７　面積分
f-denshi.com  最終更新日：03/05/13

１．ベクトル関数の面積分

[定義]

[１]　３次元ユークリッド空間の領域D上のベクトル関数　A(x,y,z) ＝ (A₁,A₂,A₃)　が C¹級関数[#]：

A₁ ＝ A₁(x,y,z)， A₂ ＝ A₂(x,y,z)， A₃ ＝ A₃(x,y,z)

として与えられているとします。

[２]　このとき，ベクトル方程式　r(u,v) で表されるD 内の曲面 S[#]：

r(u,v) ＝ (x(u,v),y(u,v),z(u,v))；　　a≦u≦b　，   c≦v≦d

上のベクトルA の面積分を次のように定義します。↓形式的でちょっとつまらないけどガマン

[３]　まず，曲面上の点(x,y,z) は媒介変数 u,v を用いて表わされ，

A ＝(A₁(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),A₂(x(u,v),y(u,v),z(u,v)], A₃(x(u,v),y(u,v),z(u,v)))
   ＝(A₁(u,v)，A₂(u,v)，A₃(u,v))
　 ＝A(u,v)

のように書けることを確認しておきます[#]。次に，

[４]　D に対応する (u,v) の領域 U について， u の区間　[a,b]を m 個の区間，v の区間　[c,d]を n個の区間：　

[a=u₀,u₁]，(u₁,u₂]，･･･(u_j-1,u_j]，･･･，(u_m-1,b＝u_m]
[c=v₀,v₁]，(v₁,v₂]，･･･(v_k-1,v_k]，･･･，(v_n-1,c＝v_n]

に分割することでUを細分化します。また，次の記号を導入します。　

Δu_j ＝u_j−u_j-1　　　　；　u_j-1＜u_j≦u_j
Δv_k ＝v_k−v_k-1　　　 ；　v_k-1＜v_k≦v_k
　h ＝Max( Δu_j ，Δv_k )，　　ただし，j＝1，2，･･･，m　；　k＝1，2，･･･，n

[５]　ここで，微小面積 Δu_jΔv_kにこの微小面内の点の (u_j,v_k) におけるベクトルA とベクトル {r _u(u_j,v_k)×r _v(u_j,v_k)} との内積を乗じたものをすべての微小面積素片について総和し，その値のh→0　における極限　(もちろん，m と n は∞にいきます)，すなわち，

{A (x(uj,vk),y(uj,vk),z(uj,vk))･(r u(uj,vk)×r v(uj,vk))}ΔujΔvk

を次のような記号で書いて，

ベクトルA の面積分といいます。また，ベクトルA の束という言い方もされます。

　　この定義で，外積(r_u×r_v)が乗じられている理由は，4-1章で述べた[#]ように２つのパラメータ u，v で表される曲面の位置 r ＝[x(u,v)，y(u,v)，z(u,v)]における微小面積 dS と法線 n との積が，

ndS ＝(r_u×r_v)dudv　

で与えられることを反映してのことです。

　　このような積分を定義することで，例えば，ベクトルA (x(u,v),y(u,v),z(u,v))が流体の速度を表すとき，この面積分を計算することでこの曲面を通過する流体の量 (＝ 右図のような斜方柱の体積 A･ndS の総和 ) を簡明に表現することができるようになります。

[６]　以下，具体的な(問題に応じた)計算に役立つ面積分のいろいろな表現を列挙しておきます。

(１)　ru×rv＝[J(yz/uv),J(zx/uv),J(xy/uv)]を用いる[#]と， 　　　 A･(ru×rv)dudv＝ A1(u,v)J(yz/uv)dudv 　　　　　　　　　　　　　　＋ A2(u,v)J(zx/uv)dudv 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋ A3(u,v)J(xy/uv)dudv (２)　ユークリッド空間(xyz変数)での積分に書き直すと， 　　　　 A(u,v)･(ru×rv)dudv 　　⇒　 [A(x,y,z)･n]dS＝ A･dS ここで，dS　に関しては4-2章の記法[#]を用いてます。　 (３)　法線単位ベクトル n ＝ (cosα,cosβ,cosγ) がわかっているときはさらに， 　　　 A･ndS＝ (A1cosαdS＋A2cosβdS+A3cosγdS) 　　　　　　　　　　＝ (A1dydz＋A2 dzdx＋A3 dxdy) 　　　　　　 　　右図を参考にしてください。

２．スカラー関数の面積分

		φ( x(u,v),y(u,v),z(u,v) )			∂r	×	∂r			dudv
					∂u		∂v

φ＝1 のときは，この積分値は曲面積Sと等しくなります。

スカラー関数φ＝１の線積分についてはこちら　⇒　[#]

３．ベクトルの回転の面積分

４．立体角

[１]　立体角の厳密な定義は面積分を用いて与えられます。

   基点(原点)Ｏ から有界な曲面 S の1点 P を指す位置ベクトルr とします。このとき，

Ω　≡ r･dS　      ⇔　dΩ　≡ r･dS　 r3 r3

で定義される Ωを原点O から見た 曲面S の立体角といいます。ここで，曲面 S には向きが指定されている必要があり，dS　とは曲面の正方向に垂直な面積ベクトルです[#]。

[２]　立体角の幾何学的な意味は，線分 OP と原点O に中心を持つ半径１の球面(単位球面)と交点P’を考えると，P がS 全体を動くときに対応する点P’全体が単位球面上に作る面積 S₀と考えることができます。(右上図)

　　　　　　(　半径1の球面上の領域に限れば，dΩ＝sinθdθdφ　[極座標表示]　)

[３]　曲面S が球面のような閉曲面であるとき立体角は，

　[A]　原点O が閉曲面の内部にある場合　⇒　Ω＝4π
　[B]　原点O が閉曲面の外部にある場合　⇒　Ω＝0

となります。
[B] の値が0 となるのは次のような理由からです。原点O から球面に接線を引いたとき，その接点全体の集合は球面上の円となり，球面S を２つの領域(S1とS2)に分けます。そしてそれぞれの領域の立体角は絶対値が等しく，符号が逆であることから，その和集合である球面Sの立体角は0 なのです。

[４]　応用上，立体角は最初に述べた定義式とは異なった形で表現し，計算する必要がしばしばあります。そこでそのいくつかを示しておきましょう。

  対象となる曲面 S(周囲 C₀) を du だけ平行移動させることを考えます。　これに伴い，

　　　　　　周囲：　　C₀　→　C₀’　　　

と平行移動し，この周囲 C₀ の移動の軌跡(体積)は斜方柱の”側面”になります(右図)。
  移動にともなう曲面 S の立体角Ωの変化 dΩは，この”側面”の立体角を計算することで求めることができます。

図の銀色で示した微小側面(平行四辺形)について，

面積ベクトル：dS ＝ ds×du　

なので，この微小側面の C₀ の立体角の増加(正の値)dΩへの寄与は，

−(ds×du)･r

r3

で与えられます。
(ここで，マイナスがつく理由は，C₀ の移動の軌跡である銀色の側面部分が原点O から見えるならば，dS･r ＜0 ですが，この変化は曲面Sの立体角の増加(dΩ＞0)に寄与するからです。)

[５]　したがって，側面全体からの寄与はこれを C₀ に沿って積分(変数はds )すれば求められます。これをスカラー３重積の公式[#]を用いて計算すると，

dΩ＝		−(ds×du)･r	＝		−(r×ds)･du
		r3			r3

さらに，公式：(A×B )＝−(B×A) を用い，積分変数 ds と関係ない du を積分の外に出して，

dΩ＝du ･ (ds×r) r3

となります。電磁気学（アンペールの法則）への応用例はこちら⇒[#]

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