３　固有空間
f-denshi.com  最終更新日：　07/11/15

前章で簡単に説明した固有値，固有関数について正確に定義することからはじめます。

１．固有空間

［１］

また，固有方程式がx＝0 以外の解を持つ条件は行列 (λE−T) が逆行列をもたない条件と同じで[#]，それは次の行列式：

Φ_T(λ)≡|λE−T|　　　　　

の値が 0 とならないことです。この行列式 Φ_T(λ) は複素数を係数とするλに関するn次多項式で，固有多項式と呼ばれます。

［２］　また，行列式が基底のとり方によらない[#] ことから

こともただちにわかります。もちろん，固有多項式から計算される固有値も基底に拠りません。

［３］　なお，T が２次，３次正方行列の場合の固有多項式を紹介しておくと，

固有多項式： (１)２次正方行列 　　　　　　　　　　　ΦT(λ)＝λ2−trTλ＋detT (２)３次正方行列 　　　　　　　　　　　ΦT(λ)＝λ3−trTλ2＋(detT11＋detT22＋detT33)λ−detT　　　　 ここで，trT はTのトレース，detT はTの行列式，detTkkはTの小行列式で， detT11，detT22，detT33　はそれぞれ， t22 t23 ， t11 t13 ， t11 t12 t32t33 t31 t33 t21 t22 で与えられる。

となります。　ここで，Tのi行j列成分をt_ijとしています。

［４］　一般に，n次正方行列の固有多項式はn次多項式で，それを 0 に等しいとする n次代数方程式 Φ_T(λ)＝0 は，代数学の基本定理[#]より，C上に重複を含めてn個の解を必ずもつので，その解を μ₁，μ₂，･･･，μ_n とすれば，固有方程式は，

Φ_T(λ)＝(λ−μ₁)(λ−μ₂)･･･(λ−μ_n) ＝ 0

と因数分解した形で表されます。
  その中である固有値μ_k に着目し，そのμ_kを固有値にもつベクトルx の全体の集合 E (μ_k)：

E(μk)＝｛x |Tx ＝ μkx ｝　　( E(μk)を Ek とも略して書きます。)

を固有値μ_kの固有空間といいます。

E(μ_k)がC上のベクトル空間V の部分ベクトル空間[#]である

ことは次のように示せます。
x，y を任意のE(μ_k)に属するベクトルとすると，任意の c₁，c₂∈C　にたいして，

T(c₁x ＋c₂y)　＝c₁Tx ＋c₂Ty＝c₁μ_kx ＋c₂μ_ky　
　　　　　　　　　　 ＝μ_k(c₁x ＋c₂y)

これは，

x，y ∈ E(μ_k)　　⇒　　c₁x ＋c₂y　∈ E(μ_k)　

を示しています。

［５］　また，異なる固有値の数(＝異なる固有空間の数) s は固有方程式の次数より小さく，s ≦ n を満たさなければなりません。 また，等号 s ＝ n が成り立つのはすべての固有値が異なるときです。

［６］　　一方，固有値に重複がある場合，同じ値の固有値(＝重根)をまとめてあらわすと T の固有多項式は，

ΦT(λ)＝(λ−λ1)d1(λ−λ2)d2･･･(λ−λm)dm　　　･････　[**]     ただし，　n ＝ d1＋d2＋･･･＋dm　で，dk は固有値λk の重複度。

と因数分解できます。このとき次の関係が成り立ちます。

この命題は次章の定理[#]の証明で使います。

［証明］　(↓以前の証明には正規直交基底を利用しましたが，必ずしもそうする必要がなく，１次独立であれば十分でした。書き直しました。)

記号の混乱を防ぐために k＝1 として説明します。まず，dim E(λ₁)＝s₁，E(λ₁)の基底を｛u₁,u₂,･･･,u_s1｝とします[#]。さらに固有空間 E(λ₁) がV の部分ベクトル空間である[#]ことから，n−s₁ 個の1次独立なベクトル t_s1+1，t_s1＋2，･･･，t_n を加えてV の基底，　　

｛u₁,u₂,･･･,u_s1,t_s1+1,t_s1＋2,･･･,t_n ｝

をつくることもできます[#]。この基底のもとで T の表現行列T'は[#]，

T' ＝ ( T'(u₁),T'(u₂),･･･,T'(t_n))

ですが，ここで，k＝1,2,･･･，s₁については，u_k∈E(λ₁)　なので，T'u_k＝λ₁u_kであることに注意すると，

T'(u1)＝		λ1		,･･･,T'(us1)＝		0		← s1行目
		0				:
		:				0
		0				λ1
		:				0
		0				:
		0				0

なので，T'の左上 s₁行s₁列までは，「 λ₁ が並んだ対角行列 A 」 で，その下の(n−s₁)行s₁列行列はO行列である，

T'＝

A B O C

；　　　　　　A　＝ λ1 ･･ O ： ： ： O ･･ λ1

という形の「ブロック化した三角行列」となります。このような行列の固有多項式は，

Φ_T'(λ)＝|λE_n−T'|
             ＝|λE_s1−A| |λE_n-s1−C|
             ＝(λ−λ₁)^s₁|λE_n-s1−C|       ( ここで，E_n は n 次の単位行列 )

と計算を進めることができます。ところが，固有多項式は基底によらない[#]ので，変換前の固有多項式[**]，

Φ_T(λ)＝(λ−λ₁)^d₁(λ−λ₂)^d₂･･･(λ−λ_m)^d_m　

と今，計算したΦ_T'(λ)は同じでなければなりません。そこで，両式の(λ−λ₁)項の次数を比較すれば，s₁は d₁ に等しいか，小さくなければいけません。つまり，s₁ ≦ d₁　ということになります。ここまでの証明がk＝1以外の場合も同様であることはいうまでもありません。

(蛇足：ここで，小さく といったのはもしかしたら，|λE_n-s1−C|の中にも(λ−λ₁)の項が潜んでいるかも！知れないからです。)

［ 目次 ］

メモ(執筆者)

3次正方行列での上の恒等式の証明は，３つの固有値をλ₁，λ₂，λ₃とすれば，ある基底変換の行列Pが存在して，固有方程式は，

Φ_T(λ)＝Φ_P^-1TP(λ)＝|λE−T|

＝		λ−λ1		O
			λ−λ2
		O		λ−λ3

＝　(λ−λ₁)(λ−λ₂)(λ−λ₃)　＝　0

となるので，

|T|＝|P-1TP|＝		λ1		O
			λ2
		O		λ3

３次方程式の係数と解(λ₁，λ₂，λ₃)の関係から

λ² の係数：　λ₁＋λ₂＋λ₃　　　　　　　 ＝　ｔｒT
λ  の係数：　λ₂λ₃＋λ₃λ₁＋λ₁λ₂　＝　detT₁₁＋detT₂₂＋detT₃₃
定数の項　：　λ₁λ₂λ₃　　　　　　　　　　　＝　detT　

が得られます。(ただし，これは２章までの知識では無理(証明になっていない))

ユニタリ空間V の部分ベクトル空間E とは　E ⊆V  であって，

x，y が∈E　　ならば必ず，　⇒　ax＋by ∈E　　；　　(a，b∈C)

であるものをいいます。

ケーリーハミルトンの定理　　⇒　Appendix 2　で

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T'＝		u1*T'u1　 ･･･　u1*T'us1		u1*T'ts1+1　･･･　u1*T'tn
		･･････････････････････		････････････････････
		us1*T'u1　 ･･･  us1*T'us1		us1*T'ts1+1  ･･･ us1*T'tn
		ts1+1*T'u1　･･ ts1+1*T'us1		ts+1*T'ts1+1　･･ ts1+1*T'tn
		･･･････････････････････		･･･････････････････
		tn*T'u1　  ･･･   tn*T'us1		tn*T'ts1+1　 ･･･ tn*T'tn

u_j^*T'u_k　＝　u_j^*λ₁u_k　＝　λ₁u_j^*u_k ＝λ₁δjk
t_j^*T'u_k　＝　t_j^*λ₁u_k　＝　λ₁t_j^*u_k ＝　0