201  フーリエ級数展開
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解析学入門で，ある関数 f(x) は，

f(x) ＝ f(a)＋	f'(a)	(x−a)＋	f''(a)	(x−a)2＋･･･＋	f(n)(a)	(x−a)n　＋　･････
	1！		2！		n！

とその導関数を利用して 「”関数” x の多項式 」 で テーラー展開できること示しました [#]が，ここではもっと一般的に”直交関数列”と呼ばれる適当な周期関数，特に三角関数で展開できることを見ていきます。

１．フーリエ三角級数

・・能書き・・・

定義：

この三角関数を用いた級数展開が重要である理由は，次の三角関数の積分公式にあります。

sin mt ・sin nx ｄt ＝　 　0　　　　(m≠n) 　π　　　　(m＝n) 　cos mt ・cos nx ｄt ＝　 　0　　　　(m≠n) 　π　　　　(m＝n) 　sin mt ・cos nx ｄt ＝　0 　sin mt ｄt ＝ ・cos mx ｄt ＝　0

この公式のおかげで，f(x) がフーリエ三角級数展開可能，すなわち，

ｆ(x) ＝　a0/2　＋ { ancos nx ＋ bn sin nx }　･････　[**]

である(等号＝が成り立つ)ならば，

1		f(x)cos kx dx
π

＝

1

{　a0/2　＋

{ ancos nx ＋ bn sin nx }cos kx dx

π

＝

1

{(a0/2)cos kx dx ＋ {

1

ancos nx ・cos kx dx } ＋ {

1

bn sin nx ・cos kx dx }

π

π

π

＝ 0    ＋    a_k    ＋    0　　＝ a_k

というような計算ができるのです。これがどんな意味をもつかと言うと，正規直交基底{ｅ₁，ｅ₂，・・・，ｅ_n }をもつ n次元ベクトル空間 [#] における次のような内積計算と比較をすれば明快です。すなわち，ベクトル：

c　＝　c₁ｅ₁＋c₂ｅ₂＋・・・＋c_nｅ_n　

に対して，内積の計算，

( c，ｅ_k ) ＝ c_k

と比較すれば，

f(x)　　 　　　　　　　　   ⇔　    　c cos kx　　　　　　　　　　　⇔　     ｅk f(x)・cos kx　の積分＝ak　　⇔　 c  とｅk の内積＝ak

つまり，

関数              ⇔          ベクトル 三角関数          ⇔       基底ベクトル 積分              ⇔          内積

という対応関係が見出せます。すると，[**]と表せる関数の全体集合において，

{1，cos kx，sin kx}≡{1，cos x，cos 2x，cos 3x，・・・，sinx，sin 2x，sin 3x，・・・}　

はベクトル空間における　”正規直交基底”　と同じ役割を担っていることがわかります。
そこでこれを，直交関数列　と呼ぶことにしましょう。結局，ベクトルが正規直交基底を用いて展開できるように，

「関数は直交関数列を用いて展開できる。」

ことを，フーリエ級数展開の存在は示唆しているのです。

もちろん，[**]の等号''＝” が成り立つとき，上に出てきた各積分値やその無限の和も発散しないこと等，こまかな条件が必要ですが，厳密な話はここでは省略します。

  ⇒　詳細な議論は，”ルベーグ積分”に書きます。

２．フーリエ級数展開の別形

フーリエ級数展開は他にもいろいろな表現があります。積分区間を任意の実数にしたり，無限区間に拡張したりです。

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