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９ 共役類 | |
| f-denshi.com 最終更新日： 04/03/05 | ||
急ぐ方はこの章を飛ばしてください
前章では、右剰余類、左剰余類を求めてから商群を構成しましたが、ここでは別の角度からこの問題について考えてみましょう。
［１］ ５章で、群 G ＝｛e、g1、g2、･･･、gn ｝が集合 M （M≠G） に働くことについて述べましたが、ここでは、G 自身への働き、つまり、M ＝ G の場合について考えましょう。この場合の働きとは合成写像を作ることに相当します。その”働き方”は自由に考え出す（定義する）こともできますが、群論において重要なのは両側からの働きと呼ばれるもので、 g、h∈G について
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のように働き方（写像と定義域&値域）を定義します。（写像の合成記号 ･ は省略可ですが、ここではわかりやすいように省略していません。）これがなぜ重要かというと、
「 g と h が可換ならば g（h） は恒等写像になる。」
からです。つまり、元の可換性を調べるにこれが活躍するのです。
［２］ 他にも働きには、
G の左からの働き ： g（h）＝g･h G の右からの働き ： g（h）＝h･g
などが使われます。上の例が「働き」であることを定義 [#] に従って確かめて見ましょう。「左からの働き」については、g1、g2、h、e∈G として、g2（h）＝g2･h に注意して、
（1） g1（g2（h））＝g1（g2･h）＝g1･｛g2･h｝＝｛g1･g2｝･h＝g1･g2（h）
（2） e（g）＝e･g＝g
となり、働きの２つの条件を満たしています。「右･･」、「両側・・」についても同じように計算してみせることができます。
（５章での働きの定義が抽象的なのはこういう事情があったのです
［３］ 「 G の両側からの働き」 が重要なのは可換性に関わっており、これは共役という概念が使われます。
群 G の G上への両側から働き、すなわち、G から G への写像：g（h） ＝ ghg-1 ∈ Gを考える。このとき、 （１） ある固定した h∈G に対して定まる次のような G の部分集合 C（ｈ）： を 「h を含む 共役類」という。 （２） また、a に対して、ある g∈G が存在して、 a＝ghg-1 、g∈G と表せるとき、a は h と 共役 という。 |
最後のところ、別の言い方をすると、
「 a が h に共役ならば、集合リスト：｛ehe、g1hg1-1、g2hg2-1、･･･、gnhgn-1 ｝ の中に a と等しいものを見い出せる。」
ということです。
もうひとつ重要なことは、どういうときに C（ｈ）⊂G、（ C（ｈ）≠G ） となるかというと、リストの中に重複が起こるときと h と可換な元があるときの２つの場合です。つまり、
（A） g1hg1-1 ＝ g2hg2-1 （ 重複が存在 ）
（B） g2hg2-1 ＝ g2g2-1h ＝ h （ h と可換な元 ）
となるとき、C（h）の大きさ（位数）はその分小さくなってしまします。
［４］ また、
（１）共役は同値関係である[#]
（２）共役類とはh を含む G-軌道 の ”一つ” である[#]
ことに注意して下さい。このことから a と b が共役ならば、これらは同じ共役類に属しているわけです。そして、「 共役類によって、群 G は共通部分のない部分集合に分割 」 されます。
［５］ 正四面体回転群の例を調べて見ると、共役類は３つあり、
A＝｛a1、a2、a3、a4｝
B＝｛b1、b2、b3、b4｝
Ｈ＝｛ e、hx、hy、hz｝
例えば、C（a2）＝A はG の群表[#]を見ながら下の表を作れば明らかです。
| g＝ | e | a1 | b1 | a2 | b2 | a3 | b3 | a4 | b4 | hx | hy | hz |
| g･a2＝ | a2 | b4 | hx | b2 | e | b1 | hy | b3 | hz | a3 | a4 | a1 |
| g-1＝ | e | b1 | a1 | b2 | a2 | b3 | a3 | b4 | a4 | hx | hy | hz |
| g･a2･g-1＝ | a2 | a3 | a4 | a2 | a2 | a4 | a1 | a1 | a3 | a4 | a1 | a3 |
例えば、a1は、
a1＝g･a2･g-1 ； g ＝ hy 、b3、または、a4
となることを確かめることができます。
ここで、この共役類、A、B、H は前章で求めた商群 G/H の元（＝集合 ） であることにも注意してください。