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7-1 押し出し･引き戻し | |
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［１］ 同次元の多様体 M から N への C∞級微分同相写像をφとし，M上のベクトル場を X とする。このとき，
(φ*X)φ(p) ≡ (dφ)p(Xp) ＝Xφ(p) (＝Xq) (∀p∈M) ・・・(1)
によって定義されるN上のベクトル場を X の押し出しと呼び，φ*X と表す。
一方，N から R への C∞級関数 f に対して定義される
(φ*f)(p)≡f(φ(p))＝fοφ(p) (∀p∈M) ・・・(2)
φ*f ≡ fοφ
を f のφによる引き戻しと呼び，φ*f と表します。ここで，φはMからNへの写像で，引き戻しによって，N上の関数がM上の関数に変換されています。
さらに，Nの1次微分形式ωに対して，Mの１次微分形式，
φ*ω(Xp)≡ωφ(p)( (dφ)p(Xp) )
＝(ωφ(p)ο(dφ)p)(Xp) (∀Xp∈TM(M)) ・・・(3)
φ*ω ≡ ωφ(p)ο(dφ)p
をωのφによる引き戻しと呼び，φ*ω ( ＝{ ωφ(p)ο(dφ)p}p∈M ) と表します。
［２］ 多様体上の接空間，余接空間，ベクトル場，微分形式，押し出し，引き戻しを下図にまとめました。
引き戻しφ* は微分同相写像
［３］ XをM上のベクトル場，φを Mから Nへの写像，f を N上の関数として，
X(φ*f)＝φ*((φ*X)(f)) ・・・(4) |
左辺： 関数 f をMに引き戻して Xを作用させる
⇔ 右辺： N へ押し出したX を f 作用させてから，それをMに引き戻す
証明
(Xf)(p)＝Xp(f) を用いて，
左辺 (p)＝(X(φ*f))(p)
↓ (Xh)(p)＝Xp(h) h≡φ*f
＝Xp(φ*f)
↓ (2)を用いて(φ*f)＝f oφ
＝Xp(f oφ)
＝(d(f oφ))p(Xp)
＝(df)φ(p) o(dφ)p(Xp)
↓ (dφ)p(Xp)＝Xφ(p)＝Xq ，q＝φ(p)
＝(df)q(Xq)
＝Xq(f)
＝((dφ)p(Xp)) (f) ⇔ Xq(f)
↓ (1)押し出しを用いて
＝(φ*X)φ(p)(f)
↓ Xp(f)＝(Xf)(p) X→(φ*X)，p→φ(p)とみなす
＝((φ*X)(f)) (φ(p))
↓ 引き戻しを用いて，((φ*X)(f))を(2)の f とみなす
＝(φ*((φ*X)(f)))(p)
＝右辺 (p)
［４］
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（１） (ψoφ)*ω ＝ φ*(ψ*ω) （２） φ*( （３） φ*(df) ＝ d(φ*f) |
(3) N上の関数 f の全微分(df) を M上に引き戻す
⇔ N上の関数 f を引き戻し関数の全微分をとる
次ページで述べる外微分と同一視すれば，外微分 d と引き戻し * は可換と考えてもよい。 ⇒ [#]
証明
(1) (3) 繰り返し用いて，
((ψoφ)*ω)(Xp) ＝(ω(ψοφ)(p)οd(ψοφ)p )(Xp)
＝(ω(ψοφ)(p)ο((dψ)φ(p)ο(dφ)p )) (Xp)
＝((ω(ψοφ)(p)ο(dψ)φ(p))ο(dφ)p )(Xp)
＝(ψ*ω)φ(p)ο(dφ)p (Xp)
＝φ*(ψ*ω) (Xp)
(2) fk をC∞級関数，ωをC∞級1次微分形式とすると
φ*(ｆｋωk)(Xp)
↓ 冒頭の(3) 式より
＝(
＝
↓ (2) & (3) より
＝
(3) (3)より
(df)φ(p)((dφ)p(Xp))＝(φ*(df)p)(Xp)
一方，合成写像の微分の公式 [#] を用いて，
(df)φ(p)((dφ)p(Xp))＝(d(fοφ))p(Xp)＝(d(φ*f)p)(Xp)
［１］ 局所座標表示
m次元多様体 M の座標近傍を (U；x1，x2，…，xm)，n次元多様体 N の座標近傍を (V；y1，y2，…，yn) とし，M から N への C∞級写像をφ，φ(U)⊂V とします。また，φの局所座標表示が
y1 ＝ φ1(x1，x2，…，xm)
…
yｊ ＝ φj(x1，x2，…，xm) ・・・・ [*]
…
yn ＝φn (x1，x2，…，xm)
で与えられるとします。
このとき，N上の1次微分形式の Vの局所座標表示を
ω＝fjdyj (5)
ただし，fj ＝ fj(y1，y2，…，yn)
そのM上への引き戻しのUの局所座標表示を
φ*ω＝gkdxk (6)
とするとき，fj と gk との関係を求めましょう。
(5) を引き戻すと，公式２-（２）より，
φ*ω＝
ただし，φ*fj ＝ fj(φ1(x1，x2，…，xm)，…，φn (x1，x2，…，xm))
ここで，公式２-（３）より，
φ*(dyj)＝d(φ*yj)＝dφj(x1，x2，…，xm)＝ ∂φj dxk ∂xk
と書き直せるので，
φ*ω＝
＝ (φ*fj) ∂φj dxk （ ＝ ∂xk
すなわち，
gk＝ (φ*fj) ∂φj ∂xk
これがN上の1次微分形式 ω＝fjdyj をφで引き戻したときの M上の局所座標表示です。
例
n=2，m=3 の場合
ω＝f1(y1,y2)dy1＋f2(y1,y2)dy2
y1 ＝ φ1(x1，x2，x3) ，y2 ＝ φ2(x1，x2，x3)
をφで引き戻すと，
φ*ω＝f1(φ1(x1,x2,x3)，φ2(x1,x2,x3)) dφ1(x1,x2,x3)
＋f2(φ1(x1,x2,x3)，φ2(x1,x2,x3)) dφ2(x1,x2,x3)
＝F1 ∂φ1 dx1＋ ∂φ1 dx2＋ ∂φ1 dx3 ∂x1 ∂x2 ∂x3
＋F2 ∂φ2 dx1＋ ∂φ2 dx2＋ ∂φ2 dx3 ∂x1 ∂x2 ∂x3
＝ F1 ∂φ1 ＋F2 ∂φ2 dx1＋ F1 ∂φ1 ＋F2 ∂φ2 dx2 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2
＋ F1 ∂φ1 ＋F2 ∂φ2 dx3 ∂x3 ∂x3
ただし，F1 ＝ f1(φ1(x1,x2,x3)，φ2(x1,x2,x3))，F2 ＝ f2(φ1(x1,x2,x3)，φ2(x1,x2,x3))
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定義 k次テンソル場の引き戻し M，N を C∞級多様体，φ：M→N を C∞級写像，ωを N上の C∞級 k次テンソル場とするとき，M上の k次テンソル場 φ*ω， (φ*ω)(X1，…，Xk)＝ωφ(p)((dφ)p(X1)，(dφ)p(X2)，…，(dφ)p(Xk)) ； p∈M をωのφによる引き戻しという。 |
ここで，φの微分は
(dφ)p ： Tp(M) →Tφ(p)(N) ( p∈M )
であり， Xj ∈Tp(M) です。
このとき，
(ψoφ)*ω＝φ*(ψ*ω)
が成り立つのは1次微分形式のときと同様です。
例 局所座標での計算
n=2，m=3 の場合のN上の2次微分形式，（各局所座標は本文中と同じ）
ω ＝ ｆ12 dy1Λdy2 (8)
ただし，f12 ＝ f12(y1，y2) ；
y1 ＝ φ1(x1，x2，x3) ，y2 ＝ φ2(x1，x2，x3)
とするとき，φによるωのM上への引き戻しは，
φ*ω＝f12(φ1(x1,x2,x3)，φ2(x1,x2,x3)) dφ1(x1,x2,x3)Λdφ2(x1,x2,x3)
とかける。さらに，
| ＝F12 |  |
∂φ1 | dx1＋ | ∂φ1 | dx2 | ∂φ1 | dx3 |  |
Λ | |
∂φ2 | dx1＋ | ∂φ2 | dx2 | ∂φ2 | dx3 | |
|||||||
| ∂x1 | ∂x2 | ∂x3 | ∂x1 | ∂x2 | ∂x3 |
| ＝F12 | |
∂φ1 | ∂φ2 | − | ∂φ1 | ∂φ2 | |
dx1Λdx2 | |||||
| ∂x1 | ∂x2 | ∂x2 | ∂x1 |
| ＋F12 | |
∂φ1 | ∂φ2 | − | ∂φ1 | ∂φ2 | |
dx2Λdx3 | |||||
| ∂x2 | ∂x3 | ∂x3 | ∂x2 |
| ＋F12 | |
∂φ1 | ∂φ2 | − | ∂φ1 | ∂φ2 | |
dx1Λdx3 | ||||||
| ∂x1 | ∂x3 | ∂x3 | ∂x1 |
ただし，F12＝φ*f12(y1，y2) ＝ f12(φ1(x1,x2,x3)，φ2(x1,x2,x3))
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公式 M，N をC∞級多様体，φ： M→N を C∞級写像，ω，ηを N上の微分形式とするとき， φ*(ηΛω)＝(φ*η)Λ(φ*ω) |
証明 略
ｆjωj) ＝