110  スツルム-リウビル型の微分方程式
f-denshi.com  更新日： 04/02/25

１．自己随伴形の微分方程式

［１］　次の形の2階微分演算子，

L ≡ P(x)	d2	＋Q(x)		d	＋ R(x)
	dx2			dx

に対して，

M ≡	d2	P(x) −		d	Q(x) ＋ R(x)
	dx2			dx

を随伴微分演算子と言います。

［２］　いま，x の関数：p(x)，q(x)を含む微分演算子，

L ＝ d p(x) d ＋q(x)  ＝ p(x) d2 ＋p'(x) d ＋q(x)　　　･････　[*]　 dx dx dx2 dx

を考えると，その随伴微分演算子は，

M ＝	d2	｛p(x)｝−		d	｛p'(x)｝＋q(x)
	dx2			dx

＝	d		p'(x)＋p(x)		d		−p''(x)−p'(x)			d	＋q(x)
	dx				dx					dx

＝p''(x)＋p'(x)

d

＋p'(x)

d

＋p(x)

d2

−p''(x)−p'(x)

d

＋q(x)

dx

dx

dx2

dx

＝p(x)		d2	＋p'(x)	d	＋q(x)
		dx2		dx

＝ L

となります。このように，M ＝ L　が成り立つとき自己随伴と言います。

２．スツリムリウビル型微分方程式

［１］　自己随伴演算子を L とするとき，

Lu(x) ＝ λρ(x)u(x)         ･･････　[**]

をスツリムリウビル型の微分方程式といい，これを同次境界条件：

(1)　u(a)＝u(b)＝0　　　　　　　　　　 　［固定端境界条件］
(2)　u'(a)＝u'(b)＝0　　　　　　　　　　 ［自由端境界条件］
(3)　u(a)＝u(b)，かつ　u'(a)＝u'(b)　　　［周期境界条件］

のいずれかで解くことをスツルム･リウビルの固有値問題といいます。

［２］　具体例をあげておきましょう。

(A) ルジャンドルの微分方程式　　( -1≦x≦1，n ＝0，1，2，･･･ )

d		(1−x2)	d		y(x)＋n(n＋1)y(x) ＝ 0
dx			dx

(B) エルミートの微分方程式　　　　( -∞＜x＜∞，n ＝0，1，2，･･･ )

d		exp(−x2)	d		y(x)＋2n exp(−x2)y(x) ＝ 0
dx			dx

(C) ラゲールの微分方程式　　　　　( 0≦x＜∞，n＝0，1，2，･･･ )

d		x exp(−x)	d		y(x)＋n exp(−x )y(x) ＝ 0
dx			dx

［３］　これらの微分方程式はλが特定の値をもつときのみ解が求まります。解をもつときのλを固有値，それに対応する解を固有関数と言います。また，異なる固有値λ_ｊ，λ_k に対する固有関数をそれぞれu_j(x)，u_k(x)とするとき，次の積分，

Sjk ＝

ρ(x)uj(x)uk(x)dx

は同次境界条件の下では 0 となる特徴があり，この性質を固有関数の直交性といいます。これを示すには，[**] からすぐわかる，

u_k(x)Lu_j(x) ＝ u_k(x)λ_jρ(x)u_j(x)  
u_j(x)Lu_k(x) ＝ u_j(x)λ_kρ(x)u_k(x)  

を辺々引いて，区間［a，b］について積分すると，

｛uk(x)Luj(x) −uj(x)Luk(x) ｝dx ＝ (λj−λk)Sjk

となりますが，この左辺は [*] を用いて，

uk

d

p(x)

duj

＋q(x)uj

−uj

d

p(x)

duk

＋q(x)uk

dx

dx

dx

dx

dx

＝

uk｛p'u'j＋ｐu''j｝−uj｛p'u'k＋pu''k｝

dx

＝

p｛uku''j−uju''k｝＋p'｛uku'j−uju'k｝

dx

↓　　　｛uku''j−uju''k｝＝	d	｛uku'j−uju'k｝
	dx

＝

p(x)｛uk(x)u'j(x)−uj(x)u'k(x)｝

したがって，同次境界条件(1)〜(３)いずれの下においても，最後の式は0となることがわかります。さらに各固有関数について，任意定数をかけて[#]，

	ρ(x)uj(x)uｊ(x)dx ＝ 1　　(j ＝0，1，2，･･･ )

としておけば，固有関数の直交性はδ関数を用いて，

Sjk ＝ ρ(x)uj(x)uk(x)dx ＝δjk

と表すことがができます。

(縮退の話はここでは省略します。)

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