８　正規部分群
f-denshi.com  最終更新日：  04/04/18

　前章では群に同値関係を導入するに際して， a を含む左剰余類，aH＝{a・h | h∈H｝を考えましたが，同様に右剰余類，Ha＝{ h・a | h∈H ｝を考えることができます。この二つの剰余類は一般的には一致しません。（S₁，S2，･･は一致しません。）この２つが一致するかしないかは，可換群と非可換群の中間にある群の分類や特徴付けに利用されます。

1．部分群S₁による右剰余類

［１］　左剰余類別と同様に，正四面体群 G の S₁ ＝｛e，a₁，b₁｝による右剰余類，S₁x＝{s・x | x∈S₁｝ を求めましょう。
　　正四面体群表から抜き出した下の表：

X･Y

e

a1

b1

a2

b2

a3

b3

a4

b4

hx

hy

hz

e

e

a1

b1

a2

b2

a3

b3

a4

b4

hx

hy

hz

a1

a1

b1

e

b4

hz

b2

hy

b3

hx

a2

a4

a3

b1

b1

e

a1

hx

a3

hz

a4

hy

a2

b4

b3

b2

から，

S₁a₁＝S₁b₁＝S₁e　＝｛a₁，b₁，e ｝
S₁a₂＝S₁b₄＝S₁h_y＝｛a₂，b₄，h_x｝
S₁a₃＝S₁b₂＝S₁h_x＝｛a₃，b₂，h_z｝
S₁a₄＝S₁b₃＝S₁h_z＝｛a₄，b₃，h_y｝

すなわち，四面体群 G の部分群 S₁ による右剰余類は，

｛a₁，b₁，e｝，｛a₂，b₄，h_x｝，｛a₃，b₂，h_z｝，｛a₄，b₃，h_y｝

となります。これを先に求めた部分群 S₁ による左剰余類[#]，

｛a₁，b₁，e｝，｛a₂，b₃，h_z｝，｛a₃，b₄，h_y｝，｛a₄，b₂，h_x｝

と比べてみると，

であることがわかります。

２．部分群Hによる右剰余類

［１］　次に正四面体群 G の H による右剰余類を考えてみます。下表を参考にして

Ha₁＝Ha₂＝Ha₃＝Ha₄ ＝｛a₁，a₂，a₃，a₄｝＝ A
Hb₁＝Hb₂＝Hb₃＝Hb₄ ＝｛b₁，b₂，b₃，b₄｝＝ B
He ＝Hh_x＝Hh_y＝Hh_z ＝｛ e，h_x，h_y，h_z｝＝ H

となります。この結果を左剰余類と比べてみれば，

このように［右剰余類］＝［左剰余類］を与える部分群H を正規部分群といいます。

［２］　きちんと書いておくと，

群G が可換群の場合，その部分群はすべて正規部分群となることはすぐにわかります。一方，その逆のケースとして，群G の自明な正規部分群である G自身 と 単位元だけからなる集合以外に正規部分群を持たないような群もあります。このような群を単純群と言います。ここで調べた正四面体群は２つのタイプの中間にあるわけです。

３．商群

［１］　正規部分群による剰余類，A，B，H は集合ですが，この集合を元とする集合，つまり，集合の集合を考えることで新しい群を構成することができます。このようなことは正規部分群ではない部分群，S₁，S2 にはない性質です。具体的には，

A＝｛a₁，a₂，a₃，a₄ ｝
B＝｛b₁，b₂，b₃，b₄ ｝
H＝｛ e，h_x，h_y，h_z ｝

と置き，集合 A，B，H を元とする集合 ｛A，B，H ｝ を考えるわけです。この元（＝集合）どうしの演算 * として，

H*B＝｛hB | h∈H ｝　　　　　　　　　　　　　　hB の定義はこちら

のように定義します。ここで hB（4×4＝16通りある）は必ず，b₁，b₂，b₃，b₄ のどれかに等しくなるので，

H*B＝｛b₁，b₂，b₃，b₄ ｝＝B

とすることができます。 これは，代表元を用いた記法では，ｅH*b₁H ＝ eb₁H ＝b₁H と書けます。

同様に，

A*H ＝ H*A ＝ A，　　　　       （ a₁H*eH ＝ eH*a₁H ＝ a₁H ＝ ea₁H ）
B*H ＝ H*B ＝ B，              （ b₁H*eH ＝ eH*b₁H ＝ b₁H ＝ eb₁H ）
H*H ＝ H                           （ eH*eH ＝ eH ＝e･eH ）

とできることもわかります。さらに同じ規則のもとで，

A*B ＝ B*A ＝ H　　　　　　　　　（ a₁H*b₁H ＝ b₁H*a₁H ＝ eH ＝ a₁b₁H ）
A*A ＝ B                             （ a₁H*a₁H ＝ b₁H ＝ a₁a₁H ）
B*B ＝ A                             （ b₁H*b₁H ＝ a₁H ＝ b₁b₁H ）

とすべての元どおしに合理的な演算となっています。  （ もちろん，Ｂ＝A^-1 となっている）

この演算規則は代表元を用いた書き方を用いれば，

xH * yH ＝ xyH　　［ 同値類どおしの演算 * の定義 ］

と定義することになります。

［２］　したがって，集合の集合 ｛H，A，B ｝ は演算 * のもとで群をなし，左下の群表のようになります。

この群を商群 G／H と言います。ここで，H が商群の ”単位元” であることに注意してください。まとめると，

「 正規部分群 H による左剰余類と右剰余類は一致し，その剰余類は商群をなし，H がその単位元となります。」

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以下とりこぼし，

組成列：

正四面体群 G は交代群 A₄ と同じ群ですが，これがS₄の正規部分群であることは，

sgn（g･A₄･g-1）＝sgn（A₄）sgn（g）sgn（g-1）＝+1，　g∈G　⇒　g･A₄･g-1∈S₄

からわかります。また，H は今示したようにA₄の正規部分群で，さらに N＝｛e，h_x｝ が H の正規部分群，｛e｝がNの正規部分群なので，結局，

S₄ ⊃ A₄ ⊃ H ⊃ N ⊃ ｛e｝

というような包含関係が存在し，位数は24，12，4，2，1なのでこれらの中間に他の部分群は存在しません。さらに，商群，

S₄ / A₄ ， A₄ / H， H / N， N / ｛e｝

は位数2，3，2，2の巡回群で，これらは単純群です。このような 「 G から｛e｝への正規部分群の系列 」 を組成列と言います。

正四面体群(＝A4)の正規部分群Hの正規部分群N_x＝{e，h_x}による類別，および，商群は，M＝{h_y，h_z} として，

X･Y e hx hy hz e e hx hy hz hx hx e hz hy hy hy hz e hx hz hz hy hx e

⇔

X･Y N M N N M M M N

部分群S1による左右の類別を考慮して，正四面体群の群表を整理すると下図のようになる。

正規部分群ではないS1によって商群は作られない。