８　正規部分群
f-denshi.com  最終更新日：  04/04/18
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　前ページでは群に同値関係を導入するために a を含む左剰余類，aH＝{a・h | h∈H｝を考えましたが，同様に右剰余類，Ha＝{ h・a | h∈H ｝を考えることができます。この二つの剰余類は一般的には一致しません。（S1，S2，･･は一致しません。）この２つが一致するかしないかは，非可換群の分類や特徴付けに利用されます。



1．部分群S1による右剰余類

［１］　左剰余類別と同様に，正四面体群 G の S1 ＝｛e，a1，b1｝による右剰余類，S1x＝{s・x | s∈S1｝ を求めましょう。
　　正四面体群表から抜き出した下の表：

X･Y e a1 b1 a2 b4 hx a3 b2 hz a4 b3 hy
e e a1 b1 a2 b4 hx a3 b2 hz a4 b3 hy
a1 a1 b1 e b4 hx a2 b2 hz a3 b3 hy a4
b1 b1 e a1 hx a2 b4 hz a3 b2 hy a4 b3

から，

S1a1＝S1b1＝S1e　＝｛a1，b1，e ｝
S1a2＝S1b4＝S1hy＝｛a2，b4，hx｝
S1a3＝S1b2＝S1hx＝｛a3，b2，hz｝
S1a4＝S1b3＝S1hz＝｛a4，b3，hy｝

すなわち，四面体群 G の部分群 S1 による右剰余類は，

｛a1，b1，e｝，｛a2，b4，hx｝，｛a3，b2，hz｝，｛a4，b3，hy｝

となります。これを先に求めた部分群 S1 による左剰余類[#]，

｛a1，b1，e｝，｛a2，b3，hz｝，｛a3，b4，hy｝，｛a4，b2，hx｝

と比べてみると，

群 G の部分群 S1 による類別は，［右剰余類］　≠　［左剰余類］

であることがわかります。

２．部分群Hによる右剰余類

［１］　次に正四面体群 G の H による右剰余類を考えてみます。下表を参考にして

X･Y a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 e hx hy hz
e a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 e hx hy hz
hx a4 a3 a2 a1 b2 b1 b4 b3 hx e hz hy
hy a3 a4 a1 a2 b4 b3 b2 b1 hy hz e hx
hz a2 a1 a4 a3 b3 b4 b1 b2 hz hy hx e
　正四面体群表の抜粋
Ha1＝Ha2＝Ha3＝Ha4 ＝｛a1，a2，a3，a4｝＝ A
Hb1＝Hb2＝Hb3＝Hb4 ＝｛b1，b2，b3，b4｝＝ B
He ＝Hhx＝Hhy＝Hhz ＝｛ e，hx，hy，hz ｝＝ H

となります。この結果をH による左剰余類[#] と比べてみれば，

群 G の部分群 H による類別は，［右剰余類］　＝　［左剰余類］

このように ［右剰余類］＝［左剰余類］ を与える部分群 H を正規部分群といいます。

［２］　きちんと書いておくと，

定義

部分群 H がすべての元  g∈G に対して，

（１）　gH ＝ Hg

がなりたつとき，部分群 H を正規部分群という。  または，

        （２）　gHg-1 ⊂ H　

と定義しても同じ。

群G が可換群の場合，そのすべての部分群が正規部分群となることはすぐにわかります。一方，群G の自明な正規部分群である G自身 と 単位元だけからなる集合以外には，正規部分群を持たないような群もあります。このような群を単純群と言います。ここで調べた正四面体群は２つのタイプの中間にあるわけです。



３．商群

［１］　正規部分群による剰余類，A，B，H は集合ですが，この集合を元とする集合，つまり，集合の集合を考えることで新しい群を構成することができます。このようなことは正規部分群ではない部分群，S1，S2 にはない性質です。具体的には，

A＝｛a1，a2，a3，a4 ｝
B＝｛b1，b2，b3，b4 ｝
H＝｛ e，hx，hy，hz ｝

と置き，集合 A，B，H を元とする集合 ｛A，B，H ｝ を考えるわけです。この元（＝剰余類）どうしの演算 * として，

H*B＝｛hB | h∈H ｝　　　，ただし，　hB＝｛hb1，hb2，hb3，hb4 ｝

のように定義します。ここで hがe，hx，hy，hzのいずれであっても，hBは，

eB＝｛eb1，eb2，eb3，eb4 ｝　　　　＝｛b1，b2，b3，b4 ｝
hxB＝｛hxb1，hxb2，hxb3，hxb4 ｝＝｛b2，b1，b4，b3 ｝
hyB＝｛hyb1，hyb2，hyb3，hyb4 ｝＝｛b4，b3，b2，b1 ｝
hzB＝｛hzb1，hzb2，hzb3，hzb4 ｝ ＝｛b3，b4，b1，b2，｝

となり，この4つの集合は，b1，b2，b3，b4 の並び順が変わるだけで同じです。結局，剰余類の演算結果として，

H*B　　⇒　｛b1，b2，b3，b4 ｝＝B

と一つ定めることができます。 これは，代表元を用いた記法では，ｅH*b1H ＝ eb1H ＝b1H と書けます。

同様に，

A*H ＝ H*A ＝ A，　　（ a1H*eH ＝ eH*a1H ＝ ea1H ＝a1H）
B*H ＝ H*B ＝ B，     （ b1H*eH＝eH*b1H＝eb1H＝b1H）
H*H ＝ H                  （ eH*eH ＝e･eH ＝ eH）

とできることもわかります。さらに同じ規則のもとで，

A*B ＝ B*A ＝ H　　　（ a1H*b1H＝b1H*a1H＝a1b1H＝eH ）
A*A ＝ B                  （ a1H*a1H ＝ a1a1H ＝ b1H ）
B*B ＝ A                  （ b1H*b1H ＝ b1b1H ＝ a1H）

とすべての剰余類どおしに合理的な演算となっています。  （ Ｂ＝A-1 となっていることもわかりますね。）

この演算規則は代表元を用いた書き方を用いれば，

xH * yH ＝ xyH　　［ 正規部分群による剰余類間の演算 * の定義 ］

と定義されていることになります。

これは，HをHに属するいずれかの元と考えて，

(xH)(yH)＝x(Hy)H＝x(yH)H＝xy(HH)＝xyN

という計算が可能だからです。

［２］　したがって，集合の集合 ｛H，A，B ｝ は演算 * のもとで群をなし，左下の群表のようになります。

Ｘ*Ｙ H A B
H H A B
A A B H
B B H A











⇔
X･Y e hx hy hz a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4
e e hx hy hz a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4
hx hx e hz hy a4 a3 a2 a1 b2 b1 b4 b3
hy hy hz e hx a3 a4 a1 a2 b4 b3 b2 b1
hz hz hy hx e a2 a1 a4 a3 b3 b4 b1 b2
a1 a1 a2 a4 a3 b1 b4 b2 b3 e hz hy hx
a2 a2 a1 a3 a4 b3 b2 b4 b1 hz e hx hy
a3 a3 a4 a2 a1 b4 b1 b3 b2 hy hx e hz
a4 a4 a3 a1 a2 b2 b3 b1 b4 hx hy hz e
b1 b1 b4 b3 b2 e hx hz hy a1 a3 a4 a2
b2 b2 b3 b4 b1 hx e hy hz a4 a2 a1 a3
b3 b3 b2 b1 b4 hz hy e hx a2 a4 a3 a1
b4 b4 b1 b2 b3 hy hz hx e a3 a1 a2 a4
商群 G／H　（≡Z3） 元のGの群表

この群を商群，または剰余群 G／H と言います。ここで，H が商群の ”単位元” であることに注意してください。まとめると，

「 正規部分群 H による左剰余類と右剰余類は一致し，その剰余類は商群をなし，H がその単位元となります。」

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以下とりこぼし，

組成列：

正四面体群 G は交代群 A4 と同じ群ですが，これがS4の正規部分群であることは，

sgn（g･A4･g-1）＝sgn（A4）sgn（g）sgn（g-1）＝+1，　g∈A4　⇒　g･A4･g-1∈A4
gg-1＝e（偶置換）なので，sgn（g）とsgn（g-1）の符号は等しい。

からわかります。また，H は今示したようにA4の正規部分群で，さらに N＝｛e，hx｝ が H の正規部分群，｛e｝がNの正規部分群なので，結局，

S4 ⊃ A4 ⊃ H ⊃ N ⊃ ｛e｝

というような包含関係が存在し，位数は24，12，4，2，1なのでこれらの中間に他の部分群は存在しません。さらに，商群，

S4 / A4 ， A4 / H， H / N， N / ｛e｝

は位数2，3，2，2の巡回群で，これらは単純群です。このような 「 G から｛e｝への正規部分群の系列 」 を組成列と言います。

定義

群Gの部分群からなる包含関係にある列，

G⊃ G1 ⊃ ･･･ ⊃ Gj ⊃ Gj+1 ⊃ ･･･

において，いずれのGj+1もGjの正規部分群であるとき，この列を正規鎖といい，特に剰余群Gj/Gj+1 がいずれも単純群であるとき，この列を組成列という。

正四面体群(＝A4) の正規部分群Hの正規部分群 Nx＝{e，hx} による類別，および，商群は，M＝{hy，hz} として，

X･Y e hx hy hz
e e hx hy hz
hx hx e hz hy
hy hy hz e hx
hz hz hy hx e
⇔
X･Y N M
N N M
M M N

部分群S1による左右の類別を考慮して，正四面体群の群表を整理すると下図のようになる。

X･Y e a1 b1 hx a2 b4 hy a4 b3 hz a3 b2
e e a1 b1 hx a2 b4 hy a4 b3 hz a3 b2
b1 b1 e a1 b4 hx a2 b3 hy a4 b2 hz a3
a1 a1 b1 e a2 b4 hx a4 b3 hy a3 b2 hz
hx hx a4 b2 e a3 b3 hz a1 b4 hy a2 b1
b2 b2 hx a4 b3 e a3 b4 hz a1 b1 hy a2
a4 a4 b2 hx a3 b3 e a1 b4 hz a2 b1 hy
hy hy a3 b4 hz a4 b1 e a2 b2 hx a1 b3
b4 b4 hy a3 b1 hz a4 b2 e a2 b3 hx a1
a3 a3 b4 hy a4 b1 hz a2 b2 e a1 b3 hx
hz hz a2 b3 hy a1 b2 hx a3 b1 e a4 b4
b3 b3 hz a2 b2 hy a1 b1 hx a3 b4 e a4
a2 a2 b3 hz a1 b2 hy a3 b1 hx a4 b4 e

正規部分群ではないS1によって商群は作られない。