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５ ボレル集合体 | |
| f-denshi.com [目次へ] 最終更新日：04/11/29 | ||
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このページでは，ルベーグ測度を一般化するために必要なボレル集合体，σ加法族について述べます。
［１］ いま，１から４までの目がでる正四面体のさいころを考えます。ここで，「
でる目 」 の集合 X を
X ＝ ｛1，2，3，4｝
とします。そして X すべての部分集合を元とする部分集合族 β[#]，
β ＝｛φ，｛1｝，｛2｝，｛3｝，｛4｝，
｛1,2｝，｛1,3｝，｛1,4｝，｛2,3｝，｛2,4｝，｛3,4｝，
｛2,3,4｝，｛1,3,4｝，｛1,2,4｝，｛1,2,3｝，｛1,2,3,4｝｝
を考えます。この場合，βは集合 X のべき集合 [#] β［X］ でもあります。
( しかし，この言葉はあまり気にしなくても良い。 )
［２］ ここで，部分集合族の任意の元 A，B について，
(１) A∈β ⇒ Ac∈β
(２) A∈β，B∈ β ⇒ A∪B ∈β
が成り立っていることは容易に確かめられます。(たとえば，A＝｛1,2｝，B＝｛1,3｝とすれば，Ac＝｛3,4｝，A∪B＝｛1,2,3｝も確かにβの元となっています。)これに
(０) X の部分集合をすくなくとも一つ含む。
という条件を加えた３つの条件(０)，(１)，(２)を満たす部分集合族を集合体，または加法族と言います。部分集合体としてはべき集合の他に，AをXの任意の部分集合とした，{φ,A,Ac,X} を選ぶこともできます(各自確認せよ)。
一般的に，条件(０)，(１)，(２)を満たす部分集合族は自動的に，
(４) X，φ∈β
(５) A∈β，B∈β ⇒ A∩B ∈β， A−B∈β
も満足することを示すことができます。
［３］ 一方，βの元から実数への集合関数，m(A)として(もちろん，これを測度と呼んでもいい)，元に含まれる目のどれかがでる確率として定義してみます。つまり，m({1,3})とは，このさいころを振って，1か3のどちらかが出る確率というように。全部書き出すと，
m(φ)＝0
m(｛1｝)＝m(｛2｝)＝m(｛3｝)＝m(｛4｝)＝ 1 4
m(｛1,2｝)＝m｛1,3｝＝m｛1,4｝＝m｛2,3｝＝m｛2,4｝＝m｛3,4｝＝ 1 2 m(｛1,2,3,4｝) ＝ 1
m(｛1,2,3｝)＝m｛1,3,4｝＝m｛1,2,4｝＝m｛1,2,3｝＝ 3 4
となります。これはもちろん，測度の条件を [#] を満足しています。さらに，有限加法性 が成り立っていることもわかります。つまり，｛1｝，｛2，3｝∈β のように共通部分を持たないβの元(Xの部分集合)について，
m(｛1｝∪｛2，3｝)＝m(｛1｝)＋m(｛2，3｝)
↑123のいずれかがでる確率は1が出る確率と2か3のでる確率の和に等しい
が成り立ちます。一般化して述べれば，
A∩B＝φ ⇒ m(A∪B)＝m(A)＋m(B)
が成り立っていることがわかります。なお，ここで取り上げた例のように，m(X)＝1であるような測度を確率測度とも呼びます。
［４］ このような性質が無限濃度をもつ集合 X の部分集合族について成立するとき，その集合体は，σ集合体，またはσ加法族といいます。きちんと書くと，
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定義： 集合 X の部分集合族 β が次の３つの条件を満たすとき，σ集合体，またはσ加法族とという。特に X ＝ Rn のときは n次元ボレル集合体と呼ぶ。
このとき，βの元 （A，Ak∈β） を可測集合といい，さらに (X,β) を可測空間という。 |
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このとき，
(4) X，φ ∈ β ，φ=空集合
(5) Ak∈β(k＝1，2･･･) ⇒ Ak∈β
が自動的に成り立ちます。
(4)は，A∈Xならば，Ac∈β，⇒ X＝A∪Ac∈β。さらにφ＝Xc∈βであるから。
(5)については，
( Ak ) c＝ (Ak)c ∈β
が言えるからです。
［５］ または(3)の代わりに，
| (3’) A，B∈β ⇒ A∩B∈β | ||
| (3”) Ak∈β(k＝1，2･･･)が互いに共通点のない集合列 ⇒ |  |
Ak∈β |
を定義に用いることができます。
(1)，(2)，(3’)＋(3”) ⇒ (1)，(2)，(3)
を証明しておくと，
βからとった任意の集合列 ｛An｝から右図のような
Bn ≡ An−A1∪A2∪･･･∪An-1 ＝ An∩A1c∩A2c∩･･･∩An-1c
を作れば，(2)，(3’)より，Bn∈βで各Bnは互いに共通点をもたない。さらに(3”)から，
Bk∈β
ところが，右図を見てわかるように，
Bk＝ Ak
結局，これは(3)が成り立つことを示している。//
