２　曲面の基本形式とガウス曲率
f-denshi.com  最終更新日：   22/01/03  　　校正中
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１． 曲面の接平面

［１］　曲線は一つの変数で表される (ベクトル値) 関数でしたが，曲面は2 つの変数 u, v で定められる関数であって，

p(u, v) ＝ (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) 　　　　　　　3 次元の場合　　　(1.52)

p(u, v) ＝ (x¹(u, v), x²(u, v), ･･･ , xⁿ(u, v)) 　　n 次元の場合　　　(1.53)

と表すことができます。ここで，数学的に取扱いやすいようにp(u, v) は，各変数について何回でも微分可能な C^∞級関数とし，また，p(u, v) を各変数で偏微分して得られる２つのベクトルは曲面上のどの点においても1 次独立であるとしておきます。つまり，p_u(u, v)， p_v(u, v) は 0 でない大きさをもち，方向が異なるベクトルであるとします。もちろん，これを満たさない曲面もありますが，ここでは考えません。

［２］　３次元空間内に曲面 p(u, v) が与えられたとき，u, v のうちどちらか一方を固定して定数とすると，p(u, v) は一変数関数となり，曲線を表しますが，

p(u, v₀) ＝ (x(u, v₀), y(u, v₀), z(u, v₀)) 　u-曲線 (v₀ ＝ 一定の場合) (1.54)
p(u₀, v) ＝ (x(u₀, v), y(u₀, v), z(u₀, v)) 　v-曲線 (u₀ ＝ 一定の場合) (1.55)

と呼ぶこととします。さらに，曲面上の点は，2 つの変数を固定して，

p₀ ＝ p(u₀, v₀)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1.56)

で表されます。

曲面上の点 p(u₀, v₀) を通る u-，v-曲線の各接線ベクトルを

	∂p		u＝u0,v＝v0	＝ pu(u0, v0)          (1.57)
	∂u

	∂p		u＝u0,v＝v0	＝ pv(u0, v0) 　　　　(1.58)
	∂v

と書き，曲面の点 p(u₀, v₀) における接ベクトルといいます。そして，この接ベクトルが基底となり，張るベクトル空間を,「曲面の点p(u₀, v₀) における接平面」と呼びます。形式的に書くと次のような定義となります。

［３］

最後の式は全微分 dp ＝ p_udu＋p_vdv と形式的に対応しています。

補足すると，スカラー値関数 f (u,v) の方向微分をベクトル化と見ることもできます。

C ＝

f ( X + h cosθ, Y + h sinθ) − f ( X, Y ) h

この極限が存在するとき，C を (X, Y) における方向微分係数といいました [#] 。

ここで， f を合成関数 [#] 

z ＝ f ( u(h), v(h) )

ただし，

u(h) ＝ X + h cosθ
v(h) ＝ Y + h sinθ

とみなして，h で微分すると，

C ＝	df	＝	∂f		du	＋	∂f		dv
	dh		∂u		dh		∂v		dh

両辺共通の　dh　を形式的にキャンセルすれば， (1.61)のスカラー値関数版であることが分かります。

２．　第１基本形式

［１］　曲面の第1 基本形式の定義です。これは，平面内の u-曲線，v-曲線からなる網目の大きさと交差する角度を決める量ということができます。曲面上の任意の曲線，p (u(t), v(t)) の接線ベクトルは，

dp

＝

∂p

du

＋

∂p

dv

＝

du

pu＋

dv

pv

dt

∂u

dt

∂v

dt

dt

dt

⇔

(

dp

＝

∂p

dt

＝

du

pu＋

dv

pv

dt

)

ds

∂t

ds

dt

dt

ds

弧長パラメータを使う場合

と表されます。これを２乗する(自身の内積を計算する) と，

dp

2

＝

du

du

(pu･pu)＋2

du

dv

(pu･pv)＋

dv

dv

(pv･pv)

dt

dt

dt

dt

dt

dt

dt

＝

E

du

du

＋2F

du

dv

＋G

dv

dv

… (1.63)

dt

dt

dt

dt

dt

dt

となります。ただし，E，F，G は曲面の第１基本量と呼ばれ，

E ＝p_u．p_u　　　　　　　　　＝g_uu
F ＝p_u．p_v＝p_v．p_u　　 　＝g_uv＝g_vu　　　⇔　　g_ij＝(p_i，p_j)　
G ＝p_v．p_v　　　　　　　　　＝g_vv　　　　　　　

　(水色はリーマン幾何学で使われる記号，u＝1，v＝2とも書く)

［２］　　さらに，(1.63) の分子を取り出して，

第１基本形式 接平面上の任意のベクトルに対して， I　＝dp ･dp                　　　　　     （＝|dp (t)|2）  　＝ Edudu＋2Fdudv＋Gdvdv　　　　［第1基本形式］ 　 ＝g11du1du1＋2g12du1ｄu2＋g22ｄu2ｄu2 を第１基本形式という。　ただし， gij＝(pi，pj)　　計量テンソル du1＝du du2＝dv

が定義されます。ベクトルの長さの２乗は正なので，I　も必ず正の値をとります　(正値２次形式)。すなわち，２次方程式が解をもたない条件(判別式) として，

F² − EG ＜ 0　　⇔　 (g₁₂)² − g₁₁g₂₂ ＜ 0　 ⇔　 | G | ＞ 0　　　　　　　 (1.71)

が得られます。ここで，G は g_ij を成分とする行列で，

G ＝		g11 g12
		g21 g22

また，2 点間の距離は，

L ＝∫
		| dp |2

＝∫
		gij dui duj dt dt	dt

2 曲線のなす角度θ は，

cosθ＝

(pu･pv)

＝

F

g12

pu･pu

pv･pv

EG

g11g22

から求められます。

結局，第1 基本形式は，曲面の各点における，曲面を構成する曲線からなる網目の距離と交差する角度を決めていることが分かります。

このように第１基本形式は局所的に平面の形を決定する量ですが，これだけでは伸縮させることなく平面展開図として表される円筒や円錐を平面　(対応する平面展開図) と区別することができません。他にも懸垂面や螺旋面など見た目がまったく違う曲面の区別もできません。これらを区別するためには次に述べる第２基本形式が必要となります。

３．　第２基本形式

［１］　第1 基本形式が接平面内のベクトルだけを用いた議論であったのに対して，こちらは接平面と垂直な方向のベクトルが関わってきます。接線ベクトルp_u，p_vの両方に直交している大きさ1の単位法線ベクトルを

n (u，v) ≡ np(u,v)≡	pu×pv
	｜pu×pv｜

を定義すれば，n，p_u，p_v　は1次独立なベクトルであることが分かります。ただし，n が p_u×p_v によって定まるため，変数としては独立なわけではありません。

また，

p_u･n＝0　および，　p_v･n＝0　

をそれぞれ u または v で微分して得られる，p_uu･n＋p_u･n_u＝0 , p_uv･n＋ p_u･n_v ＝ 0 , p_vu･n＋ p_v･n_u ＝ 0 , p_vv･n ＋ p_v･n_v ＝ 0 の4 式について，

p_uu･n　＝ −p_u･n_u　　＝h₁₁　　　＝L　
p_uv･n　＝ −p_u･n_v　　＝h₁₂　　　＝M　
p_vu･n　＝ −p_v･n_u　　＝h₂₁　　　＝M　　　　　　　　h_ij＝(p_ij ，n)＝−(p_i ，n_j)
p_vv･n　＝ −p_v･n_v　　＝h₂₂　　　＝N

と記号を導入しましょう。これらは第２基本量と呼びます。　(2番目と3番目の式が同じ M で定義されるためには，p (u,v) が少なくとも２階連続微分可能という条件が必要です。第２基本量はベクトルの外積とベクトルの微分との関係式 (内積) です。)

［２］　これら４つの関係式を用いて，曲面の第2基本形式を次のように定義します。

第２基本形式の幾何学的な意味は次のとおりです。

2次近似として，接平面と曲面の各点との距離の２倍は h となる。

なぜなら，曲面のベクトル方程式をテーラー展開すると，

p(u＋u₀, v＋v₀)
　＝ p(u₀, v₀)＋p_udu＋p_vdv＋(1/2）( p_uududu＋2p_uvdudv＋p_vvdvdv )＋ 高次項　　(1.81)

となるから，この2次の項とn との内積を考えれば，

p
n ≒(1/2）( p_uududu＋2p_uvdudv＋p_vvdvdv )

　　　＝ (1/2) h(dp)

すなわち，II は接平面とその近傍の曲面上の点との距離の２倍であることが分かります。

［３］　第２基本量からは，次式の符号によって，

のように曲面を分類することができます。

（１）の定値とは，あらゆる　du，dv　に対して　II の値が正，または負のみをとることをいいます。そうでない場合が（２）で不定値をとるといいます。

楕円面はすべての点で凸点ですが，トーラスでは内側が鞍点，外側は凸点となっています (図をみよ)。

４．ガウス曲率

［１］　曲面の曲率を定義するために，まず，ガウス写像を定義する必要があります。

この定義そのものは難しくないと思います。このような写像を考えると何が面白いのかは，具体的な例を少し見てみると分かります。図1.6 に3 つの曲面のガウス写像の典型的な例を示しています。

［２］　A に示す平面で囲まれた図形である立方体表面のガウス写像を見ると，6 つの点からなることが分かります。これら6 つの点からなる集合の面積は0 です。n 個の面からなるn 面体であれば，像はn 個の点からなることは容易に分かりますが，それらの面積は依然として0 です。

一方，B の球面のガウス写像は単位球面全体に移されて，その面積は4π であることが分かります。

C は円筒側面ですが，曲がっている側面は単位球面の緯線に当たる円周に移されます。それらの合計面積は0 ですが，円周部分は長さの次元を持っていて，その値は2π です。これは A と B との中間にあると考えられます。

D は B と同様に球面全体に写されますが，B は１対１写像なのに対して，D は２対１，もしくは∞：１  (上下端の円周) に対応していることが分かります。

円筒側面は確かに曲がってはいますが，平面図形である長方形を局所的に伸び縮みさせることなく，筒状に丸めて実現できる図形です。いわゆる「展開図」が存在して，それらを組み立てて円筒形を作ることができるのです。しかし，球面は，正確な展開図が存在せず，そのため，歪のまったくない地図を描くことができないことは周知の事実です。

つまり，ガウス写像は，曲面の曲がりを分類することに役立ちそうだということが分かります。実際，曲面の曲率の一つであるガウス曲率は，これから示すようにこの面積を利用して定義されています。

具体的な面積比とガウス曲率の関係はこちら　⇒　[#]

次にガウス写像の微分(量) を考えます。

［３］　ガウス写像の (1次) 微分 (近似) は曲面の接平面のベクトルを単位球面の接平面上のベクトルへ写す線形写像，

dp ＝	pu du	＋	pv ｄｖ
		↓Γ(1)
dn＝	nu du	＋	nv ｄｖ

となっています。この2 式を見較べて，ガウスの写像の微分 Γ⁽¹⁾ ： dp → dn を，

Γ⁽¹⁾ (p_u)＝n_u　
Γ⁽¹⁾ (p_v)＝n_v　

をみたすように定義しましょう。これは線形写像の基底変換を与えていることと同じです。すると，接平面内の任意の方向を向いた接ベクトル　t ＝ c₁p_u＋c₂ p_v ∈ T_pS [ 接平面] 　について，（接平面の定義と同様に）

Γ(1)(t) ＝ Γ(1)(c1pu＋c2pv) 　　　　　＝c1Γ(1) (pu)＋c2 Γ(1) (pv) 　　　　　＝c1nu＋c2nv 　　　　　＝nu(u，v)du(t)＋nv(u，v)ｄｖ(t)

と計算ができます。線形写像の双対性と標準的な同型対応によって，ベクトル空間である曲面の接平面から単位球面の接平面への線形写像 Γ⁽¹⁾ もベクトル空間と見ることができ，双対基底の基底に対する直交性 [#] から，接平面に直交するベクトルらしい記号を用いて，

Γ(1)(t) ≡ dn(t)

と表記しても違和感はないでしょう。(後に多様体の微分形式を学ぶとこの正統性はよりはっきりする。)

［４］　

証明

p(u,v)　を少なくとも2階連続微分可能として，

(dn(p_u)，p_v)＝(n_u，p_v)

　　　　　　　　＝(n_v，p_u)＝(dn(p_v)，p_u)

　　　　　　　　＝(p_u，dn(p_v))　

でから，一般の

t＝c₁p_u＋c₂p_v ，w ＝c'₁p_u＋c'₂p_v　

について，

(dn(t)，w)＝(t，dn(w))　

つまり，dn の表現行列は正規行列であることを示していますがいま，成分として実数しか考えていないので対称行列であることが分かります。

［５］　すると，固有ベクトルx₁，x₂ に対応する固有値を　-κ₁，-κ₂　（κ₁≦κ₂）とすれば，

dn(x₁)＝Dx₁＝-κ₁x₁
dn(x₂)＝Dx₂＝-κ₂x₂

と表され，x₁ と x₂ とは互いに直交しています。

固有ベクトルを基底に用いた，任意方向の接ベクトルt ＝c₁x₁＋c₂x₂ に対して，第2基本形式は，

h(t) ＝−(t，dn(t))
　　　＝−(c₁x₁＋c₂x₂ ，dn(c₁x₁＋c₂x₂ ))
　　　＝−(c₁x₁＋c₂x₂ ，-κ₁c₁x₁−κ₂c₂x₂ ))
　　　＝κ₁c₁²＋κ₂c₂²

法曲率　[#] は，第２基本形式を用いて，

κ_n＝h (t/ |t|) ＝h(t)/|t|²

＝	κ1c12＋κ2c22
	c12＋c22

と表すことにします。これより，

法曲率の最小値　κ₁　（c₂＝0のとき）
　　　　　　最大値　κ₂　（c₁＝0のとき）

κ₁，κ₂を主曲率といいます。　　(もちろん，κ₁＝κ₂ の場合もある。)

　( h の表現行列Dが対称行列のとき，内積 h(v)＝(v，Dv)＝<v|D|v> は，v =t/|t| が固有ベクトルの方向を向いているときに最大値，最小値を取り，その値は対応する固有値の値です。[#] )

［６］　次に基底 p_u，p_v を用いた線形写像 dn の表現行列 D を求めます。

D＝

d11

d12

pu＝

1

，pv＝

0

d21

d22

0

1

とおけば，

Dpu　＝d11pu＋d21pv　＝nu　　　⇔　　dn(pu)＝nu　　　　(2.107) Dpv　＝d12pu＋d22pv　＝nv　　　⇔　　dn(pv)＝nv　　　　(2.108)

を満足しなければならない[#] ので，これらの式と基底 p_u，p_v との内積をとると，

d₁₁(p_u，p_u)＋d₂₁(p_v，p_u）＝(n_u，p_u)
d₁₁(p_u，p_v)＋d₂₁(p_v，p_v）＝(n_u，p_v)
d₁₂(p_u，p_u)＋d₂₂(p_v，p_u）＝(n_v，p_u)
d₁₂(p_u，p_v)＋d₂₂(p_v，p_v）＝(n_v，p_v)

これらの微分の添え字を数字で書き直すと，(内積の可換性にも注意して)

Σg_1i d_i1＝-h₁₁
Σg_2i d_i1＝-h₂₁
Σg_1i d_i2＝-h₁₂
Σg_2i d_i2＝-h₂₂　　　　（Σの和は，添え字 i ＝1,2　についてとる。）

g_ij，h_ij　は ３．の定義 [#] どおりで，g_ij＝(p_i，p_j)，h_ij＝(p_ij ，n)＝−(p_i ，n_j)。　この4式は次のような行列

G＝

g11

g12

H＝

h11

h12

，

G-1＝

1 g11g22-(g12)2

g22

-g12

g21

g22

h21

h22

-g21

g11

を定義すると，１つの行列方程式，

GD＝-H

で表されることは容易に確かめられます。すなわち，

D＝−G-1H

であることが示されました。

［７］　これらの結果をふまえると，固有値　-κ₁，-κ₂　をもつ固有方程式 [#]，固有多項式は，それぞれ，

-G^-1Hx ＝-λx　　　　　　　　　　　　⇔　　Hx ＝λGx

λ²−tr (G^-1H)λ＋det(G^-1H)＝0       ⇔　(λ−κ₁)(λ−κ₂)＝0    
                                                     ⇔　λ²−2H λ＋K＝0　と置く

であることが分かります。　すると，2 次方程式の解と係数の関係から，曲面のガウス曲率と平均曲率が次のように定義されます。

　　　　なお，h_ij は g_kl とその微分で表すこともできる　⇒　[#]

という関係式が得られます。この２つの曲率は曲面を特徴づける重要なパラーメータとなります。この値がどのような値をとるかで表1.3 のような名称・分類がなされます。

［８］　特徴的な曲面上の点と曲面の分類例

名称	条件	例
楕円点	H2＞K＞0	楕円面の任意点
へそ点	H2＝K＞0 κ1＝κ2	楕円面のA点 （b＝c）
双曲点	K＜0	トーラス内面
放物点	K＝0	円筒側面　(螺旋面，懸垂面)
平坦	K≡0	平面
極小曲面	H≡0	シャボン玉の面

［９］　　さて，次に固有ベクトル(曲面の固有方向という) を求めるため，

x ＝		c1
		c2

とおいて，固有方程式　Hx ＝λGx　に代入すると，

h₁₁c₁＋h₁₂c₂　＝λ(g₁₁c₁＋g₁₂c₂)
h₂₁c₁＋h₂₂c₂　＝λ(g₂₁c₁＋g₂₂c₂)

さらに，この２式を辺々割ってλを消去してから整理すると，

h11＋h12

c2

(g21＋g22

)

c2

＝

h21＋h22

c2

g11＋g12

c2

c1

c1

c1

c1

(h12g22−h22g12)		c2		2	＋ (h11g22−h22g11)		c2	＋ (h11g21−h21g11) ＝ 0
		c1					c1

が得られます。この (c₂/c₁) の2次方程式を解くことで，固有ベクトルが求まります。

また，

	c2	＝	dv
	c1		du

を代入した次の微分方程式を曲率線の方程式という。

【定義11 】曲率線の方程式 (h12g22−h22g12) dv 2  ＋ (h11g22−h22g11) dv  ＋ (h11g21−h21g11) ＝ 0 du du

曲率線は，曲面上の各点における法曲率最大，または最小の方向に連なる点からなる曲線ということができます。言い換えると，曲面の各点の主方向に接する接ベクトル（の場）の流れ曲線を表すと考えてもよいでしょう。

トーラスの場合は，u-曲線，v-曲線と （偶然） 一致しています。そのようになる一般的な必要十分条件は，g₁₂ ＝ h₁₂ ＝ 0 です。

５．　第３基本形式

［１］

第3 基本形式は，上のように定義できますが，第１，第2 基本形式と独立ではなく，次のような関係があります。

証明は，関係式（答え）が分かっているので，K，H，I，II，III を g_ij, h_ij で表して，恒等式が成り立つことを確認すればよいだけです。その際，

dn･dn ＝ (n₁du₁＋n₂du₂)･(n₁du₁＋n₂du₂)
　　　　 ＝ n₁･n₁du₁du₁＋2n₁･n₂du₁du₂＋n₂･n₂du₂du₂　　　 　　　(1.132)

ただし，(2.107)，(2.108) 式より，

n₁･n₁ ＝ (d₁₁ p₁＋d₂₁ p₂)･(d₁₁ p₁＋d₂₁ p₂)
　　　 　＝ (d₁₁)²g₁₁＋2d₁₁d₂₁g₁₂＋(d₂₁)²g₂₂　　　　　　　　　　　　　　 (1.133)

n₁･n₂ ＝ (d₁₁ p₁＋d₂₁ p₂)･(d₁₂ p₁＋d₂₂ p₂)
　　　 　＝ d₁₁d₁₂g₁₁＋(d₁₁d₂₂＋d₁₂d₂₁)g₁₂＋d₂₁d₂₂g₂₂ 　　　 　　　　(1.134)

n₂･n₂ ＝ (d₁₂ p₁＋d₂₂ p₂)･(d₁₂ p₁＋d₂₂ p₂)
　　　　 ＝ (d₁₂)²g₁₁＋2d₁₂d₂₂g₁₂＋(d₂₂)²g₂₂　　　　　            　 　　 (1.135)

ここに，

D＝		d11	d12		＝−	1 g11g22−g12g21			h11g22−h21g12	h12g22−h22g12
		d21	d22						h21g11−h11g21	h22g11−h12g21

(1.136)

を用いて，d_ij を消去します。K I−2H II については既出の，

I ＝ g₁₁du¹du¹＋2g₁₂du¹ｄu²＋g₂₂ｄu²ｄu²　　　　　　(1.137)
II ＝ h₁₁du¹du¹＋2h₁₂du¹ｄu²＋h₂₂ｄu²ｄu²　　　　　 (1.138)

K ＝	h11h22−(h12)2
	g11g22−(g12)2

H ＝	h22g11−2h12g12＋h11g22
	2(g11g22−(g12)2)

を利用します。

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SUSTAINABLE　TOKIWADAIGAK　SINCE　２００２

用いられる記号のまとめ

G＝		g11	g12		，	H＝		h11	h12
		g21	g22					h21	h22

G-1＝		g11	g12		＝	1 detG		g22	-g21
		g21	g22					-g12	g11

D＝		d11	d12		＝−G-1H
		d21	d22

正規直交系，x₁，x₂，n