|
10 ストークスの定理 |
| f-denshi.com ［目次へ］ 最終更新日：04/05/11 | |
| サイト検索 | |
［１］ 単一閉曲線Cで囲まれた曲面S を，２つの媒介変数 u，t のベクトル方程式
r ＝(x(u,v),y(u,v),z(u,v))＝r (u,v)
で表わし，x，y，z は u，v についてC2級の関数とします。このとき，面積分と線積分とを相互に変換する次の定理が成り立ちます。
| ストークスの定理 単一閉曲線C で囲まれた曲面S上で定義されたC1級のベクトル関数： A ＝(A1(x,y,z),A2(x,y,z),A3(x,y,z))， に対して，
［直交座標での成分表示］ これは曲面の各点での単位法線ベクトル，n ＝(n1,n2,n3) を用いて成分で書けば，
また，この式は次の３つの式を足し合わせたものである。
|
ストークスの定理の物理的な意味については，Appendix３ 三角形のストークスの定理 で説明していますので，そちらを参考にしてください。
(証明) ↓ 媒介変数u,v を経由して証明します。Sに対応する uv空間の領域をU，その境界を C1とします。
有界な曲面S上の任意の閉曲線をC とするとき，n dS＝(ru×rv)dudv を用いれば[#]，定理の，
左辺 → rotA ･ndS ＝ rotA ･(r u×r v)dudv
＝ ∂A3 － ∂A2 (yuzv－zuyv)＋ ∂A1 － ∂A3 (zuxv－xuzv) ∂y ∂z ∂z ∂x
. ＋ ∂A2 － ∂A1 (xuyv－yuxv) dudv ･･････ [*] ∂x ∂y
ただし，各Ak は変数xyzの関数として与えられているので，変数u,v についての積分はこのままでは実行できません。そこで，[*]の被積分関数から，A1 が関係する２つの項だけを抜き出して次のように式を変形します。
∂A1 (zuxv－xuzv)－ ∂A1 (xuyv－yuxv) ∂z ∂y
＝ ∂A1 yu＋ ∂A1 zu xv－ ∂A1 yv＋ ∂A1 zv xu ∂y ∂z ∂y ∂z
＝ ∂A1 xu＋ ∂A1 yu＋ ∂A1 zu xv－ ∂A1 xv＋ ∂A1 yv＋ ∂A1 zv xu ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
＝ ∂A1 xv－ ∂A1 xu ← 合成関数の微分公式[#]を用いました。 ∂u ∂v
ここで，x(u,v)はC2級なので，xvu＝xuv であることに注意して[#]，A1に関する項を積分すると，
⇒ ∂A1 xv－ ∂A1 xu dudv ∂u ∂v
＝ ∂A1 xv＋A1xvu－A1xuv － ∂A1 xu dudv ∂u ∂v
＝ ∂ (A1xv)－ ∂ (A1xu) dudv ∂u ∂v
↓ グリーンの定理[#]を用いて，(∂U＝C1))
＝ (A1xu)du＋(A1xv)dv
＝ A1 (xudu＋xvdv) ←(･･･)はx (u,v) の全微分になってます。
＝ A1dx
A2，A3 に関する積分も同様に求まり，結局３つの式を合計すると，
左辺 [*] ＝ (A1dx＋A2dy＋A3dz)＝ A･dr
となります。
|
において，B ⇒ rotA とすると，div･rotA＝0 なので
が成り立ちます。いま，この平曲面を右図のように単一閉曲線Cによって２つの曲面S1とS2に分けて考えます。ここで閉曲線を図のように定めると法線の正の向きはS2の領域においては分割前と較べて180°反転することに注意して下さい。[#]結局， すなわち，C を縁とする任意の曲面(S1，S2)について， となります。 |
［１］ ストークスの定理の関わる電磁気学等で使われる重要な定理を示しておきましょう。
| ベクトル関数 A ＝［A1(x,y,z),A2(x,y,z),A3(x,y,z)］ について次の３つは同値
(１) 任意の閉曲線 C について∮cA ･dr ＝0 ( r ＝ ( x,y,z) ) (２) A ＝∇φ＝grad φ となるスカラー関数φ が存在する。 ［ ポテンシャル関数の存在 ］ (３) つねに，rotA ＝0 |
(つねに，rotA ＝0 のとき、ベクトル場A を うずのないベクトル場 といいます。また，(２)の条件をみたすとき，A をポテンシャル場といいます。)
(証明)
(１)⇒(２)
媒介変数t を用いて計算するために，位置ベクトルを，
r ＝(x(t),y(t),z(t))
と表すことにします。また，ある滑らかな曲線 C の始点を o ＝(x(0),y(0),z(0))，終点を r ＝(x(t),y(t),z(t)) とします。このとき，(１)ならばあるスカラー関数φ(r) が存在して，[#]
φ(r )＝ A･dr ＝ A1 dx ＋A2 dy ＋A3 dz dt dt dt dt
が成り立ちます。この両辺を t で微分すれば，
∂φ ･ dx ＋ ∂φ ･ dy ＋ ∂φ ･ dz ＝ A1 dx ＋A2 dy ＋A3 dz ∂x dt ∂y dt ∂z dt dt dt dt
これが任意の曲線 C上で成立するためには，
∂φ ＝A1(t)， ∂φ ＝A2(t)， ∂φ ＝A3(t) ⇔ A ＝∇φ ∂x ∂y ∂z
が成立しなければいけません。
(２)⇒(３) 証明済み［rot grad φ＝0 [#] ］
(３)⇒(１) ストークスの定理と(３)の rotA ＝0 を使うと，
A･dr ＝ rotA ･dS ＝0
以上，おしまい。
このようにある閉曲線Cを指定すると，このCを縁とする任意の曲面S上でのrot A の積分が，曲面の形によらず縁の形状だけで決まることはガウスの定理から導かれます。
