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Appendix 2 ２階テンソルの座標変換 | |
| f-denshi.com 最終更新日：03/08/02 | ||
ベクトル空間の基底として正規直交系しか用いない応用に対しては共変成分，反変成分を区別することは意味がありません[#]。そこで，そのような区別がない場合のテンソル変換について応用上，重要な３次元２階テンソルの例にとりまとめておきましょう。
［１］ まず，復習から。体 R上のベクトル空間 V の直積集合 V×V ： ｛（x,ｙ ）｜x，ｙ ∈V ｝ 上で定義された関数 T（ｘ,ｙ），
T： （ｘ,ｙ ） → r ∈ R
を考えて，それが，z ∈V，λ∈R に対して，
（１） T（x＋z,ｙ ）＝ T（x,ｙ ）＋T（z,ｙ ）
T（x,ｙ＋z ）＝T（x,ｙ ）＋T（x,z ）
（２） T（λx,ｙ ） ＝ λT（x,ｙ ）
T（x,λｙ ） ＝ λT（x,ｙ ）
を満たすとき，これらの性質を双線形性といい，この関数 T を双線形関数，または２階テンソルといいました[#]。
［２］ さて，２階テンソルがベクトル空間 V の座標変換にしたがってどうのように変換するのか考えます。座標変換前後の基底とその関係が，
Σ ＝｛e1,e2,e3 ｝ ⇔ Σ'＝｛e'1,e'2,e'3 ｝
e'j ＝ pkjek
で与えられるとします。すると，ベクトルx ，y はそれぞれの座標系で，
xs ＝ psjx'j
yt ＝ ptkx'k
と変換されることは，ベクトルの座標変換[#]で説明したとおりです。この基底のもとで，双線形関数 T（x，ｙ ）を考えます。
［３］ ２つの座標系で，テンソルの成分Tjkを，
T（ｅ1,ｅ1 ） ＝ T11，T（ｅ1,ｅ2 ） ＝ T12， ・・・，T（ｅ3,ｅ3 ）＝ T33
T（ｅ'1,ｅ'1）＝T'11，T（ｅ'1,ｅ'2）＝T'12，・・・，T（ｅ'3,ｅ'3）＝T'33
とそれぞれ定義[#]しましょう。これを用いると， 双線形関数 T（x,ｙ ） は ２つの座標系で，
T（x,ｙ ）＝T（ ｘ1e1＋ｘ2e2＋ｘ3e3， ｙ1e1＋ｙ2e2＋ｙ3e3 ）
＝ｘ1 ｙ1T（ｅ1,ｅ1 ） ＋ｘ1 ｙ2T（ｅ1,ｅ2 ）＋ ・・・＋ｘ3 ｙ3T（ｅ3,ｅ3 ）
＝ｘ1 ｙ1T11 ＋ｘ1 ｙ2T12＋ｘ1 ｙ3T13＋･･･＋ｘ3 ｙ3T33
＝ ｘs ｙtTst ・・・・・[*] (座標系Σ）
T（x,ｙ ）＝x'1y'1 T（ｅ'1,ｅ'1）＋x'1y'2T（ｅ'1,ｅ'2）＋･･･＋x'3y'3T（ｅ'3,ｅ'3）
＝ x'jy'kT'jk ・・・・・[**] （座標系Σ'）
とそれぞれ表されることになります。 ここでの問題は，T'jk と Tst との関係を求めることです。
［４］ そのために［２］のベクトル成分の変数変換，xs＝Σpsjx'j， yt＝Σptkx'k を上の座標系Σ における式に代入すると，
T（x,ｙ ）＝ΣΣｘs ｙtTst
＝ΣΣ（Σpsjx'jΣptkx'k）Tst
＝ΣΣx'jx'k（ΣΣpsjptkTst）
これを座標系Σ'での式 ΣΣx'jy'k T'jk と比較すれば，
テンソル変換
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［５］ 正規直交系の間の座標変換 だけを考えるならば，Appendix 1 で得たように
x'j ＝ Σ psjxs ，（ y'k ＝ Σ ptkyt ）
である[#] ので，これらを先の座標系Σ'の式[**]に代入して［４］と同様な計算，比較を行なえば，次の関係式がえられます。
テンソル変換(正規直交系)
または，添え字を書き直して，
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Appendix 3 へ続きます・・・・・・・・。
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