a05   水素原子
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［１］　定常状態にある水素原子のシュレーディンガー方程式 [#] は，

HΦ(x)＝εΦ(x)
　　H＝− h2 ∇2＋V(r)  ：　　　V(r ) ＝− e2
2m 4πε0 r

球座標変換[#]を行なうと，　　　　∇2 については ⇒ [#]

∇2 ＝ ∂2  ＋ 2 ･ ∂  ＋ 1 Λ
∂r2 r ∂r r2

ただし，

Λ ＝ 　1 ･ ∂ sinθ ∂ ＋ 　1 ･ ∂2
sinθ ∂θ ∂θ sin2θ ∂φ2

となるので，球座標でのシュレーディンガー方程式は次のようになります。

− h2 ∂2 ＋ 2 ･ ∂ ＋ 1 Λ＋V(r) Φ(r，θ，φ)＝εΦ(r，θ，φ)   ････　[*]  
2m ∂r2 r ∂r r2
(ちなみに，角運動量演算子：L2 ＝ −h2Λ)

［２］　ここで，Φ(r，θ，φ) ＝ R(r)Y(θ，φ)とおいて，[*] に代入して整理すると，

r2 ∂2R(r)  ＋ 2 ･ ∂R(r)  ＋ 2m r2(ε−V(r)) ＝− 1  ΛY(θ，φ)
R(r) ∂r2 r ∂r h2 Y(θ，φ)

と書けることがわかります。この式をよく見ると，左辺は独立変数 r のみの関数，右辺は独立変数 θ，φのみの関数なので，この微分方程式が解を持つならば，この等式の両辺はある定数λに等しくなっているはずです。そのときは，

− h2 ∂2R(r)  ＋ 2 ･ ∂R(r)  − λ R(r) ＋V(r)R(r) ＝ εR(r)   ････　[**] 　
2m ∂r2 r ∂r r2
ΛY(θ，φ)＋λY(θ，φ) ＝0            　　　　　 ･････････　[***]  

という２つの方程式に分解されます。 この微分方程式の解である R(r) は動径関数，Y(θ，φ) は球面調和関数と呼ばれます。
第１式 ( R(r) の微分方程式 ) はさらに，

R(r) ＝ χ(r)/r  

と置き換えると，χ(r) についての微分方程式，

− h2 ∂2χ(r)  − λ χ(r) ＋V(r)χ(r) ＝ εχ(r)　････　[**]' 　
2m ∂r2 r2

となります。　結局，微分方程式 [*] は ⇒ [**]'と [***] を解けばよいことに帰着されました。

［３］　ここでは結果だけ述べると，[***] の解は λ＝l (l ＋1) のとき，つまり

　1 ･ ∂2 ＋ 　1 ･ ∂ sinθ ∂ Y(θ，φ)＝l (l ＋1)Y(θ，φ)
sin2 ∂φ2 sinθ ∂θ ∂θ

のときに限って存在し，球面調和関数 Y(θ，φ) が解となります。ただし，l  はある制限の課された整数です。

詳細　⇒　「　角運動量の取り扱い＝球面調和関数のはなし　」　を参照してください。

［４］　一方，

a0 ＝ 4πε0　h2 ，  ρ＝ 1  r，  a0dρ＝dr，   η＝ 2(4πε0)2h2 ε ＝ 2m a02ε
me2 a0 me4 h2

とおけば，[**]' は χ(r)⇒χ(ρ) と読み直して，

∂2χ(ρ)  ＋ 2 − λ χ(ρ)＋ηχ(ρ) ＝ 0　　････　[**] ” 　
∂ρ2 ρ ρ2

と変形されます。　ただし，λ＝l (l ＋1)。

⇒　「　ラゲールの陪多項式　」

［５］　ついでに述べておくと，[**] で，V(r)＝0　とした，

− h2 ∂2R(r)  ＋ 2 ･ ∂R(r)  − l (l ＋1) R(r) ＝ εR(r)　
2m ∂r2 r ∂r r2

は，球ベッセル微分方程式と呼ばれます。　この方程式は変数変換　ｒ　⇒　x ＝ ｒ(2mε/h2)1/2 をおこなえば，

∂2R(x)  ＋ 2 ･ ∂R(x)  ＋ 1 − l (l ＋1) R(x) ＝　0　･･･　[****] 　
∂x2 x ∂x x2

とよく知られた形となり下記を参照のこと。

⇒　「球ベッセル関数」

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