451　　ガンマ関数
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１．ガンマ関数の定義

［１］　現在、ガンマ関数 ( Γ-関数 ) の定義としてもっともポピュラーなものは積分形(ラプラス変換[#])で与えられます。

　　一方では、ガンマ関数の特徴は、

「自然数 n について定義される階乗： n！ を実数 x へ拡張 したもの」

としばしば述べられます。しかし、この積分の形を眺めていてもなぜそうなのかピンとこないでしょうから、この辺から話を始めましょう。　　まず、n << k　として、 g(n) ＝ (n−1)！ を

(n−1)！＝

(1･2･3･･(n−1)n(n＋1)･･･(k−1)･kn

×

k

×

･･･

×

k＋n−1

･･････(２)

n(n＋1)･･･(k−1)k (k＋1)･･･(n＋k-1)

k

k

と変形します。ここで、n を固定したまま、k →∞ を考えると第2項 の(　　　)内 は 1 に近づくので、

(n−1)！＝		(k−1)！･kn	･･････　(３)
		n(n＋1)･･･(n＋k−1)

であることがわかります。ここから、(３)の右辺の極限はn が自然数でなくても意味を持つことを手がかりに階乗の概念を実数まで拡張しようというのです。　つまり、変数 n　→ x  を実数として、

をガンマ関数と定義するのです。　　

［２］　一方、

kn ＝		2	･	3	････	k		n
		1		2		k−1

＝

1＋

1

n

1＋

1

n

･････

1＋

1

n

1

2

k−1

および、

k−1	＝	1	＝		1＋	n		−1	(　k ＝ 1、2、･･･n-1 )
n＋(k−1)		n/(k-1)＋1				k−1

を(３)式の右辺に代入して、

(n−1)！＝ 1 1＋ 1 n 1＋ n -1 　［ オイラー乗積 ］ n k k

という重要な関係式が得られます。

２．Γ(x) の漸化式

ふたつのガンマ関数の定義 I 、II ともに次の漸化式を満たすことが証明できます。

この関係は(２)については、Γ(n＋1)＝n！＝n(n−1)！＝nΓ(n)となりあたりまえです。(１)の積分形についても、部分積分をすれば簡単に示すことができます。

Γ(x) ＝

e-ttx-1dt　＝

e-ttx/x)

∞ 0

＋

(e-ttx/xdt　＝Γ(x＋1)/x

［３］　さらに定義域を拡張して、x’＜0　のときのΓ(x’)の定義；

Γ(x’)＝Γ(x’＋1)/x’　　

［４］  Γ関数の値

x ＝ 1/2 のとき、

Γ(1/2) ＝

e-tt-1/2dt　＝

π

［５］　ガンマ関数の形と導関数

図、　　　　　　

γ　＝γ’(1)

３．ガンマ関数であらわしたｎ次元球の体積

n次元球の体積 V_n＝c_nrⁿ とn次元球の表面積 S_n との関係は、

dV ＝ dx₁dx₂････dx_n         ･･････････････(１)
    ＝ S_ndr                     ･･････････････(２)

V_n＝c_nrⁿ　とすると、　S_n＝nc_nr^n-1

これを利用して、次の積分 I_n を２通りの方法で計算して比較します。　まず、

In ＝		･･･		exp(-a(x12＋x22＋････＋xn2))dx1dx2････dxn

＝			exp(-ax2)dx		n

＝		π		n/2	･･････････(１)’
		a

一方で、

In ＝		exp(-ar2)Sndr ＝ ncn			exp(-ar2)rn-1dr

t＝r²　と変数変換して、

＝	ncn		exp(-at)t(n/2)-1dt
	2

＝	ncn		exp(-at)(at)(n/2)-1adt ･a-n/2 ＝cn		n	a-n/2Γ(n/2)
	2				2

          ＝ c_na^-n/2Γ((n/2)＋1)     ･･･････････(２)’

最後の＝は、公式Γ(x＋1)＝xΓ(x)を用いました。　(１)、(２)　より、

ｃn ＝	πn/2	⇒      n次元球の体積 ：	Vn ＝	πn/2	rn
	Γ((n/2)＋1)			Γ((n/2)＋1)

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積分公式

	xn exp(-ax)dt　＝	Γ(n＋1)
		an+1

	xn exp(-ax2) dt　＝	Γ((n＋1)/2)
		2a(n+1)/2

＝		m ＝ 2k   のとき、	＝ π ･1･3･5  ････  (2k−1) 2k+1 ak a
		m ＝ 2k＋1 のとき、	＝ k！ 2ak+1

証明は、

	exp(-ax2) dt　＝	π	･	1
		2		a

を a について両辺微分していけば、

	x2exp(-ax2) dt　＝	π	･	1	･	1
		2		2		a3/2

	x2･2exp(-ax2) dt　＝	π	･	1･3	･	1
		2		2･2		a5/2

：

	x2nexp(-ax2) dt　＝	π	･	1･3･･･(2n−1)	･	1
		2		2n		a(2n+1)/2