10-2　 交換子群と可解群
f-denshi.com  更新日　23/05/21　間違い訂正
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１．交換子群　

［１］  ある群 G が与えられ，その正規部分群 H による剰余群 G/H を考えます。　一般に H が大きくなるほど G/H は小さな群となり，G/H が可換群となる可能性が高くなり（位数が2，3であれば，それは100%可換群），この両者が密接に関係していると考えられます。その指針を与えてくれるのがここで述べる交換子群です。まず，その定義です。

定義１　　[交換子群］

群 G の部分群 H，K に対して，

xyx-1y-1　： x∈H， y∈K

と表せる元を交換子と呼び，

[x，y]

と書く。また，交換子から生成される（注意）群Gの部分集合は群をなし，交換子群と呼び，

［H，K ］

と書く。特に， H＝K  であるときは，

［H，H ］≡D（H）

と書く。　（注意：交換子全体の集合は群をなさない。あらゆる交換子の積から生じるすべての元を含めねばならない。）

交換子は，x，y が可換のときは，[x,y]＝xyx-1y-1＝yxx-1y-1＝e，
逆に，xyx-1y-1＝e　ならば，両辺に右から yx をかけて，xy＝yx ，すなわち，

[x，y]＝e　　⇔　　xy＝yx

という関係が成り立っています。

交換子群は剰余群の可換性を評価するために利用されます。正規部分群 H の剰余類に，群の演算が，xH * yH ＝ xyH　と定義されており[#] ，かつ，xH と yH　が可換，すなわち，xH * yH＝yH * xH　であれば，

xyH＝yxH

と同じことですが，これに左からx-1y-1をかければ，

x-1y-1xyH＝H

すなわち，　x-1y-1xy∈H　であること，x-1y-1xy が H からはみ出さないことが分かります。（元と逆元の表記を取り換えたものが上の囲みの定義）

群 G と部分群 H の交換子群 ［G，H ］＝{ e } であれば，すべての H の元はすべての G の元と可換であることを意味します。

特にG が可換群の場合，交換子群 ［G，G ］ ＝｛ e ｝ で，その逆も成つことはすぐにわかります。そして，剰余群 G/｛e｝＝G も可換群です。

［２］ 交換子群と正規部分群との関係を示す重要な定理を示します。

定理１

（１） ［G，G ］ は G の正規部分群である。
（２） 剰余群 G/［G，G］ は可換群である。
（３） H が G の正規部分群で G/H が可換群ならば，［G，G］⊂H である。
　　     　⇒　すなわち，G/［G，G］ は最も大きい可換なGの剰余群。

証明

（１） 任意の g∈G ， xyx-1y-1∈［G，G ］ に対して，

g(xyx-1y-1)g-1 ＝ gxg-1gyg-1gx-1g-1gy-1g-1
                    ＝(gxg-1)(gyg-1)(gxg-1)-1(gyg-1)-1

と表せるので，g［G，G ］g-1 ⊂［G，G ］が示せます。これは［G，G ］が G の正規部分群であることの定義です[#]。

（２）　剰余類，x［G，G ］，y［G，G ］，x-1［G，G ］，y-1［G，G ］∈G/［G，G ］，とすれば [#]，

x［G，G ］y［G，G ］x-1［G，G ］y-1［G，G ］＝xyx-1y-1［G，G ］＝［G，G ］≡E　　　←代表元を用いた剰余類の記号を使ってます[#]

ただし，Eはこの剰余群 G/［G，G］の単位元で[#]，最後の＝はxyx-1y-1∈［G，G ］だから[#]です。この式の右から（y［G，G ］x［G，G ］）をかけると，

x［G，G ］y［G，G ］＝y［G，G ］x［G，G ］

が示されます。

( G/［G，G］ は，G においてすべての交換子を単位元とみなす関係を G に入れることで，これはすべての元を可換とみなす関係を導入することに等しく，その関係の入った同値類は可換となる，と考えることができる。)

（３）  G/H，が可換群ならば，任意の xyx-1y-1について，

xyx-1y-1H ＝ xH･yH･x-1H･y-1H
               ＝(xH･x-1H)･(yH･y-1H)
               ＝eH･eH
　　　　　　　 ＝H

これは，交換子 xyx-1y-1∈H　を意味する。よって，この交換子から生成される交換子群［G，G］はHの部分群：［G，G］⊂H でなければならない。

なお，［G，H］⊂H　も同様に成り立つ。

［３］　以上の結果を正四面体群A4 について群表を見ながら確かめてみましょう。

例１　交代群A4 の交換子群は，

［A4 ，A4 ］＝｛ e，hx，hy，hz ｝＝H　

であることを確認してください ［演習問題］。

X･Y e hx hy hz a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4
e e hx hy hz a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4
hx hx e hz hy a4 a3 a2 a1 b2 b1 b4 b3
hy hy hz e hx a3 a4 a1 a2 b4 b3 b2 b1
hz hz hy hx e a2 a1 a4 a3 b3 b4 b1 b2
a1 a1 a2 a4 a3 b1 b4 b2 b3 e hz hy hx
a2 a2 a1 a3 a4 b3 b2 b4 b1 hz e hx hy
a3 a3 a4 a2 a1 b4 b1 b3 b2 hy hx e hz
a4 a4 a3 a1 a2 b2 b3 b1 b4 hx hy hz e
b1 b1 b4 b3 b2 e hx hz hy a1 a3 a4 a2
b2 b2 b3 b4 b1 hx e hy hz a4 a2 a1 a3
b3 b3 b2 b1 b4 hz hy e hx a2 a4 a3 a1
b4 b4 b1 b2 b3 hy hz hx e a3 a1 a2 a4













⇔
Ｘ*Ｙ H A B
H H A B
A A B H
B B H A

H がA4 の正規部分群であることはすでに示したとおりです[#]。そして， A4 /［A4 ，A4 ］＝ Z3 は可換群です。


例２　点群 C4v (前ページ参照 [#] ) の交換子群は，　（26/6/3　追加）

[C4v，C4v]＝{ e，c2 }

剰余群　C4v/[C4v，C4v] は次のとおりで，C4vのもっとも大きな可換な剰余群であった。

X･Y e c2 c1 c3 σx σy σd σd’
e e c2 c1 c3 σx σy σd σd’
c2 c2 e c3 c1 σy σx σd’ σd
c1 c1 c3 c2 e σd’ σd σx σy
c3 c3 c1 e c2 σd σd’ σy σx
σx σx σy σd σd’ e c2 c1 c3
σy σy σx σd’ σd c2 e c3 c1
σd σd σd’ σy σx c3 c1 e c2
σd’ σd’ σd σx σy c1 c3 c2 e







⇔
E C X D
E E C X D
C C E D X
X X D E C
D D X C E

剰余類　　E＝｛ e,c2 ｝，C＝{ c1,c3 }，X＝{ σx,σy }，D＝{ σd,σd' }




［４］　対称群Snと交代群Anの交換子群は次のようになります。

定理２

（１） ［Sn，Sn］＝An
（２） ［Sn，An ］＝An　
（３） 交代群 Anの交換子群は，

［A2，A2］＝e
［A3，A3］＝e
［A4，A4］＝｛e,（12）（34）,（13）（24）,（14）（23）｝＝{ e,hy,hx,hz }
［An，An］＝An　　　n≧5

証明

（１）　
n＝2のときは，S2={ e,(12) } は可換群で，[S2,S2]＝{ e }＝A2 であるから成り立つ。
n≧3のときは， x，y，x-1，y-1∈Sn として，交換子の置換の符号[#]について，

sgn xyx-1y-1 ＝sgn x sgn y sgn x-1sgn y-1 ＝ +1

であるから，Snの交換子から生成される元の符号はすべて+1である。すなわち，

［Sn，Sn］⊂An　　

逆に，An， n≧3　は長さ3の巡廻置換，(12k)，k＝3,･･･,n　から生成される[#]が，

(12k)＝(12)(1k)(12)-1(1k)-1 　  ←右辺はSnの元からなる交換子

と書くことができるので，

An⊂［Sn，Sn］

であることもわかる。したがって，［Sn，Sn］＝An　である。

（２）
(12k)＝(12)(12k)(12)-1(12k)-1∈[Sn，An]　(k≧3)　を用いる。

（３）　
n≦3のときは具体的に計算して確かめることができる。
n＝4のときは，正規部分群Hの位数は4であるから，剰余群A4/Hの位数は，12/4＝3である。ところが，位数3である群は可換群Z3に同型であるから，先程の定理１の（３）より，

［A4，A4］⊂H

である。　一方，Hの元について，たとえば，

　　e　　＝eee-1e-1
(12)(34)＝(243)(142)(243)-1(142)-1    ⇔　hy＝a4b2＝b1b3a1a3　
(13)(24)＝(243)(123)(243)-1(123)-1    ⇔　hx＝a2b3＝b1b4a1a4　
(14)(23)＝(243)(134)(243)-1(134)-1　　⇔　hz＝a3b4＝b1b2a1a2　

と書くことができるので，H⊂［A4，A4］である。よって，H＝［A4，A4］。

上式の3へ間違いを訂正しました。(23/05/21)

上の等式は，下表をよく見て確認してください。

x∈A4 の互換，巡回置換を用いた表示
e e a1 (234) b1 (243)
hx (13)(24) a2 (143) b2 (134)
hy (12)(34) a3 (124) b3 (142)
hz (14)(23) a4 (132) b4 (123)
X･Y e hx hy hz a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4
e e hx hy hz a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4
hx hx e hz hy a4 a3 a2 a1 b2 b1 b4 b3
hy hy hz e hx a3 a4 a1 a2 b4 b3 b2 b1
hz hz hy hx e a2 a1 a4 a3 b3 b4 b1 b2
a1 a1 a2 a4 a3 b1 b4 b2 b3 e hz hy hx
a2 a2 a1 a3 a4 b3 b2 b4 b1 hz e hx hy
a3 a3 a4 a2 a1 b4 b1 b3 b2 hy hx e hz
a4 a4 a3 a1 a2 b2 b3 b1 b4 hx hy hz e
b1 b1 b4 b3 b2 e hx hz hy a1 a3 a4 a2
b2 b2 b3 b4 b1 hx e hy hz a4 a2 a1 a3
b3 b3 b2 b1 b4 hz hy e hx a2 a4 a3 a1
b4 b4 b1 b2 b3 hy hz hx e a3 a1 a2 a4


n≧5のとき，（１）の［Sn，Sn］＝An と ［An，An］⊂［Sn，Sn］から［An，An］⊂An は直ちにわかる。
一方，交代群 An， n≧3 は長さ3の巡回置換，(12k)，k＝3,･･･,n　から生成される[#]が，n≧5のときは，1，2，k のいずれとも異なる，2文字，i，ｊを用いて，

(12k)＝(12i)(1kj)(12i)-1(1kj)-1

と表すことができる。これは，An ⊂［An，An］を意味する。先の結果と合わせて，An ＝［An，An］。 証明終



２．可解群

［１］　任意の群 G についてその交換子群を考え，さらにその交換子群について，その交換子群を考えるということを繰り返し考えることができます。すなわち，

[G，G]             ≡　D1（G）
[D1（G），D1（G）]≡ D2（G）
[D2（G），D2（G）]≡ D3（G）

･･･････････････････････

このとき，次のような集合の包含関係，

G ⊇ D1（G） ⊇ D2（G） ⊇ D3（G） ⊇ ・・・・・

を交換子群列とよびます。そして，ある k から先について，

定義

　　（１）   Dk（G）＝Dk+1（G）＝・・・＝｛e｝　　　←　可解群  
　　（２）   Dk（G）＝Dk+1（G）＝・・・≠｛e｝　　　←非可解群  

の２とおりの場合が生じます。ここで，（１）となる場合，G を可解群，（２）の場合を非可解群といいます。

［２］　例えば，S4は，

[S4，S4]＝A4　　＝D1（S4）
［A4，A4］＝H　　＝D2（S4）
[H，H]＝｛e｝　　　＝D3（S4）

となるので可解群です。

S4交換子群列は，

　　S4 ⊃ A4 ⊃ H ⊃ { e }  
注意：H = H/{ e } は単純群ではないので，↑は組成列 [#] ではない。

この定義を用いると，１．の定理２から，

定理３

対称群 Sn： n≦4　ならば，可解群
n≧5　ならば，非可解群
　

と述べることができます。これは，５次以上の一般代数方程式に解の公式が存在しないことを示すための重要な（補助）定理となっています。

［３］　交換子群を用いた定義のままでは，その意味を掴みにくいので，その同値な表現を与えることも無駄ではないでしょう。　

定理４

群Gが可解群であるための必要十分条件は，Gの部分群の列

     G＝G0 ⊃ G1 ⊃ G2 ⊃ ・・・ （　⊃ Gm＝｛e｝　）　・・・・・・・・・ [*]

において，

     (1) 各 Gkは Gk-1 の正規部分群である。
     (2) 剰余群 Gk-1/Gk はすべて可換群である。　（k=1，2，･･･m）

が成り立つことである。

　　（　(1)を満たす[*]を正規鎖という。）

これを可解群の定義とすることもできます。

また，巡回群は可換群なので，(2)を巡回群としている教科書もあります。詳細は，「アーベル群の基本定理」で検索してみてください。

［４］　この2つの条件の他に，

(3) すべての Gk-1/Gk が｛ e ｝ではない単純群[#]である。

ことを満足するとき，部分群の列，

G＝G0 ⊃ G1 ⊃ G2 ⊃ ・・・

を組成列と言います。

対称群 Sn の組成列は，

S1 ＝ e
S2 ⊃ A2＝e
S3 ⊃ A3 ⊃ e
S4 ⊃ A4 ⊃ H ⊃ Z2 ⊃e  
S5 ⊃ A5 ⊃ A5 ⊃　･･･

組成列は，必ずしも有限で終わるものばかりとは限りません。例を挙げておくと，整数加群からつくられる部分加群の列，

Z ⊃ 2Z ⊃ 4Z ⊃ 8Z ⊃　････

は組成列です。剰余群は，nZ/2nZ＝Z2 （可換群）。


［５］　話しを可解群に戻します。　定理４の証明です。

可解群ならば，交換子群列が(1)，(2)を満たしていることは定理１の（１），（２）から明らか。

逆に[*]が (1)，(2) を満たしているならば，定理１の(３) [#] より，

G0/G1が可換群　⇒　D1(G0)＝[G0，G0]⊂G1
G1/G2が可換群　⇒　D2(G0)＝[D1(G0)，D1(G0)]⊂[G1，G1]⊂G2
：
Gm-1/Gｍが可換群　⇒　Dm(G0)⊂  ･･･ ⊂  ･･･  ⊂Gm ＝｛e｝

が成り立つ。すなわち，これはG＝G0が可解群であること，Dm(G)＝｛e｝を示している。

［６］　他に重要な定理として，以下のものがあります。

定理

（１）　群 G が可解群　⇒　そのすべての部分群 S も可解群である。
（２）  群 G が可解群　⇒  そのすべての剰余群 G/H も可解群である。
（３）  群 G の正規部分群 H とその剰余群 G/H がともに可解群  
　　　　　　　　　　　　　　⇒　G は可解群である。

証明略

定理

巡回群，および，巡回群の直積 [#] は可解群である。

証明略

Feit-Thompsonの定理

群 G の位数｜G｜が奇数ならば，G は可解群である。　　
　

証明略

Burnsideの定理

位数がpmqn　の群は可解群である。ただし，p,q は素数，m,n は非負整数。

証明略



ここでは，［Ｇ，G］タイプの交換子群について述べましたが，［G，H］タイプについては，Appendix５ 冪零群にまとめています，

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X･Y e hx hy hz a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4
e e hx hy hz a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4
hx hx e hz hy a4 a3 a2 a1 b2 b1 b4 b3
hy hy hz e hx a3 a4 a1 a2 b4 b3 b2 b1
hz hz hy hx e a2 a1 a4 a3 b3 b4 b1 b2
a1 a1 a2 a4 a3 b1 b4 b2 b3 e hz hy hx
a2 a2 a1 a3 a4 b3 b2 b4 b1 hz e hx hy
a3 a3 a4 a2 a1 b4 b1 b3 b2 hy hx e hz
a4 a4 a3 a1 a2 b2 b3 b1 b4 hx hy hz e
b1 b1 b4 b3 b2 e hx hz hy a1 a3 a4 a2
b2 b2 b3 b4 b1 hx e hy hz a4 a2 a1 a3
b3 b3 b2 b1 b4 hz hy e hx a2 a4 a3 a1
b4 b4 b1 b2 b3 hy hz hx e a3 a1 a2 a4

　hy　＝a4b2＝b1b3a1a3　
　　　＝a2b4＝b3b1a3a1
　　　＝a1b3＝b4b2a4a2
　　　＝a3b1＝b2b4a2a4