411 エルミート多項式
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［１］  エルミートの微分方程式とは，

この微分方程式の解を，

y ＝		ckxk

と整級数に展開する [#] と，展開係数について次の漸化式，

ck+2 ＝	2(k−n)	･ck
	(k＋1)(k＋2)

が成立します。ここで境界条件から c₀，c₁　を適当に定めてやれば(２階微分方程式は２つの任意定数を含むので！)，この微分方程式の解 y が x の級数で一意的に表わされたことになります。　ただし，この級数は漸化式の分子を見ればわかるように， k ＝n のとき，c_k＋2＝0 となり，それ以上高次の係数もすべて 0　なので，級数は無限に続くことはなく打ち切られます。

［２］　いくつかロドリゲスの公式を計算してみると，c₀＝1，c₁＝2

H₀(x) ＝ 1 ，　　                  　

H₁(x) ＝ 2x

H₂(x) ＝ 4x² − 2　，            

H₃(x) ＝ 8x³ − 12x

H₄(x) ＝ 16x⁴ − 48x² ＋ 12

H₅(x) ＝ 32x⁵ − 160x³ ＋ 120x

なお，このエルミートの微分方程式は，

d		exp(−x2)	d		y(x) ＋ 2n exp(−x2) y(x) ＝ 0
dx			dx

と書きなおせば，スツルム･リウヴィルの固有方程式 [#] であることもわかります。

［３］　エルミート多項式の母関数は次のように定義できます。

exp		−t2＋2tx		＝		(Hn(x)/n！)･tn　　　　･･･　　[*]

この H_n(x) がエルミート多項式であることは，まず，この両辺を x で微分すると，

2t exp		−t2＋2tx		＝		(2Hn(x)/n！)･tn+1	＝		(Hn'(x)/n！)･tn

両辺の tⁿ 項を比較して，

∴　　　　2nH_n-1(x) ＝  H_n'(x)     ⇔ 　　2(n＋1)H_n(x)＝　H_n+1'(x)   ･････････････　　(1)
   x で微分して，↓
           2nH_n-1'(x)＝  H_n''(x)                     ･････････････････････････････　　(2)

今度は [*] を両辺，t で微分すると，

(−2t＋2x)･exp		−t2＋2tx		＝		((−2t＋2x)Hn(x)/n！)･tn	＝		(nHn(x)/n！)･tn-1

両辺の tⁿ 項を比較して，

｛ −2nH_n-1(x)＋2xH_n(x) ｝･tⁿ/n！ ＝ H_n+1(x)･tⁿ/n！

∴　   −2nH_n-1(x)  ＋2xH_n(x)          ＝ H_n+1(x) 　･････････　　(3)
 x で微分して，↓
        −2nH_n-1'(x)＋2xH_n'(x)＋2H_n(x) ＝ H_n+1'(x)　････････  　(4)

(2)と(4)辺々加えて，

2xH_n'(x)＋2H_n(x)　＝ H_n+1'(x) ＋ H_n''(x)

これから(1)を辺々引いて，

2xH_n'(x)−2nH_n(x)　＝ H_n''(x)　　⇔　　y''(x)−2xy'＋2ny ＝ 0  

となり，エルミートの微分方程式が得られます。

［４］　計算の途中でもいくつか漸化式が現れましたが，以下，エルミート多項式に成り立つ漸化式をまとめておきます。

H_n+1(x) ＝ 2xH_n(x) − 2nH_n-1(x)　⇔　 2xH_n(x) −H_n+1(x)＝ 2nH_n-1(x)＝ H_n'(x)

H'_n(x) ＝ 2nH_n-1(x)

H_n(-x) ＝ (-1)ⁿ･H_n(x)

H_2m+1(0) ＝ 0

H_2m(0) ＝ (-1)^m･2^m･1･3････(2m−1)

［５］　

正規直交性

exp(−x2)･Hm (x)･Hn (x)dx ＝		0	････  (m≠n)
		2nn！ π	････  (m＝n)

級数展開

f(x) ＝

ckHk(x)

ck ＝	1		exp(−x2)f(x)Hk(x)dx
	2kk！ π

加法公式

Hn (x＋y) ＝		nCk 2k	Hk( 2 x)･	Hn-k( 2 y)

Hk(		2	x)･

つづく，･･････

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     y(x) ＝ c₀＋c₁x¹＋c₂x²＋･･･  ＋c_ｎx^k          ＋c_k+1x^k+1       ＋c_k+2x^k+2＋･･･

     y'(x) ＝ c₁  ＋2c₂x＋･･･＋kc_ｎx^k-1＋(k+1)c_k+1x^k＋(k+2)c_k+2x^k+1＋･･･

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

-2xy'(x) ＝       -2c₁x -2c₂x²＋･･･     -2kc_ｎx^k    -2(k+1)c_k+1x^k+1   -2(k+2)c_k+2x^k+2＋･･･

 y''(x) ＝ 2c₂＋･･･           ＋(k+2)(k+1)c_k+2x^k＋･･･

 2ny(x) ＝ 2nc₀＋2nc₁x¹＋･･･          ＋2nc_ｎx^k      ＋2nc_k+1x^k+1     ＋2nc_k+2x^k+2＋･･･