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９ 共役類 | |
| f-denshi.com 最終更新日： 04/03/05 | ||
急ぐ方はこの章を飛ばしてください
前章では，右剰余類，左剰余類を求めてから商群を構成しましたが，ここでは別の角度からこの問題について考えてみましょう。
［１］ ５章で，群 G ＝｛e，g1，g2，･･･，gn ｝が集合 M （M≠G） に働くことについて述べましたが，ここでは，G 自身への働き，つまり，M ＝ G の場合について考えましょう。この場合の働きとは合成写像を作ることに相当します。その”働き方”は自由に考え出す（定義する）こともできますが，群論において重要なのは両側からの働きと呼ばれるもので， g，h∈G について
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のように働き方（写像と定義域&値域）を定義します。（写像の合成を意味する記号 ･ は省略可ですが，ここではわかりやすいように省略していません。）これがなぜ重要かというと，
「 g と h が可換ならば g（h） は恒等写像になる。」
からです。つまり，元の可換性を調べるにこれが活躍するのです。
［２］ 他にも働きには，
G の左からの働き ： g（h）＝g･h G の右からの働き ： g（h）＝h･g
などが使われます。上の例が「働き」であることを定義 [#] に従って確かめて見ましょう。「左からの働き」については，g1，g2，h，e∈G として，g2（h）＝g2･h に注意して，
（1） g1（g2（h））＝g1（g2･h）＝g1･｛g2･h｝＝｛g1･g2｝･h＝g1･g2（h）
（2） e（g）＝e･g＝g
となり，働きの２つの条件を満たしています。「右･･」，「両側・・」についても同じように計算してみせることができます。
（５章での働きの定義が抽象的なのはこういう事情があったのです
［３］ 「 G の両側からの働き」 が重要なのは可換性に関わっており，これは共役という概念が使われます。
群 G の G上への両側から働き，すなわち，G から G への写像：g（h） ＝ ghg-1 ∈ Gを考える。このとき， （１） ある固定した h∈G に対して定まる次のような G の部分集合 C（h）： を 「h を含む 共役類」という。 （２） また，a に対して，ある g∈G が存在して， a＝ghg-1 ，g∈G と表せるとき，a は h と 共役 という。 |
最後のところ，別の言い方をすると，
「 a が h に共役ならば，集合リスト：｛ehe，g1hg1-1，g2hg2-1，･･･，gnhgn-1 ｝ の中に a と等しいものを見い出せる。」
ということです。
もうひとつ重要なことは，どういうときに C（h）⊂G，（ C（h）≠G ） となるかというと，リストの中に重複が起こるときと h と可換な元があるときの２つの場合です。つまり，
（A） g1hg1-1 ＝ g2hg2-1 （ 重複が存在 ）
（B） g2hg2-1 ＝ g2g2-1h ＝ h （ h と可換な元 ）
などとなるとき，C（h）の大きさ（位数）はその分小さくなってしまします。
［４］ また，
（１）共役は同値関係である[#]
（２）共役類とはh を含む G-軌道 の ”一つ” である[#]
ことに注意して下さい。このことから a と b が共役ならば，これらは同じ共役類に属しているわけです。そして，「 共役類によって，群 G は共通部分のない部分集合に分割 」 されます。
［５］ 正四面体回転群の例を調べて見ると，共役類は４つあり，
A＝｛a1，a2，a3，a4｝
B＝｛b1，b2，b3，b4｝
H＝｛ hx，hy，hz｝
E＝｛e｝
例えば，C（a2）≡｛ ga2g-1｜ g∈P4 ｝＝A はG の群表[#]を見ながら下の表を作れば明らかです。
| g＝ | e | a1 | b1 | a2 | b2 | a3 | b3 | a4 | b4 | hx | hy | hz |
| g･a2＝ | a2 | b4 | hx | b2 | e | b1 | hy | b3 | hz | a3 | a4 | a1 |
| g-1＝ | e | b1 | a1 | b2 | a2 | b3 | a3 | b4 | a4 | hx | hy | hz |
| g･a2･g-1＝ | a2 | a3 | a4 | a2 | a2 | a4 | a1 | a1 | a3 | a4 | a1 | a3 |
例えば，a1は，
a1＝g･a2･g-1 ； g ＝ hy ，b3，または，a4 ← 重複して存在
となることを確かめることができます。