443  球ベッセル関数
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球ベッセル関数

ヘルムホルツ方程式[#] を球座標に変換した際に得られる微分方程式を考えます。

球ベッセルの微分方程式，
d2y ＋ 2 dy ＋ １− n(n＋1) y＝0
dx2 x dx x2
の2つの独立な解は、球ベッセル関数、球ノイマン関数，　［定在波］
j n(x)＝(-x)n 1 d n sinx
x dx x
および，
n n(x)＝−(-x)n 1 d n cosx
x dx x
または、球ハンケル関数　　［拡散、または収縮する球面波］
h n(1)(x)＝ j n(x)＋i n n(x) ＝−i (-x)n 1 d n ei x
x dx x
h n(2)(x)＝ j n(x)−i n n(x) ＝  i (-x)n 1 d n eｰ i x
x dx x
ここで，
h n(1) *(x)＝ h n(2)(x)

この方程式はヘルムホルツ方程式 [#] を球座標であらわす[#]と得られます。たとえば、ある半径の球の内部では 0、それ以外では無限大というようなポテンシャルを受けている粒子のシュレーディンガー方程式を解く際にお目にかかります[#]。

球ベッセル関数 jn(x) とベッセル関数  Jn(x) [#] との関係は、

jn(x) ＝ π ･Jn＋1/2(x)
2x
さらに、ベッセル関数の具体的な形をもちいると、
＝
π
2x
(−１)m
Γ(m＋１)Γ(n＋m＋3/2)
x n＋1/2＋2m
2
＝
π
2
(−１)m
m！(n＋m＋１/2)(n＋m−1/2)･･･(3/2)Γ(1/2)
x n＋2m
2
＝
(−１)m
m！(n＋m＋１/2)(n＋m−1/2)･･･(3/2)(1/2)
x n＋2m
2

ここで，ガンマ関数の計算はこちらを参考にしてください。具体的なnについて、球ベッセル関数をいくつか書いておくと、

j 0(x) ＝ sin x
x
j 1(x) ＝ 1 sin x − 1 cos x
x2 x
j 2(x) ＝ 3 − 1 sin x − 3 cos x
x3 x x2
j 3(x) ＝ 15 − 6 sin x − 15 − 1 cos x
x4 x2 x3 x

球ノイマン関数

nn(x) ＝ π ･Nn＋1/2(x)
2x
n 0(x) ＝ − cos x
x
n 1(x) ＝ − 1 cos x − 1 sin x
x2 x
n 2(x) ＝ − 3 − 1 cos x − 3 sin x
x3 x x2
n 3(x) ＝ − 15 − 6 cos x − 15 − 1 sin x
x4 x2 x3 x

球ハンケル関数の具体形

hn(1)(x) ＝ π ･Hn＋1/2(1)(x)
2x
h(1)0(ikx) ＝ − i  exp (-kx )
kx
h(1)1(ikx) ＝ i   1 ＋ 1 exp (-kx )
kx (kx)2
h(1)2(ikx) ＝ 1 ＋ 3 ＋ 3 exp (-kx )
kx (kx)2 (kx)3
jh(1)3(ikx) ＝i   15 ＋ 15 ＋ 6 ＋ 1 cos x
x4 x3 x2 x

球ベッセル関数・球ハンケル関数の漸近形

漸近形 j n(x) n n(x) h(1)n(x)
x ⇒ 0
1 ・xn
(2n＋1)!!
(2n−1)!!・ −1
xn+1
-
x ⇒ ∞
1 ・cos x − (n＋1)π
x 2
1 ・sin x − (n＋1)π
x 2
1 ・exp i x − (n＋1)π
x 2
(2n＋1)!!  ≡ (2n＋1)(2n−1)・・・・・5・3・1





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