7-2　外微分
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１．　括弧積

ベクトル場を微分作用素とみれば，続けて微分を行う作用としてベクトル場どおしの積を考えることができます。

括弧積の定義

[X,Y]＝XY−YX
[X,Y]f＝X(Y(f))−Y(X(f))

ただし，ベクトル場を微分作用素とみて，

X＝ χj ∂ 　　　　　　･･･　　(1)
∂xj
Y＝ ηk ∂ 　　　　　･･･　　(2)
∂xk

とすると，

Y(f)＝ ηk ∂f 　　
∂xk
X(Y(f))＝ χj ∂ ηk ∂f 　　
∂xj ∂xk
　　　　＝ χj ∂ηk ∂f ＋χjηk ∂2f
∂xj ∂xk ∂xj∂xk

同様に

Y(X(f))＝ ηk ∂χj ∂f ＋χjηk ∂2f
∂xk ∂xj ∂xk∂xj

これら2式の差をとると，f がC∞級関数なので2階微分の項はキャンセルされて消え，さらに第１項の添え字（ダミー)を交換して付け換えると，

X(Y(f))−Y(X(f))＝ χk ∂ηj ∂f − ηk ∂χj ∂f
∂xk ∂xj ∂xk ∂xj
　　　　　　　　　＝ χk ∂ηj −ηk ∂χj ∂f
∂xk ∂xk ∂xj

微分作用素の部分だけを取り出せば，

[X,Y] ＝ χk ∂ηj −ηk ∂χj ∂
∂xk ∂xk ∂xj

ということです。まとめておくと，

定義

X，Y を M上の C∞級ベクトル場とするとき，かっこ積 [X，Y]　を任意の f ∈C∞(M) に対して，

[X，Y] f ≡ X（Y(f))−Y(X(f))

を満たす M上の C∞級ベクトル場として定義する。ベクトル場を微分作用素の場と考えた場合は，

X＝ χj ∂ 　，　 Y＝ ηk ∂
∂xj ∂xk

とすると，

[X,Y] ＝ χk ∂ηj −ηk ∂χj ∂
∂xk ∂xk ∂xj


定義：　　

公式１

（１）　[X,Y]＝[Y,X]
（２）　[X＋Z,Y]＝[X,Y]＋[Z,Y]
（３）　[X,Y＋Z]＝[X,Y]＋[X,Z]
（４）　[[X,Y],Z]＋[[Y,Z],X]＋[[Z,X],Y]＝0　　　　　　[ヤコビ恒等式］
（５）　[fX，gY]＝fg[X,Y]＋f(Xg)Y−g(Yf)X
（６）　[aX，bY]＝ab[X,Y]

ただし，

X,Y,Z ∈X(M)，　a,b∈R，　f,g∈C∞(M)
多様体 M上の C∞級のベクトル場全体の集合を X(M) とする。

証明　　　略

公式２　　かっこ積の引き戻し

任意の X，Y ∈X　(M上のベクトル場全体からなる集合)　について，

φ*([X，Y])　＝　[φ*X，φ*Y]

証明

φ*(φ*([X，Y])(f))
                      ↓ (4)　←前ページ公式１
            ＝[X，Y](φ*f)
 　　　　　＝X (Y(φ*f))−Y(X(φ*f))
                      ↓ (4)→　前ページ公式１
　　　　　＝X (φ*( (φ*Y)(f) ))−Y (φ*( (φ*X)(f) ))
　　　　　　　　　　↓　(4)→　前ページ公式１
　　　　　＝φ*((φ*X) ((φ*Y)(f)) )−φ*((φ*Y) ((φ*X)(f)))　

　　　　　＝φ*((φ*X)((φ*Y)(f))−(φ*Y)((φ*X)(f)) )

　　　　　＝φ*([(φ*X)，(φ*Y)] (f))

最初と最後を比較すれば，公式が成り立っていることが分かる。


前ページから再掲


公式１

X(φ*f)＝φ*((φ*X)(f))　　　　　　　　　　　　　　　　・・・(4)





２．外微分

［１］

以下，多様体はすべてm次元のC∞級多様体とします。

局所座標系を用いた外部分の定義

定義

多様体 M上の座標近傍 ( U，x1,x2,…,xm ) 上のｋ次微分形式の局所座標表示を

ω＝
Σ
s1<s2<…<sk
　fs1s2…sk　dxs1Λdxs2Λ…Λdxsk　

とするとき，次のｋ＋1次形式 dωへの対応，

dω≡
Σ
s1<s2<…<sk
dfs1s2…skΛdxs1Λdxs2Λ…Λdxsk　

をωの外微分という。ただし，

　fs1s2…sk＝　fs1s2…sk (x1,x2,…,xm )


ωに対してdωは一意的に定まります。

Σ
s1<s2<…<sk

の意味は下の具体例を参考にして下さい。

［２］

例

3次元多様体の1次微分形式，

ω＝
Σ
s1
fs1dxs1
　　＝f1(x1,x2,x3)dx1＋f2(x1,x2,x3)dx2＋f3(x1,x2,x3)dx3

に対して，

dω＝
Σ
s1
dfs1Λdxs1
　　　＝df1Λdx1＋df2Λdx2＋df3Λdx3
　　＝ ∂f1 dx1＋ ∂f1 dx2＋ ∂f1 dx3 Λdx1
∂x1 ∂x2 ∂x3
　　　　＋ ∂f2 dx1＋ ∂f2 dx2＋ ∂f2 dx3 Λdx2
∂x1 ∂x2 ∂x3
　　　　　　＋ ∂f3 dx1＋ ∂f3 dx2＋ ∂f3 dx3 Λdx3
∂x1 ∂x2 ∂x3
　　＝ ∂f2 − ∂f1 dx1Λdx2
∂x1 ∂x2
　　　　＋ ∂f3 − ∂f2 dx2Λdx3
∂x2 ∂x3
　　　　　　＋ ∂f3 − ∂f1 dx1Λdx3
∂x1 ∂x3

例

3次元多様体の２次微分形式，

　ω＝
Σ
s1<s2
　fs1s2　dxs1Λdxs2

　　＝f12(x1,x2,x3)dx1Λdx2＋f23(x1,x2,x3)dx2Λdx3＋f13(x1,x2,x3)dx1Λdx3

に対して，

　dω≡
Σ
s1<s2
dfs1s2Λdxs1Λdxs2

　　　＝df12Λdx1Λdx2＋df23Λdx2Λdx3＋df13Λdx1Λdx3

＝ ∂f12 dx1＋ ∂f12 dx2＋ ∂f12 dx3 Λdx1Λdx2
∂x1 ∂x2 ∂x3
　　＋ ∂f23 dx1＋ ∂f23 dx2＋ ∂f23 dx3 Λdx2Λdx3
∂x1 ∂x2 ∂x3
　　　　＋ ∂f13 dx1＋ ∂f13 dx2＋ ∂f13 dx3 Λdx1Λdx3
∂x1 ∂x2 ∂x3
＝ ∂f12 dx3Λdx1Λdx2
∂x3
　　＋ ∂f23 dx1Λdx2Λdx3
∂x1
　　　　＋ ∂f13 dx2Λdx1Λdx3
∂x2
＝ ∂f12 ＋ ∂f23 − ∂f13 dx1Λdx2Λdx3
∂x3 ∂x1 ∂x2
＝ ∂f12 ＋ ∂f23 ＋ ∂f31 dx1Λdx2Λdx3
∂x3 ∂x1 ∂x2
(　ωの定義を

　･･･＋f13(x1,x2,x3)dx1Λdx3　　→　･･･＋f31(x1,x2,x3)dx3Λdx1　

と変更すれば，f13＝−f31　としてよい。)


［３］

定理１

ωをｋ次形式とするとき，Xj ∈X(M) に対して，
dω(X1，X2，…，Xk+1)
　　＝(-1)s+1Xs ω( X1，X2，…，Xs，…，Xk+1)
　　　　＋(-1)s+t ω( [Xs，Xt]，X1，X2，…，Xs，…，Xt，…，Xk+1 )
ただし，Xs，Xt　はそれを取り除くという意味。

［４］

具体的には，

(1)　dω(X1，X2)＝X1(ω(X2))−X2(ω(X1))−ω([ X1，X2])
(2)　dω(X1，X2，X3)＝X1(ω(X2，X3))−X2(ω(X1，X3))＋X3(ω(X1，X2))
　　　　　　　　　　　　　−ω([ X1，X2]，X3)＋ω([ X1，X3]，X2)−ω([ X2，X3]，X1)

など。

(1) について，２次元多様体Mの１次形式の場合

ω＝f1dx1＋f2dx2

について具体的な計算をしてみると，

dω＝ ∂f2 − ∂f1 dx1Λdx2
∂x1 ∂x2

および，

X1＝ χ1 ∂ ＋χ2 ∂ ，　 X2＝ η1 ∂ ＋η2 ∂
∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2
dx1Λdx2(X1，X2)＝ dx1(X1) dx1(X2) ＝ χ1 η1 ＝χ1η2−χ2η1
dx2(X1) dx2(X2) χ2 η2

として左辺は，

dω(X1，X2)＝ ∂f2 − ∂f1 dx1Λdx2 (X1，X2)
∂x1 ∂x2
　　　　　　　＝ ∂f2 − ∂f1 (χ1η2−χ2η1)　　・・・・(*)
∂x1 ∂x2

途中で，

(dxj) ∂ ＝δj k　
∂xk

を利用した。

［５］

次に右辺を計算する。

ω(X2)＝(f1dx1＋f2dx2) η1 ∂ ＋η2 ∂ ＝　f1η1＋f2η2
∂x1 ∂x2
ω(X1)＝(f1dx1＋f2dx2) χ1 ∂ ＋χ2 ∂ ＝　f1χ1＋f2χ2
∂x1 ∂x2

であるから，

X1(ω(X2))＝ χ1 ∂ ＋χ2 ∂ (f1η1＋f2η2)
∂x1 ∂x2
　　　　　　　＝χ1f1 ∂η1 ＋χ2f2 ∂η2 ＋χ1η1 ∂f1 ＋χ2η2 ∂f2
∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2
　　　　　　　　＋ χ1f2 ∂η2 ＋χ2f1 ∂η1 ＋χ1η2 ∂f2 ＋χ2η1 ∂f1
∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2

および，

X2(ω(X1))＝ η1 ∂ ＋η2 ∂ (f1χ1＋f2χ2)
∂x1 ∂x2
　　　　　　　＝η1f1 ∂χ1 ＋η2f2 ∂χ2 ＋χ1η1 ∂f1 ＋χ2η2 ∂f2
∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2
　　　　　　　＋ η1f2 ∂χ2 ＋η2f1 ∂χ1 ＋η1χ2 ∂f2 ＋η2χ1 ∂f1
∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2

この２式について，辺々引くと，赤字部分はキャンセルされて，

X1(ω(X2))−X2(ω(X1))

＝ f1 χ1 ∂η1 −η1 ∂χ1   ＋f2 χ2 ∂η2 −η2 ∂χ2
∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2
　　＋f2 χ1 ∂η2 −η1 ∂χ2 ＋f1 χ2 ∂η1 −η2 ∂χ1
∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2
　　＋ (χ1η2−χ2η1) ∂f2 − ∂f1
∂x1 ∂x2

［６］

一方，左辺第３項については，

[X1,X2] ＝ χk ∂ηj −ηk ∂χj ∂
∂xk ∂xk ∂xj
　＝　 χ1 ∂η1 −η1 ∂χ1 ∂ ＋ χ1 ∂η2 −η1 ∂χ2 ∂
∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂x2
　　＋ χ2 ∂η1 −η2 ∂χ1 ∂ ＋ χ2 ∂η2 −η2 ∂χ2 ∂
∂x2 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x2

なので，

ω([X1,X2] ) ＝ (f1dx1＋f2dx2)([X1,X2] )
＝　 f1 χ1 ∂η1 −η1 ∂χ1 ＋f2 χ1 ∂η2 −η1 ∂χ2
∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂x1
　＋ f1 χ2 ∂η1 −η2 ∂χ1 ＋f2 χ2 ∂η2 −η2 ∂χ2
∂x2 ∂x2 ∂x2 ∂x2

よって左辺は，

X1(ω(X2))−X2(ω(X1))−ω([X1,X2] )

　　＝ (χ1η2−χ2η1) ∂f2 − ∂f1
∂x1 ∂x2

となる。　これは右辺の計算結果 (*) と等しい。



［５］

公式３

(1)　ωをk次微分形式，ηをk’次微分形式とすれば，

d(ωΛη)＝(dω)Λη＋(-1)kωΛ(dη)

(２)　ω1，ω2，…，ωn　を1次微分形式とすれば，

d(ω1Λω2Λ…Λωn)　＝　dω1Λω2Λ…Λωn　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　−ω1Λdω2Λ…Λωn　＋　・・・
　　　　　　　　　　　　　　 　　　(-1)n+1ω1Λ ω2Λ…Λdωn

証明

(1)

ω＝f dxs1Λdxs2Λ…Λdxsk
η＝g dxt1Λdxt2Λ…Λdxtk’

とすると，

d(ωΛη)＝d (fg　dxs1Λdxs2Λ…Λdxsk Λ dxt1Λdxt2Λ…Λdxtk’ )
　　　　＝d(fg)Λdxs1Λdxs2Λ…Λdxsk Λ dxt1Λdxt2Λ…Λdxtk’
　　　　＝(df・g＋f・dg)Λdxs1Λdxs2Λ…Λdxsk Λ dxt1Λdxt2Λ…Λdxtk’
　　　　＝(dfΛdxs1Λdxs2Λ…Λdxsk )Λ( g dxt1Λdxt2Λ…Λdxtk’ )
　　　　　＋ (-1)k (f  dxs1Λdxs2Λ…Λdxsk )Λ( dgΛdxt1Λdxt2Λ…Λdxtk’)

　　　　　　　＝(dω）Λη ＋  (-1)kωΛdη

(2)

n=2の場合は(1)の結果で，k＝k’＝1 とすれば直ちに

(dω1）Λω2 ＋  (-1)ω1Λdω2

が分かる。n が一つ増えて3になれば，上式で，ω2→ω2Λω3　と変更すれば，

(dω1）Λω2Λω3 ＋ (-1)ω1Λd(ω2Λω3)
＝(dω1）Λω2Λω3 ＋ (-1)ω1Λ｛　(dω2）Λω3＋ (-1)ω2Λdω3　}
＝(dω1）Λω2Λω3 −ω1Λ(dω2）Λω3 ＋ω1Λω2Λdω3　

となり，公式が成り立つ。一般的に成り立つことは数学的帰納法で示される。


［６］

命題　　

（１）　d(df)＝0
（２）　d(dxj)＝0
（３）　d(dω)＝0

証明

（１）　1次微分形式，

ω＝ fjdxj＝df＝ ∂f dxj　　…　　[*]
∂xj

に対して，

dω＝ dfjΛdxj　＝ ∂fj dxkΛdxj
∂xk
　　＝
Σ
j <k
∂fk − ∂fj dxjΛdxk　
∂xj ∂xk
　　　↓　　[*] を用いる
　　＝
Σ
j <k
∂ ∂f − ∂ ∂f dxjΛdxk　
∂xj ∂xk ∂xk ∂xj
　　＝0　　　　　　　　∵　　f ∈ C∞級関数とする

(2)　　(1) で　f＝xj　と置けばよい。

(3)   一般的なk次形式については，

ω　＝　f dxs1Λdxs2Λ…Λdxsk
dω＝　df Λdxs1Λdxs2Λ…Λdxsk

について，　d(dω)＝0　を示せばよいが，d(dω)はk＋1個の項の和となるが，
どの項にも　d(df)　か　ｄ(dxsj)　の項を含むが，(1)，(2)よりこれらは0である。
よって，d(dω)＝0　である。

［７］

定理２

引き戻しと外微分は可換

d(φ*ω)＝φ*(dω)　　　　　dとφ*とは可換

証明

ω＝
Σ
s1<s2<…<sk
　fs1s2…sk　dys1Λdys2Λ…Λdysk　

とすると，

dω＝
Σ
s1<s2<…<sk
　dfs1s2…skΛdys1Λdys2Λ…Λdysk　

これをφで引き戻すと，

右辺＝

φ*(dω)＝
Σ
s1<s2<…<sk
　φ*dfs1s2…skΛφ*dys1Λφ*dys2Λ…Λφ*dysk　
　　　　　＝
Σ
s1<s2<…<sk
　d(φ*fs1s2…sk)Λd(φ*ys1)Λd(φ*ys2)Λ…Λd(φ*ysk)　

一方，左辺は，

φ*ω＝
Σ
s1<s2<…<sk
　(φ*fs1s2…sk)φ*(dys1Λdys2Λ…Λdysk)　
　　　　　＝
Σ
s1<s2<…<sk
　(φ*fs1s2…sk)(d(φ*ys1)Λd(φ*ys2)Λ…Λd(φ*ysk))　

より，

d(φ*ω)＝
Σ
s1<s2<…<sk
｛　(dφ*fs1s2…sk)Λ(d(φ*ys1)Λd(φ*ys2)Λ…Λd(φ*ysk))　

　　　　　　＝右辺


［９］

定理３

押し出しと外微分は可換

d((φ*X)φ(p))＝(φ*(dX))φ(p)　

証明

定理２と同様に考える　　演習



［10］　　

M上のC∞級k次微分形式全体の集合を Ωk(M) とします。

ω∈Ωk(M)　からその外微分dω∈Ωk+1(M)への対応を，

dk　：　Ωk(M)　→　Ωk+1(M)

とすると，

0 → Ω0(M) → Ω1(M) → ･･･ → Ωm(M) → 0
　　　　　　　　d0　　　　　d1　　　　　　　　　　dm

という系列が存在します。これを ド・ラーム複体 といいます。

            　dk-1       　 dk
Ωk-1(M)　→　Ωk(M)　→　Ωk+1(M)
  η            ω=dk-1η　　　dkω
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　Im dk-1　(完全形式)
　　　　　　　　　⊂ Ker dk (閉形式)

線形写像 dk-1：Ωk-1(M) → Ωk(M)　の任意の像 Im dk-1⊂Ωk(M)　は，線形写像 dk：Ωk(M) → Ωk+1(M)の核 Ker dk ⊂Ωk(M)　に含まれます (← d(dω)＝0より) が，これらの商空間，

Ker dk / Im dk-1

を ド・ラームコホモロジー群 といい，Hk(M)と表します。


ここでは名称だけ覚えておきましょう。


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以下，メモ書き


X ： p → Xp　　X＝｛Xp｝p∈M　M上のベクトル場

Xp(φ)＝(dφ)p(Xp)　　＝Xq∈Tq(N)

dφ：　p → (dφ)p

df ：  q →  (df)q    　　　 (∀q∈N )　　　df＝{ (df)q }q∈M　　

(df)q(Xq) ＝ Xq(f) d f(q) ≡Xq(f) ∈R
dy

ω： 　q → ωq      (∀q∈N )    ω＝｛ωq｝q∈M　N上の1次微分形式

ωq(Xq) ∈R　　　　　ωq ：　Xq → R

ω(X) ： q → ωq(Xq)　　∈R　

(1)　dω(X1，X2)＝X1(ω(X2))−X2(ω(X1))−ω([ X1，X2])


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

X ：　 f 　　　　　→　　　Xf
　　∈C∞(M)　　　　　∈C∞(M)

Xf　：　　q → Xq(f) 　　　　 (∀q∈N )  

(Xf)(p)＝Xp(f)　　　


u (hοf)＝[(df)p(u)] (h)　　　⇔　　X (hοf)＝[(df)p(X)] (h)

(d(g οf))p＝ (dg)f(p) ο (df)p

(df)p-1＝(df-1)f(p)

f X＝｛f(p) Xp｝p∈M            ベクトル場の関数倍