９-２　正規行列の直交分解， 　　　　　　　　同次固有関数
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１．正規行列によるベクトル空間の直交分解

［１］　T をベクトル空間 V 上の対角化可能な線形演算子(正方行列)で，その固有値を λ₁,λ₂,･･･λ_m それに対応する固有空間を E (λ₁),E (λ₂),･･･,E (λ_m) とすれば，ベクトル空間V は，

V 　＝

E(λ1)

E(λ2)

･･･

E(λm)

と，固有空間の直和で表せることを４．で[#] 述べました。ここでは Tとその随伴演算子 T^* とが，　

TT^*＝T^*T　　

を満たすならば，T を用いた V の直和分解は，V の直交分解[#]にもなっていることを示します。つまり，異なる固有空間に属するベクトルどおしはお互いに直交している，すなわち，

V ＝ E (λ₁)⊥E (λ₂)⊥･････⊥E (λ_m)　　　　　［ 直交分解 ］

であることを示します。

［２］　きちんと述べておくと，

［必要性］　T の固有空間 E (λ_j) によって V が直交分解しているとします。すると，任意のベクトル x ∈V　は，

x  ＝ x₁＋x₂＋･･･＋x_m　　;　　x_j∈E (λ_j)

と一意的に表され，互いに直交している固有空間，E(λ_j)への射影演算子 P_m [#]を用いれば，

Tx　＝Tx₁＋Tx₂＋･･･＋Tx_m　　
　　 ＝λ₁x₁＋λ₂x₂＋･･･＋λ_mx_m  
　　　　　　↓　P_jx ＝ x_j 　
　　＝λ₁P₁x＋λ₂P₂x＋･･･＋λ_mP_mx　
　　＝(λ₁P₁＋λ₂P₂＋･･･＋λ_mP_m)x　

すなわち，

(１)　T　＝ λ1P1 ＋ λ2P2 ＋ ･･･ ＋λmPm

と射影演算子を用いて展開できることがわかります。この表現を演算子Tのスペクトル分解といいます。

［３］　さらに射影演算子の基本的性質 [#] より次の結果，(２)，(３)も得られます。

すると，(１)，(２)を用いて，P_jP_k＝0　(i≠j)，P_j²　＝P_j に注意して計算すれば，

TT^* ＝ T^*T 　(＝Σ|λ|²P_k)

であることがわかります[#]。　(必要性の証明終)

［４］　［十分性］　　今度は逆にTT^* ＝ T^*T であったとして，V　がE (λ_j) によって直交分解されることを示します。　そのために次の補題が必要です。

・同時固有ケットを座標表示したものを同時固有関数といいます。

証明：

Aの固有値の一つをμ，その固有空間をE(μ)，その固有ベクトルの任意の一つをx_i (1≦i≦k=固有値μの重複度)とします。AB＝BAであるとき，

A(Bx_i )＝B(Ax_i )＝B(μx_i )＝μ(Bx_i )

これは， Bx_i がAの固有ベクトルであって固有値μをもつこと，すなわち， Bx_i ∈E(μ)であること，BがE(μ)上の線形演算子 （= Bを任意のz∈E(μ)に作用させてもE(μ)からはみ出さない。） であることを示しています。

したがって ，E(μ)に制限して考えると，Bの固有値の一つλとそれに対応する固有ベクトルをy_j，すなわち，

By_j＝λy_j　，　 y_j＝c_j1x₁＋･･･＋c_jkx_k  

を考えると，

Ay_j＝A(c_j1x₁＋･･･＋c_jkx_k)＝μ(c_j1x₁＋･･･＋c_jkx_k)＝μy_j

つまり，y_j　はAとBの共通の固有ケットです。以上のことはすべてAの固有値，固有空間に対して成り立つので，このy_jを並べて，y とすれば，AとBに共通な固有ベクトルとなります。（補題の証明終わり）

もっと丁寧な証明は下にあります　⇒　[#]

この補題は間違った証明が氾濫している例の一つだと思う。私が読んだ中で正しい証明が書かれている量子力学の本は小出昭一郎先生の「量子力学（I)」くらい。←大変丁寧に証明してある。

［５］　この補題からV上の線形演算子T とT^* が正規行列(TT^*＝T^*T) であるとき，共通の固有ベクトルz₁∈V が存在して，

Tz₁＝μz₁
T^*z₁＝λz₁

この固有ベクトルの張る1次元ベクトル空間，

V₁＝{cz₁|c∈C}

に対する直交補空間W₁を，

W₁＝{w₁|(w₁,z₁)＝0}　　⇔　　V＝V₁⊥W₁

と定義します。すると，

(Tw₁,z₁)＝(w₁,T^*z₁)＝(w₁,λz₁)＝λ^*(w₁,z₁)＝0
(T^*w₁,z₁)＝(w₁,Tz₁)＝(w₁,μz₁)＝μ^*(w₁,z₁)＝0

と計算できる[#]ので，「w₁∈W₁ならば，Tw₁，T^*w₁∈W₁である」ことが分かります。つまり，互いに可換なTとT^*はV上の線形演算子であるだけでなく，W₁上の線形演算子[#]でもあることが分かりました。

［６］　すると，W₁上の線形演算子TとT^*に共通の固有ベクトルz₂∈W₁が存在して，

V₂＝{cz₂|c∈C}

に対する直交補空間W₂を考えることができ，W₁＝V₂⊥W₂，すなわち，

V＝V₁⊥V₂⊥W₂

とすることができます。そして，T とT^* は W₂上の線形演算子であることを先ほどと同様に示すことができます。

これを繰り返していけば，結局，ベクトル空間Vは，

V＝V₁⊥V₂⊥･･･⊥V_n

と互いに直交する１次元ベクトル空間の直和に分解されます。

［７］　ここで，固有値が等しい空間V_j どおしを集めて分類し，

E（λ_k）＝V_k1⊥･･･⊥V_kr　；　k＝1,2,･･･,m

とすれば，

V＝E（λ₁）⊥･･･⊥E（λ_m）

となり，Vがその固有空間によって直交分解されることが分かります。　(証明終わり)

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以下，補遺

補題の別証

ｎ次の正規演算子Aの固有ケットを |a_k＞，対応する固有値をa_k，ただし，k＝1，2，･･･，n とする。
AB−BA＝O　を次のようにAの固有ブラ・ケットで挟むと，

＜a_j|(AB−BA)|a_k＞＝a_j＜a_j|B|a_k＞−a_k＜a_j|B|a_k＞
　　　　　　　　　　　　　　＝(a_j−a_k）＜a_j|B|a_k＞＝0

したがって，a_j≠a_k であれば，

＜a_j|B|a_k＞＝0

でなければならない。

特に，Aの固有多項式に重根がない（縮退がない）のであれば，「i≠j  ⇔ a_j≠a_k 」であり，これはAのｎ個の固有ケットを基底に選ぶとBも対角行列で表されていることを示している。

このとき，固有方程式は，

B|am＞＝

|aj＞＜aj|B|ak＞＜ak|am＞

　　　　　＝|a_m＞＜a_m|B|a_m＞

つまり，|a_m＞はBの固有ケットでもあり，その固有値は＜a_m|B|a_m＞で与えられる。　

もし，固有多項式に重根があるときは，同じ固有値が対角線上にまとまって現れるように基底を，

と並べ換えれば，演算子Aのこの並びの固有ケットによる表現行列は，

A＝

a1 0 0 O 0 : 0 0 0 a1 a2 0 0 0 : 0 0 0 a2 O ： am

と対角行列となる。

一方，Bは異なる固有値をもつ固有ケットに対して＜a_j|B|a_k＞＝0であることを思い出せば，

B＝

b11 ･･ b1r O ： ： br1 ･･ brr b'11 ･･ b'1s ： ： ： b's1 ･･ bss O ： bnn

と同じ固有値に対応する固有ケットを基底とする正方行列が対角線に並ぶブロック化された行列（直和分解）となる。ところがBは正規行列なので，ユニタリ行列[#]によって対角化可能であり，当然，すべての部分空間（ブロック）に制限してみても対角化できる。

つまり，一番左上のブロックを例に見ていくと，

|b1(i)＞＝

uij｜a1(j)＞

によってユニタリ変換されたb₁⁽ⁱ⁾，（i=1,･･･,r）をこのブロックの基底に用いれば，｜b₁⁽ⁱ⁾＞はBの固有ケットであり，

B｜b₁⁽ⁱ⁾＞＝b_i｜b₁⁽ⁱ⁾＞

を満たす固有値b_i が，基底変換後，このブロックの対角線上に並ぶ（他の行列要素は０）ようにできる。ところが，このケットにAを作用させてみると，

A｜b1(i)＞＝

uijA｜a1(j)＞

＝

uija1｜a1(j)＞

＝a1｜b1(i)＞

すなわち，｜b₁⁽ⁱ⁾＞は固有値a₁に対応するAの固有ケットでもある。

他のブロック（部分空間）も同様であり，ｎ個の基底，

|b₁⁽¹⁾＞，・・・・，|b₁^(ｒ)＞，|b₂⁽¹⁾＞，・・・・，|b₂^(s)＞|，・・・・，|b_m^(t)＞

を考えると，AとBの同時固有ケットとなっている。　（終）

特に，Tの固有ベクトルが，e₁，e₂，･･･e_n　であるときは，

T|e_k＞＝λ_k|e_k＞

なので，

　　　T＝ΣΣ|e_j＞＜e_j|T|e_k＞＜e_k|
　　　　＝ΣΣ|e_j＞＜e_j|λ_k|e_k＞＜e_k|
　　　　＝ΣΣλ_k|e_j＞＜e_j|e_k＞＜e_k|
　　　　＝Σλ_k|e_k＞＜e_k|
　　　　＝Σλ_kΛ_k

T＝ΣλkΛk

２．正規行列の対角化　（8.定理2の別証）

［１］　　　正規行列に関するもっとも重要な定理をもう一度（再掲）。

［証明］
　［必要性］　  T が正規行列　⇒　T が対角化可能

定理１よりベクトル空間 V 上の線形演算子 T が正規行列であるなら，ベクトル空間 V の任意のベクトルx  は一意的に，

x ＝x₁＋x₂＋･･･＋x_k　

ただし，

x₁＝x₁ｅ₁　　＋･･･＋x_sｅ_s　　　 ∈E（λ₁），基底:Σ₁＝｛ｅ₁, ･･･ ,ｅ_s｝　 ;　dimE（λ₁）＝s
x₂＝x_s+1ｅ_s+1＋･･･＋x_s+ｔｅ_s+t　 ∈E（λ₂），基底:Σ₂＝｛ｅ_s+1,･･･,ｅ_s+t｝　;　dimE（λ₂）＝t
　　　　　･･･
x_k＝x_v+1ｅ_v+1＋･･･＋x_v+uｅ_v+u　　∈E（λ_m），基底:Σ_m＝｛ｅ_v+1,･･･,ｅ_v+u｝  ;　dimE（λ_m）＝u

と書くことができ，x₁,x₂,･･･,x_k はそれぞれ互いに直交しており，n＝dimV ＝dimE（λ₁）＋dimE（λ₂）＋･･･＋dimE（λ_m） を満足します。

特に各固有空間 E（λ_k） の基底Σ_k を正規直交系になるように選んでおけば[#]，これらの基底すべてを並べた，

Σ＝｛ｅ₁, ･･･,ｅ_s,ｅ_s+1,･･･,ｅ_s+t,ｅ_v+1,･･･,ｅ_v+u｝    

はV の正規直交基底となります。この基底におけるTの表現行列[#]は対角線上に固有値が並んだ対角行列Dです。すなわち，もとの正規直交基底からこの基底Σへの基底変換[#]を表すユニタリ行列をUとすれば，

U-1TU ＝ D ＝

λ1 O : λ1 λ2 O : λ2 : λm

が成り立ちます。

［２］　[十分性]   　T が対角化可能   ⇒   T が正規行列　を示します。

　もし，T があるユニタリ行列で，

U^-1TU ＝ D　　　(つまり，T ＝ UDU^-1＝UDU^*，　T^* ＝UD^*U^*＝ UD^*U^-1)　[#]

と対角化されるならば，

TT^* ＝ (UDU^-1)(UD^*U^-1) ＝ UDD^*U^-1

T^*T ＝ (UD^*U^-1)(UDU^-1) ＝ UD^*DU^-1

となります。ここで対角行列は，DD^*＝D^*D　なので結局，TT^* ＝ T^*T  がいえます。　(終)