９　グリーンの定理
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グリーンの第１等式，第２等式も参考にしてください。　⇒[#]

１．グリーンの定理

［証明］

　ガウスの定理[#]：

∇･A dV＝

A･n dS

において，

A＝［φ(x,y),−ψ(x,y), 0］

とし，積分範囲は右図のように底面が xy 平面内にある領域 D (この周囲を C とする)で高さが1の鉛直に立つ柱とします。そしてこの柱の

　　内部を V
　　表面を S ＝D(底面)＋D'(上面)＋S'(側面)

とすると，ガウスの定理の左辺（体積分）は，

	∇･A dV ＝			∂φ	−	∂ψ		dxdydz
				∂x		∂y

＝			∂φ	−	∂ψ		dxdy･		dz
			∂x		∂y

＝			∂φ	−	∂ψ		dxdy
			∂x		∂y

一方，ガウスの定理の右辺の面積分は上面と底面に関する積分はキャンセルし合うので，側面S'について考えれば十分です。
このとき，側面では，曲線Cの微分長さをds とすれば，

dS ＝ dzds　

とおけるので，さらに，側面上の法線単位ベクトルを，n ＝(cosα，sinα，0)とすれば，

	A ･ndS	＝			(φcosα−ψsinα)dzds
				'

＝			(φcosα−ψsinα)dzds

＝		(φcosα−ψsinα)ds

　　　　　　↓cosαds＝dy，sinαds＝−dx　を用いて (ds⊥n )

＝		(φdy＋ψdx)

すなわち，

		∂φ	−	∂ψ		dxdy＝		(ψdx ＋φdy)
		∂x		∂y

ここで，DをSと改めれば定理を得ます。

２．グリーンの定理の幾何学的な意味

［１］　グリーンの定理の幾何学的な意味を考えるため，グリーン定理において，φ(x,y)＝x，ψ＝(x,y)＝0　とおくと，

	１	dxdy ＝		xdy

今度は，φ(x,y)＝0，ψ＝(x,y)＝y　とおくと，

	１	dxdy ＝−		ydx

この２式の左辺の面積分の範囲はいずれも右図の面積 S にとります。
すると，右辺の線積分はそれぞれ右図を参考にして，

[A]		xdy＝		xupdy＋		xbmdy

　         ＝(S＋S)＋(−S)＝S

および，

[B]  −		ydx＝−		ybmdy−		yupdy

　　         ＝−S'−(−S−S')＝S

となります。　結局，閉曲線Cで囲まれた面積Sを求める上記２通りの方法が ”同じだよ” と示していることがわかります。　

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追加：

３．平面のガウスの定理として

２次元ベクトル場を，

B  ＝(φ(x,y),ψ(x,y))，　B ＝(ψ(x,y),−φ(x,y)) 　　

とします。ここで，２次元の回転，発散を次のように定義します。 ← Appendix4 を参考にして下さい。

rotB ＝	∂ψ(x,y)	−	∂φ(x,y)	＝divB      ←　本文中の∇･Aとφとψが逆ですよ。
	∂x		∂y

divB ＝	∂φ(x,y)	＋	∂ψ(x,y)
	∂x		∂y

これらを用いてグリーンの定理，

		∂ψ	−	∂φ		dxdy＝		(φdx＋ψdy)
		∂x		∂y

を書き換えると，

divB dxdy＝ B ･dr

ガウスの定理

divA dV＝

A ･dS

の次元を両辺ともひとつ落とした形となっている。　　　　グリーンの定理を　”平面のガウスの定理”とも呼ぶ　

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