４　行列の余因子
f-denshi.com  最終更新日：03/06/29

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１．行列の余因子の定義

［１］　行列式の余因子は主に，

（１）行列式の計算を容易にする
（２）逆行列を求める

ために使います。まず，定義です。行列Aの（s,t）余因子とは，

となりますが，むしろΔ_st が，次の n 次行列式と等しいことの方が本質的です。すなわち，ｔ列目を

［２］　これは，行列式の交代性[#]から次のように示せます。スペースを節約するために，A＝（a₁a₂･･a_t･，a_n）と表し[#]，s 行目が 1 で他の成分は 0 である列ベクトルe_t をa_tと交換すれば，

｜a₁a₂･･････a_t-1 e_t a_t+1･･a_n｜

t-1列とt列を交換すれば，

＝（-1） ｜a₁a₂ ･･････e_t a_t-1a_t+1･･a_n｜

e_tの前列への移動を繰り返していけば，

＝（-1）²｜a₁a₂ ･･e_t a_t-2a_t-1a_t+1･･a_n｜

　　　　　･････････････････

＝（-1）^t-1｜e_t a₁a₂･･a_t-1a_t+1･･a_n｜

≡ D

今度は，得られた Dについて第 s 行を真上の行と次々(s-1)回交換することで第１行目へ移動させると，

D＝（-1）t-1		0	a11･･･a1(t-1)a1(t+1)･･･a1n		＝　　　　　･･･
		0	･･････
		1	as1･･･as(t-1)as(t+1)･･･asn
		0	･･････
		0	an1･･･an(t-1)an(t+1)･･･ann

･･･　　＝（-1）t-1（-1）s-1		1	as1･･･as(t-1)as(t+1)  ･･･asn
		0	a11･･･a1(t-1)a1(t+1)　･･･a1n
		：	････････････
		0	････････････
		0	an1･･･an(t-1)an(t+1)　･･･ann

これは１列目左下の水色で示したブロックが零行列となる[#] ので，さらに，

＝ （-1）t＋s・｜1｜		a11･･･a1(t-1)a1(t+1)　･･･a1n
		････････････
		････････････
		an1･･･an(t-1)an(t+1)　･･･ann

    ＝ Δ_st

と書くことができます。

［３］　具体例をひとつ書いておきます。5次正方行列の（3，4）余因子です。

A＝

a11a12a13 a14 a15 a21a22a23 a24 a25 a31a32a33 a34 a35 a41a42a43 a43 a45 a51a52a53 a45 a55

⇒    Δ34 ≡ （−１）7

a11a12a13a15 a21a22a23a25 a41a42a43a45 a51a52a53a55

２．行列式の余因子展開

［１］　行列式は余因子を用いて次のように展開できます。つまり，次数のひとつ低い行列の行列式の和で表せます。

（１）の証明は，行列式の多重線形性１[#] から，　　← （２）も同様です。

　　　　　　↓

　　　　　　↓

　　＝  a_1tΔ_1t ＋　･･････････　＋ a_ntΔ_nt

のように変形すればわかります。

［２］　重要な直交関係（公式）を書いておきます。 なお，この公式は次章の逆行列の証明で使います。

（１）についての証明は，　　　　 

ｔ＝k　のときは［１］の定理の t 列による展開 [#] そのものです。

ｔ≠k　のときは，［１］の証明における [**] において，a_1t→a_1k， ･･･ ，a_nt→a_nk として↓を逆にたどれば，

a1kΔ1t  ＋ a2kΔ2t ＋　･･･　＋ ankΔnt ＝ a11･･･a1(t-1) a1k a1(t+1)･･･a1n 　･･････ ： 　･･････ as1･･･as(t-1) ask as(t+1)･･･asn 　･･････ ： 　･･････ an1･･･an(t-1) ank an(t+1)･･･ann

となり，t 列目の成分がk 列目（ k≠t ） の成分に等しい行列式であることがわかります。
この値は行列式の性質（４）[#]より　0　です 。

（２）の証明も同様です。

例　　３次の正方行列の１列目の要素で展開

＝a₁₁Δ₁₁＋a₂₁Δ₂₁＋a₃₁Δ₃₁

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