９-２　正規行列の直交分解
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１．正規行列によるベクトル空間の直交分解

［１］　T をベクトル空間 V 上の対角化可能な線形演算子(正方行列)で，その固有値を λ₁,λ₂,･･･λ_m それに対応する固有空間を E (λ₁),E (λ₂),･･･,E (λ_m) とすれば，ベクトル空間V は，

V 　＝

E(λ1)

E(λ2)

･･･

E(λm)

と，固有空間の直和で表せることを４章で[#] 述べました。ここでは Tとその随伴演算子 T^* とが，　

TT^*＝T^*T　　

を満たすならば，T を用いた V の直和分解は，V の直交分解[#]にもなっていることを示します。つまり，異なる固有空間に属するベクトルどおしはお互いに直交している，すなわち，

V ＝ E (λ₁)⊥E (λ₂)⊥･････⊥E (λ_m)　　　　　［ 直交分解 ］

であることを示します。

［２］　きちんと述べておくと，

［必要性］　T の固有空間 E (λ_j) によって V が直交分解しているとします。すると，任意のベクトル x ∈V　は，

x  ＝ x₁＋x₂＋･･･＋x_m　　;　　x_j∈E (λ_j)

と一意的に表され，互いに直交している固有空間，E(λ_j)への射影演算子 P_m [#]を用いれば，

Tx　＝Tx₁＋Tx₂＋･･･＋Tx_m　　
　　 ＝λ₁x₁＋λ₂x₂＋･･･＋λ_mx_m  
　　　　　　↓　P_jx ＝ x_j 　
　　＝λ₁P₁x＋λ₂P₂x＋･･･＋λ_mP_mx　
　　＝(λ₁P₁＋λ₂P₂＋･･･＋λ_mP_m)x　

すなわち，

(１)　T　＝ λ1P1 ＋ λ2P2 ＋ ･･･ ＋λmPm

と射影演算子を用いて展開できることがわかります。この表現を演算子Tのスペクトル分解といいます。

［３］　さらに射影演算子の基本的性質 [#] より次の結果，(２)，(３)も得られます。

正規演算子T の射影演算子を用いた展開 (１)　T　 ＝ λ1P1 ＋ λ2P2 ＋ ･･･ ＋λmPm (２)　T*　＝λ1*P1 ＋λ2*P2 ＋ ･･･＋λm*Pm　　　　(Pk ＝Pk*より　) (３)　T-1＝ 1 P1＋ 1 P2＋･･･＋ 1 Pm　　　 (PjPk＝0　(i≠j)，　Pj2　＝Pj 　　P1＋･･･＋Pm＋･･･＋Pk ＝ E　より　)　　　　　 λ1 λ2 λm つまり，T，T*，T-1　について，　　　　 − T T* T-1 固有空間 E(λm)で共通 固有値 λm λm* 1/λm となります。

すると，(１)，(２)を用いて，P_jP_k＝0　(i≠j)，P_j²　＝P_j に注意して計算すれば，

TT^* ＝ T^*T 　(＝Σ|λ|²P_k)

であることがわかります[#]。　(必要性の証明終)

［４］　［十分性］　　今度は逆にTT^* ＝ T^*T であったとして，V　がE (λ_j) によって直交分解されることを示します。　そのために次の補題が必要です。

証明：

Aの固有値の一つをμ，その固有空間をE(μ)，固有ベクトルの一つをxとします。AB＝BAであるとき，

A(Bx)＝B(Ax)＝B(μx)＝μ(Bx)

これは，Bx がAの固有ベクトルであって固有値μをもつこと，すなわち，Bx∈E(μ)であることを示しています。したがって，Bの固有値の一つλとそれに対応する固有ベクトルをy，すなわち，

By＝λy

を考えると，λy，すなわち，y∈E(μ)であることが分かります。そして，固有空間 E (μ）に属する任意のベクトルの固有値はμである[#]ことから，

Ay＝μy

でなければいけません。つまり，このy はAとBに共通な固有ベクトルです。（補題の証明終わり）

［５］　この補題からV上の線形演算子TとT^*が正規行列(TT^*＝T^*T)であるとき，共通の固有ベクトルz₁∈V が存在して，

Tz₁＝μz₁
T^*z₁＝λz₁

この固有ベクトルの張る1次元ベクトル空間，

V₁＝{cz₁|c∈C}

に対する直交補空間W₁を，

W₁＝{w₁|(w₁,z₁)＝0}　　⇔　　V＝V₁⊥W₁

と定義します。すると，

(Tw₁,z₁)＝(w₁,T^*z₁)＝(w₁,λz₁)＝λ^*(w₁,z₁)＝0
(T^*w₁,z₁)＝(w₁,Tz₁)＝(w₁,μz₁)＝μ^*(w₁,z₁)＝0

と計算できる[#]ので，「w₁∈W₁ならば，Tw₁，T^*w₁∈W₁である」ことが分かります。つまり，互いに可換なTとT^*はV上の線形演算子であるだけでなく，W₁上の線形演算子[#]でもあることが分かりました。

［６］　すると，W₁上の線形演算子TとT^*に共通の固有ベクトルz₂∈W₁が存在して，

V₂＝{cz₂|c∈C}

に対する直交補空間W₂を考えることができ，W₁＝V₂⊥W₂，すなわち，

V＝V₁⊥V₂⊥W₂

とすることができます。そして，TとT^*はW₂上の線形演算子であることを先ほどと同様に示すことができます。

これを繰り返していけば，結局，ベクトル空間Vは，

V＝V₁⊥V₂⊥･･･⊥V_n

と互いに直交する１次元ベクトル空間の直和に分解されます。

［７］　ここで，固有値が等しい空間V_j どおしを集めて分類し，

E（λ_k）＝V_k1⊥･･･⊥V_kr　；　k＝1,2,･･･,m

とすれば，

V＝E（λ₁）⊥･･･⊥E（λ_m）

となり，Vがその固有空間によって直交分解されることが分かります。　(証明終わり)

２．正規行列の対角化　（別証）

［１］　　　正規行列に関するもっとも重要な定理をもう一度（再掲）。

［証明］
　［必要性］　  T が正規行列　⇒　T が対角化可能

定理１よりベクトル空間 V 上の線形演算子 T が正規行列であるなら，ベクトル空間 V の任意のベクトルx  は一意的に，

x ＝x₁＋x₂＋･･･＋x_k　

ただし，

x₁＝x₁ｅ₁　　＋･･･＋x_sｅ_s　　　 ∈E（λ₁），基底:Σ₁＝｛ｅ₁, ･･･ ,ｅ_s｝　 ;　dimE（λ₁）＝s
x₂＝x_s+1ｅ_s+1＋･･･＋x_s+ｔｅ_s+t　 ∈E（λ₂），基底:Σ₂＝｛ｅ_s+1,･･･,ｅ_s+t｝　;　dimE（λ₂）＝t
　　　　　･･･
x_k＝x_v+1ｅ_v+1＋･･･＋x_v+uｅ_v+u　　∈E（λ_m），基底:Σ_m＝｛ｅ_v+1,･･･,ｅ_v+u｝  ;　dimE（λ_m）＝u

と書くことができ，x₁,x₂,･･･,x_k はそれぞれ互いに直交しており，n＝dimV ＝dimE（λ₁）＋dimE（λ₂）＋･･･＋dimE（λ_m） を満足します。

特に各固有空間 E（λ_k） の基底Σ_k を正規直交系になるように選んでおけば[#]，これらの基底すべてを並べた，

Σ＝｛ｅ₁, ･･･,ｅ_s,ｅ_s+1,･･･,ｅ_s+t,ｅ_v+1,･･･,ｅ_v+u｝    

はV の正規直交基底となります。この基底におけるTの表現行列[#]は対角線上に固有値が並んだ対角行列Dです。すなわち，もとの正規直交基底からこの基底Σへの基底変換[#]を表すユニタリ行列をUとすれば，

U-1TU ＝ D ＝

λ1 O : λ1 λ2 O : λ2 : λm

が成り立ちます。

［２］　[十分性]   　T が対角化可能   ⇒   T が正規行列　を示します。

　もし，T があるユニタリ行列で，

U^-1TU ＝ D　　　(つまり，T ＝ UDU^-1＝UDU^*，　T^* ＝UD^*U^*＝ UD^*U^-1)　[#]

と対角化されるならば，

TT^* ＝ (UDU^-1)(UD^*U^-1) ＝ UDD^*U^-1

T^*T ＝ (UD^*U^-1)(UDU^-1) ＝ UD^*DU^-1

となります。ここで対角行列は，DD^*＝D^*D　なので結局，TT^* ＝ T^*T  がいえます。　(終)

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以下，補遺

特に，Tの固有ベクトルが，e₁，e₂，･･･e_n　であるときは，

T|e_k＞＝λ_k|e_k＞

なので，

　　　T＝ΣΣ|e_j＞＜e_j|T|e_k＞＜e_k|
　　　　＝ΣΣ|e_j＞＜e_j|λ_k|e_k＞＜e_k|
　　　　＝ΣΣλ_k|e_j＞＜e_j|e_k＞＜e_k|
　　　　＝Σλ_k|e_k＞＜e_k|
　　　　＝Σλ_kΛ_k

T＝ΣλkΛk

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