10　ハミルトン-ヤコビ 　　　　　　　　の偏微分方程式
f-denshi.com  最終更新日：　03/03/18
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１．ハミルトン-ヤコビの(偏微分)方程式

［１]　先に求めた完全自由端に対する作用積分[#]の変分は，

δS＝			(Fy−	d	Ｆy’)δydt＋[Fy’]t=b･δyB＋｛[F]t=b−ｙ’(b)･[Fy’]t=b}･δtB
				dt

で，次式を満たさねばなりません。

(1)　(Fy−	d	Ｆy’)＝0
	dt

(２)　[F_y’]_t=b＝0　
(３)　[F]_t=b−ｙ’(b)･[F_y’]_t=b＝0

これを力学で使われる記号で書くと，

δS＝			(Lq−	d	Lq’)δq dt＋［Lq’]t=b･δqB＋｛［L]t=b−q’(b)［Lq’]t=b}･δtB
				dt

［２]　いま，実際に起きる(物理法則に従う)軌跡だけを考えるならば，(オイラー方程式[#]より)第１項の積分は0となります。すると，この式は，p＝L_q’を用いて[#]，  以下，B端の点の値であることを示す添え字 B を省略します。

δS＝		p･δq＋｛L−q’･p}･δt

したがって，B端において，

( I)	∂S	＝p　　かつ，　( II )	∂S	＝L−q’p ＝ −H
	∂q		∂t

を得ます。ここで，＝はルジャンドル変換によるハミルトニアンの定義式によります[#]。この( II)式は，

∂S ＋H＝0　　　　［ハミルトン・ヤコビの偏微分方程式] ∂t

と呼ばれます。

［３]　また，p の代わりに(１)の ∂S/∂q を用いれば，ハミルトニアンの独立変数は，

H(t,q,p)→　H(t,q,∂S/∂q)

となっていることに注意して下さい。

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