10　エルミート行列
f-denshi.com  最終更新日：

エルミート行列とは，H^*＝H　なる関係が成り立つ正規行列[#] のことです。量子力学の基本方程式(シュレーディンガー方程式)がエルミート行列の固有方程式 Hx ＝λx で与えられることから応用上もっとも重要な行列(＝演算子)となっています。

１．　エルミート行列　(対称行列)

エルミート行列の基本的な性質を挙げておきましょう。

(１)　　(Hx,y ) ＝ (x,H^*y ) ＝ (x,Hy )

(２)　　(Hx,x ) ＝ (λx,x) ＝ λ(x,x )

一方，(１)よりこれは，

(x,Hx ) ＝ (x,λx ) ＝ λ^*(x,x )

よって，λ＝λ^*  でなければなりません。  これは λ が実数のときのみ可能です。

(３)　はより広く，正規行列について成り立つ性質ですが，確認のためここでも書いておきました。　　証明は　→　[#]　

エルミート行列のうちで特にすべての成分が実数であるときは対称行列と呼ばれます。

２．主値･主方向

［１］　n次元エルミート演算子の固有値はn個の実数で得られる(つまり，大小関係が必ず存在する)ので，その中には最大値と最小値があります。このことに注意して次の定理を見ていきましょう。

つまり，V 上の単位ベクトルv がいろいろな方向をとるとき，Hの最大の固有値に対応する固有ベクトルと同じ方向をv が向いたときにψ(v)は最大値をとるということです。最小値もしかり。

［２］　［証明］　Hの固有値を

λ_min＝λ₁＜λ₂＜,･･･,λ_m＝λ_max

とし，その固有空間を，E (λ₁),E (λ₂),･･･,E (λ_m)とすれば，ベクトル空間Vは，

V ＝E (λ₁)⊥E (λ₂)⊥･････⊥E (λ_m)

と直交分解されます[#]。すると，それぞれの固有空間への射影演算子を，P_k： P_kx ＝x_k とすれば，

x ＝x₁＋x₂＋･･･＋x_m　　　　　　　　　←　|x |²＝|x₁|²＋|x₂|²＋ ･･･ ＋|x_m|²

H＝ λ₁P₁ ＋ λ₂P₂ ＋ ･･･ ＋λ_mP_m　　　←Hは正規演算子でもあるので [#]

これを用いると，

Hx＝ λ₁x₁ ＋ λ₂x₂ ＋ ･･･ ＋λ_mx_m

よって，

(Hx,x)＝(λ₁x₁ ＋ λ₂x₂ ＋ ･･･ ＋λ_mx_m，x₁＋x₂＋･･･＋x_m)
　　　　　　　　　　　　　　↓　　　j≠k　⇒　(x_j，x_k)＝0　より　
　　　　　　＝λ₁|x₁|² ＋ λ₂|x₂|² ＋ ･･･ ＋λ_m|x_m|²
　　　　　　　　　　　　　　↓　　　λ_k　≦λ_m　より
　　　　　　≦λ_m|x₁|² ＋ λ_m|x₂|² ＋ ･･･ ＋λ_m|x_m|²　　(等号はx ＝x_mのとき)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　＝λ_max|x |²　　　　　　←　λ_m＝λ_max ，|x |²＝|x₁|²＋|x₂|²＋ ･･･ ＋|x_m|²　とおいてます。

［３］　同様に，

(Hx,x)≧λ_min|x|²　　(等号はx ＝x₁のとき)

この２つの不等式を|x|²で除せば，

λ_min　≦　(Hx/|x|,x/|x|)　≦　λ_max　：　等号はx が最小，または最大の固有値に対応する固有ベクトルにてとる。

となり，v ＝x/|x| とおきなおして定理を得ます。(終わり)

補足：　この定理は量子力学では変分原理として知られています。

ψ(v)＝(Hv,v )　＝＜v|H|v＞　の物理的な意味は，状態|v＞ におけるエネルギーの期待値です。

(１)固有方程式：

H|h_j＞＝ε_j|h_j＞

は定常状態のシュレーディンガー方程式です。また，この固有方程式の固有ケット，固有値から

＜h_j|H|h_j＞＝ε_j　　　⇒　固有エネルギー

一般に物理状態(固有状態)|a_j＞のときにとる(演算子A に対応する)物理量の期待値が，

＜h_j|A|h_j＞＝＜A＞_j　　　⇒物理量A の期待値

で求まります。例えば，運動量演算子p からは

＜h_j|p|h_j＞＝＜p＞_j　　　⇒　運動量の期待値　

が求められます。　　つづく，　・・・・・・・・・・・・・・

正規演算子は，

A　＝H₊＋H_-　

ただし，

H₊　＝(A＋A^*)/2
H_-　＝(A−A^*)/2

エルミート　　　AA^*＝A^*A　　(＝A²)
交代性　　　　 AA^*＝A^*A　　(＝−A²)

［目次へ］

CopyRight　フジエダ電子出版