８　正規部分群
f-denshi.com  最終更新日：  04/04/18

　前章では群に同値関係を導入するに際して、 a を含む左剰余類、aH＝{a・h | h∈H｝を考えましたが、同様に右剰余類、Ha＝{ h・a | h∈H ｝を考えることができます。この二つの剰余類は一般的には一致しません。（S1、S2、･･は一致しません。）この２つが一致するかしないかは、可換群と非可換群の中間にある群の分類や特徴付けに利用されます。

1．部分群S1による右剰余類

［１］　左剰余類別と同様に、正四面体群 G の S1 ＝｛e、a1、b1｝による右剰余類、S1x＝{s・x | x∈S1｝ を求めましょう。
　　正四面体群表から抜き出した下の表：

X･Y e a1 b1 a2 b2 a3 b3 a4 b4 hx hy hz
e e a1 b1 a2 b2 a3 b3 a4 b4 hx hy hz
a1 a1 b1 e b4 hz b2 hy b3 hx a2 a4 a3
b1 b1 e a1 hx a3 hz a4 hy a2 b4 b3 b2

から、

S1a1＝S1b1＝S1e　＝｛a1、b1、e ｝
S1a2＝S1b4＝S1hy＝｛a2、b4、hx｝
S1a3＝S1b2＝S1hx＝｛a3、b2、hz｝
S1a4＝S1b3＝S1hz＝｛a4、b3、hy｝

すなわち、四面体群 G の部分群 S1 による右剰余類は、

｛a1、b1、e｝、｛a2、b4、hx｝、｛a3、b2、hz｝、｛a4、b3、hy｝

となります。これを先に求めた部分群 S1 による左剰余類[#]、

｛a1、b1、e｝、｛a2、b3、hz｝、｛a3、b4、hy｝、｛a4、b2、hx｝

と比べてみると、

群 G の部分群 S1 による類別は、［右剰余類］　≠　［左剰余類］

であることがわかります。

２．部分群Hによる右剰余類

［１］　次に正四面体群 G の H による右剰余類を考えてみます。下表を参考にして

X･Y a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 e hx hy hz
e a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 e hx hy hz
hx a4 a3 a2 a1 b2 b1 b4 b3 hx e hz hy
hy a3 a4 a1 a2 b4 b3 b2 b1 hy hz e hx
hz a2 a1 a4 a3 b3 b4 b1 b2 hz hy hx e
　正四面体群表の抜粋
Ha1＝Ha2＝Ha3＝Ha4 ＝｛a1、a2、a3、a4｝＝ A
Hb1＝Hb2＝Hb3＝Hb4 ＝｛b1、b2、b3、b4｝＝ B
He ＝Hhx＝Hhy＝Hhz ＝｛ e、hx、hy、hz｝＝ H

となります。この結果を左剰余類と比べてみれば、

群 G の部分群 H による類別は、［右剰余類］　＝　［左剰余類］

このようなことが成り立つ部分群、H を正規部分群といいます。

［２］　きちんと書いておくと、

定義

部分群 H がすべての元  g∈G に対して、

（１）　gH ＝ Hg

がなりたつ部分群 H を正規部分群という。  または、

        （２）　gHg-1 ⊂ H　

と定義しても同じ。

群G が可換群の場合、その部分群はすべて正規部分群となることはすぐにわかります。一方、その逆のケースとして、群G の自明な正規部分群である G自身 と 単位元だけからなる集合 ｛e｝ 以外に正規部分群を持たないような群もあります。このような群を単純群と言います。正規部分群の具体的な例についてはAppendixにまとめました。

３．商群

［１］　正規部分群による剰余類、A、B、H は集合ですが、この集合を元とする集合、つまり、集合の集合を考えることで新しい群を構成することができます。このようなことは正規部分群ではない部分群、S1、S2 にはない性質です。具体的には、

A＝｛a1、a2、a3、a4 ｝
B＝｛b1、b2、b3、b4 ｝
H＝｛ e、hx、hy、hz ｝

と置き、集合 A、B、H を元とする集合 ｛A、B、H ｝ を考えるわけです。この元（＝集合）どうしの演算 * として、

H*B＝｛hB | h∈H ｝　　　　　　　　　　　　　　hB の定義はこちら

のように定義します。ここで hB（4×4＝16通りある）は必ず、b1、b2、b3、b4 のどれかに等しくなるので、

H*B＝｛b1、b2、b3、b4 ｝＝B

とすることができます。 これは、代表元を用いた記法では、ｅH*b1H ＝ eb1H ＝b1H と書けます。

同様に、

A*H ＝ H*A ＝ A、　　　　       （ a1H*eH ＝ eH*a1H ＝ a1H ＝ e･a1H ）
B*H ＝ H*B ＝ B、              （ b1H*eH ＝ eH*b1H ＝ b1H ＝ e･b1H ）
H*H ＝ H                           （ eH*eH ＝ eH ＝e･eH ）

とできることもわかります。さらに同じ規則のもとで、

A*B ＝ B*A ＝ H　　　　　　　　　（ a1H*b1H ＝ b1H*a1H ＝ eH ＝ a1･b1H ）
A*A ＝ B                             （ a1H*a1H ＝ b1H ＝ a1a1H ）
B*B ＝ A                             （ b1H*b1H ＝ a1H ＝ b1b1H ）

とすべての元どおしに合理的な演算となっています。  （ もちろん、Ｂ＝A-1 ）

この演算規則は代表元を用いた書き方を用いれば、

xH * yH ＝ x･yH　　［ 同値類どおしの演算 * の定義 ］

と定義することになります。

［２］　したがって、集合の集合 ｛A、B、H ｝ は演算 * のもとで群をなし、下の群表のようになります。

Ｘ*Ｙ A B H
A B H A
B H A B
H A B H
商群 G／H

この群を商群 G／H と言います。ここで、H が商群の ”単位元” であることに注意してください。まとめると、

「 正規部分群 H による左剰余類と右剰余類は一致し、その剰余類は商群をなし、H がその単位元となります。」

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組成列：

正四面体群 G は交代群 A4 と同じ群ですが、これがS4の正規部分群であることは、

sgn（g･A4･g-1）＝sgn（A4）sgn（g）sgn（g-1）＝+1、　g∈G　⇒　g･A4･g-1∈S4

からわかります。また、H は今示したようにA4の正規部分群で、さらに K＝｛e、hx｝ が H の正規部分群、｛e｝がKに正規部分群なので、結局、

S4 ⊃ A4 ⊃ H ⊃ K ⊃ ｛e｝

というような包含関係が存在し、位数は24、12、4、2、1なのでこれらの中間に他の部分群は存在しません。さらに、商群、

S4 / A4 、 A4 / H、 H / K、 K / ｛e｝

は位数2、3、2、2の巡回群で、これらは単純群です。このような 「 G から｛e｝への正規部分群の系列 」 を組成列と言います。