して確かめてください。

［５］　ここで，U|e_k＞＝|b_k＞　の両辺に左から＜e_j|を作用させる，もしくは，＜b_k|＝＜e_k|U^*　の右から|e_j＞を作用させれば，

＜ej|U|ek＞  ＝ ＜ej|bk＞ および， ＜ek|U*|ej＞ ＝ ＜bk|ej＞

なる関係が得られます。この関係を用いれば任意の(ケット)ベクトルx の成分表示[#] を

＜bk|x＞＝＜bk|E|x＞　　 　　　　　　　＝ ＜bk|ej＞＜ej|x＞ 　　　　　　　＝ ＜ek|U*|ej＞＜ej|x＞

と書くことができます。ベクトル，行列成分すべての結果を書き出せば，

	＜b1|x＞		＝		＜e1|U*|e1＞　＜e1|U*|e2＞　･･･＜e1|U*|en＞			＜e1|x＞
	＜b2|x＞				＜e2|U*|e1＞　＜e2|U*|e2＞　･･･＜e2|U*|en＞			＜e2|x＞
	:				･････････････････････････････････････			:
	＜bn|x＞				＜en|U*|e1＞　＜en|U*|e2＞　･･･＜en|U*|en＞			＜en|x＞

これは，ベクトルの基底変換

　x’＝U^*x　    ( x　＝Ux’ )　

を成分で示していることになっています[#]。

［６］　基底変換によって一般の線形演算子T の行列がどのように変換するかは，

＜bj|T|bk＞＝＜bj|ETE|bk＞                                ＝ ＜bj|es＞＜es|T|et＞＜et|bk＞           ＝ ＜ej|U*|es＞＜es|T|et＞＜et|U|ek＞

これは，線形演算子の基底変換，

T’＝U^*TU　

の j 行 k 列成分を　(左辺はΣ’，右辺はΣを基底として) 表したものに他なりません 。

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