ときわ台学

	461 デルタ関数とステップ関数
f-denshi.com 更新日：　書きかけです

　１．δ関数いろいろ

［１］　デルタ関数の定義からです。次の２つの条件を満たすような関数をデルタ関数，δ(x－a)と書きます。

(１)　δ(x－a) ＝ ∞　　　　(x＝a)

0　　　　 (x≠0)

(２)　 δ(x－a)dx ＝ 1

［２］これを満たす具体的な関数形

デルタ関数の具体的な形

δ(x)＝

n

π

exp(－nx²) ガウス関数型

δ(t－t')＝ 1 exp［i ω(t－t')］dω 指数関数型１

2π

δ(x－x')＝ 1 exp［i k(x－x')］dk 指数関数型２

2π

δ(x)＝ 1 h リアクタンス関数型：

π x²＋h²

δ(x)＝ sinλx 　　⇔ δ(x)＝ 1 cosωt dω サンプリング関数型

πx π

δ(x)＝ 1 [η(x-h/2)＋η(x＋h/2)］ステップ関数型

h

δ(x－x')＝ 2n＋1 P_l(x')P_l(x) ･

2

［３］　指数関数型２に対するコメントを少し付け加えておきます。

δ(x－x')＝ 1 exp［i k(x－x')］dk　　　

2π

これは、フーリエ変換、逆フーリエ変換の公式：

F(k) 　＝ 1 f(x)・exp ［－i kx ] dx ［フーリエ変換］　

2π

f(x) ＝　 1 F(k)・exp ［i kx ] dk ［逆フーリエ変換］　

2π

において、

F(k)＝ 1 exp［-i kx'］　(平面波)：　および， f(x) ＝ δ(x－x')　

2π

としたものです。　　物理的な意味はこちら　⇒　[#]

とくに，x'＝0 のとき，

δ(x)＝ 1 exp［i kx］dk

2π

［４］

δ関数の性質

δ(x－a)δ(x－b)dx ＝δ(a－b)

f(x)δ(x－a)dx ＝ f(a)　 ⇒　　f(x)δ(x－a) ＝ f(a)δ(x)

f(x)δ(x－a)dx ＝ f(x)*δ(x)　　　　　　　　　［コンボルーション］

δ(x)δ(x－a)dx ＝ δ(x)*δ(x)＝δ(x)　　［コンボルーション］

δ(x)δ(x)dx ＝ ∞　