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Appendix 6 位相空間２ 分離公理 |
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［１］ 距離空間とその部分集合について成り立つ共通のエッセンスの一つを「 集合 X と開集合族O 」という形で取り出して位相空間という概念を「設定」しています。その過程では，距離空間で成立する他の性質が除外されたため距離空間ではありえないような性質をもつ空間が位相空間に含まれることが分かっています。
この位相空間と距離空間の隙間の部分は，いくつかの位相に対して付加される分離公理を用いて分類・議論されます。
特に，位相にどの様な条件 (制限) を位相空間に付与すれば距離空間になるのでしょうか。この問題について一つの答えを与えたのがウリゾーンです。その答えは次の定理として知られています。
| 定理 位相空間が可算基をもつ正規空間ならば、これはある距離空間と同相となる。［ウリゾーン］ |
以下，この定理の内容を理解するための必要事項を順に説明していきましょう。
［２］ 分離公理
まず、正規空間の説明です。ふつう分離公理と呼ばれている４つの条件を列挙すると
| （T1） | ∀x，∀y （x≠y） ⇒ y を含まない近傍 N（x）が存在。 ( x と y を交換しても成り立つ → ) |
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| （T2） | ∀x，∀y （x≠y） ⇒ （T1）であって， さらに N（x）∩N（y）＝φが存在。 |
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| （T3） | 交わりのない∀x、閉集合 ∀F ⇒ N（x）∩N（F）＝φ が存在。 |
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| （T4） | 交わりのない閉集合 ∀F1、∀F2 ⇒ N（F1）∩N（F2）＝φ が存在。 |
分離公理に基づく特徴的な位相空間の名称（分類）には以下のものがあります。
フレシエ空間： T1をみたす。 ハウスドルフ空間： T2をみたす。 （自動的にT1もみたす。） 正則空間： T3＆T1をみたす。（自動的にT2もみたす。） 正規空間： T4＆T1をみたす。（自動的にT2，T3もみたす。）
この順に条件が厳しくなり，分離性が強くなっていくように見えます。それほど単純ではありません。
これらの公理だけで定まる位相空間の包含関係を示すと次のとおりです。
［３］ 各空間の簡単な説明です。
T1空間
T1公理を満たす位相空間であれば，
| 命題 位相空間 X が T1空間であれば， （１） x∈X の点集合｛x｝ はすべて閉集合である。(逆も成り立つ) （２） X の有限部分集合はすべて閉集合である。 |
ということがいえます。
例１ X＝{a，b，c} で，離散位相O 1＝β(X) をもつ位相空間(X，β(X))の場合について，
O 1：｛φ，{a}，{b}，{c}，{b,c}，{c,a}，{a,b}，{a,b,c}｝
F 1：｛{a,b,c}，{b,c}，{c,a}，{a,b}，{a}，{b}，{c}，φ｝
より，（１），（２）が成立していることが確認できます。
(一般に離散位相空間はT1空間であり，有限集合では逆も成り立つ。)
T2空間 （ハウスドルフ空間）
T2空間はハウスドルフ空間ともいい，たいへん重要な空間です。
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命題 |
T2を満たせば，自動的にT1も満たしています。
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命題 離散位相をもつ位相空間 (X，β(X)) はハウスドルフ空間である。 |
例２ X＝{ a，b，c } の位相空間 (X，β(X)) について，
aとbについて，
aを含まないbの近傍{b}が存在し，bを含まないaの近傍{a}が存在し，{a}∩{b}＝φ。
aとcについて，
aを含まないcの近傍{c}が存在し，cを含まないaの近傍{a}が存在し，{a}∩{c}＝φ。
bとcについて，
bを含まないcの近傍{c}が存在し，cを含まないbの近傍{b}が存在し，{b}∩{c}＝φ。
とT2公理を確認することができます。
さらに，離散位相をもつ位相空間 (X，β(X)) は，x，y∈X に対して次の離散距離 d0 [#] を見出すことができます。
d0(x,y)＝ 1 (x≠y) 0 （x＝y)
したがって，位相空間 (X，β(X)) は距離を導入することが可能だと分かります。これは，
| 命題 離散位相をもつ位相空間は距離付可能空間である。 |
の具体例です。
例３ 集合を，X＝｛a,b,c｝，位相を O 4＝｛φ，{b}，{a,b}，{b,c}，{a,b,c}｝
とすると，(X，O 4) は位相空間となる。しかし，ハウスドルフ空間ではないことはすぐに確かめられます。
O 4の点 a は b や c と互いに交わらない近傍をもたいないので，(X，O 4)はハウスドルフ空間ではありません。
したがって，(X，O 4) は距離空間ではないことが分かります。
注意
離散距離空間の位相は離散位相でなければならないことも示せるので，O 4の位相をもつ位相空間は離散距離を導入することで距離空間にはできません。離散距離空間 (X，d0) の部分集合がすべて開集合であることは以下のとおり示せます。
O を X の任意の部分集合とします。任意の x∈O について，Vε=1(x)＝{ x } なので，Vε=1(x)⊆O が分かります。なぜなら，Vε=1(x) はxのε-近傍で，x との距離が1より小さい元，すなわちx 自身のみということですから当然 O に属する元です。よって，Xの部分集合は開集合です。開集合の定義 ⇒ [#]
例４ ゾルゲンフライ直線 (R，Os) はハウスドルフ空間である。
証明
R上の２点p，q (p＜q）の基本近傍 (p－1/n，p]，(q－1/m，q] を考えると，これらは開集合で，十分大きなmを考えると，p＜(q－1/m) とできるので，
(p－1/n，p] ∩ (q－1/m，q] ＝φとできる。
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命題 ハウスドルフ空間の任意の点列は，一点に収束する。 |
背理法で証明できます。
ハウスドルフ空間の点列 {xk} が点 p 及び点 q (≠p) の２点 (以上) に収束するならば， p の任意の近傍 N(p) ，q の任意の近傍 N(q) の両方に対してある自然数 n が存在して，k＞n であるすべての k に対して，xk∈N(p) かつ，xk∈N(q) となっている。
これは，ハウスドルフ空間には，N（p）∩N（q）＝φを満たす N(p)，N(p) が存在することに矛盾する。
つまり，ハウスドルフ空間を設定すると，１点に収束する点列の極限を考えることができる（＝微分を考えることができる，必ずしも距離を導入する必要はない）のです。
［５］
T3＆T1空間 （正則空間）
正則空間は，T2も自動的に満たしています。つまり，
正則空間はハウスドルフ空間である。
また，T3を満たすが，T1，T2を満たさないこともあります。⇒ [#]
例１ ゾルゲンフライ直線 (R，Os) は正則空間である。
証明
下図を参考にすれば，(R，Os) の任意の閉集合 A とこれに属さない x に対して，十分小さなεを選べば，
x∈U である開集合 U が存在して，かつ，U の閉包の補集合である開集合 [ U ]c ⊃ A を考えれば，U ∩[ U ]c ＝φとすることができる。
例４ 位相空間(X，O 5) は正則空間である。
O 5：｛φ，{a}，{b,c}，{a,b,c}｝
F 5：｛{a,b,c}，{b,c}，{a}，φ｝
なぜならば，交わりの無いX の任意の点と閉集合に対して次の開集合が存在します。
aと{b,c} に対して， {a}∩{b,c}＝φ
bと{a} に対して， {b,c∩{a}＝φ
cと{a} に対して， {b,c∩{a}＝φ
が存在します。
なお，T3を満たして，T1を満たさない位相空間も存在します。⇒ [#]
例５ 離散位相空間は正則空間である。
［６］
T4&T1空間 （正規空間）
正規空間は自動的にT2もみたしています。
正規空間はハウスドルフ空間である。
また，
正規空間は正則空間である。
位相空間と距離空間の基本的な関係として，
| 命題 距離空間 ⇒ 正規空間 T1＆T4 である （証明は長い） |
があげられます。
「⇒」が「⇔」となるのは，位相空間が第２可算公理 [#] を満たすときであると分かっています。
第２可算公理 ⇒ 距離空間＝正規空間＝正則空間⊂ハウスドルフ空間
例６ ゾルゲンフライ直線 (R，Os) は正規空間である。
証明は正則空間であることを示したときと，同様なので自分でトライしましょう。
なお，T4を満たして，T1を満たさない位相空間も存在します。⇒ [#]
ここまでの説明を図示すると次のようになります。
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⇒ |  |
| 距離空間と正規空間の関係 | 第２可算公理の追加後 |
距離化可能定理のところでもう一度説明します
［７］ 部分空間
各位相空間 X の部分空間への（遺伝的な）性質は，
（１） X が T１空間ならば、X の部分空間 A も T１空間である。
（２） X が T２空間ならば、X の部分空間 A も T２空間である。
（３） X が正則空間ならば、X の部分空間 A も正則空間である。
のとおり引き継がれます。ところが，
（４） T4 空間の部分空間は必ずしもT4 でない
つまり，ここで考えている４タイプの位相空間の中で，実数のイメージに近い空間に近づけるために必要な条件とも考えられる正規空間になると，その部分空間は元々の正規空間の性質を持たないという事態が生じています。つまり，分離性を強めると空間の（いわゆる遺伝的な）性質が悪くなっています。
* ハウスドルフ空間の商空間 [#] がハウスドルフ空間になるとは限らない。
［８］ 直積空間
２つのT1空間の直積空間はt1空間である。
２つのハウスドルフ空間(または正則空間) の直積は，
ハウスドルフ空間(または正則空間) となる。
一方，2つの正規空間の直積は必ずしも再び正規空間にはなりません．
（実平面 R2 の開基は [a,b)×[c,d) で表される集合です。）
まとめ
空間 その部分空間
必ず同じ空間その直積空間
必ず同じ空間T1空間 〇 〇 ハウスドルフ空間 〇 〇 正則空間 〇 〇 正規空間 × ×
× 部分空間が閉集合ならば〇
［９］ コンパクト空間
コンパクトなハウスドルフ空間（T2空間）の性質をあげておくと，
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命題 コンパクトなハウスドルフ空間 X の部分空間を S とすると、S が閉集合であることと
S がコンパクトであることは同値である。 |
ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合は閉集合です。
パラコンパクト＆ハウスドルフ空間 ⇒ 正規空間
局所コンパクト & ハウスドルフ空間 ⇒ 正則空間
| 命題 コンパクト空間 X から ハウスドルフ空間 Y への連続写像 f によって， X の閉集合 F の像 f（F） は閉集合となる。 |
よって，コンパクトでないときは，Xの閉集合が連続写像によって，閉集合ではない集合に写されることもあるわけです。例としては，
X＝[0，∞] （閉集合）
y＝tan-1x （連続関数）
Y＝f(X)＝[0，1) （閉集合でも開集合でもない）
を上げておきましょう。
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定理 コンパクトなハウスドルフ空間 X からコンパクトなハウスドルフ空間 Y への1対1連続写像
f が存在すれば、f-1も連続である。すなわち、X とY は同相となる。 |
［10］ 位相空間をコンパクト空間に制限した場合は，
正規空間＝正則空間＝ハウスドルフ空間
さらに，第２可算公理も満たす場合は，
距離空間＝正規空間＝正則空間＝ハウスドルフ空間
図示すると，
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| コンパクト空間 | コンパクト＆第２可算公理 |
［11］ 有限集合の場合
有限集合の場合，
T1空間 ＝ ハウスドルフ空間 ＝距離空間
となります。
ここまで，有限集合からなる位相空間の例として，用いてきた (X，O k) と分離公理との関係等を一覧で示します。
例 有限集合 X＝{a,b,c} に次の位相O kを入れた位相空間の特徴
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F4 ←N（{c}）∩N（{b}) は，{{a,c}または{a,b,c}}∩{{a,b}または{a,b,c}}≠φ ⇒ F4はT4を満たさない。
［４］
正規空間 についてもう一度考えてみましょう。
（T4）の意味： 開集合O と閉集合F について、
F⊂O ⇒ F⊂O’⊂F’⊂O なる閉集合F’、開集合O’が存在する。
がいえる。これは繰り返すことができて、さらに
F⊂O”⊂F”⊂O’⊂F’⊂O ⇒ F⊂O”⊂F”⊂O’⊂F’⊂F’”⊂O’”⊂O ⇒ ⇒ ⇒
というように （閉集合⊂開集合） を挿入して行くことができることを示しています。
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命題 正規空間X の共通部分がなく空でない閉集合を F0，F1，また，その開近傍を U(F0)，U(F1) とするとき， F0 ⊂U（F0）⊂U（F1）c⊂F1c |
なぜならば，
証明 定義より，
F0⊂U（F0） ⇔ U（F0）c⊂F0c ①
F1⊂U（F1） ⇔ U（F1）c⊂F1c ②
さらに，
F0∩F1＝φ ⇔ F0⊂F1c， F1⊂F0c ③
U（F0）∩U（F1）＝φ ⇔ U（F0）⊂U（F1）c，U（F1）⊂U（F0）c ④
の関係が同時に成り立っていることが分かります。これらより，F0⊂F1c ③であるとき，
F0 ⊂ U（F0） ⊂ U（F1）c ⊂ F1c ・・・・・ [*] 閉集合 ① 開集合 ④ 閉集合 ② 開集合
が成立しています。言い換えると，閉集合F0とそれを含む開集合F1cが与えられたとき，その間に， （開集合 U(F0) ⊂ 閉集合U（F1）c ） が挿入できることを示しています。
ここで，U（F0）の閉包について，U（F0）⊂[U（F0）]⊂U（F1）c であることにも注意して，U（F0）→U(1/2)と記号を換えると，[*] 式から
F0 ⊂U（1/2）⊂[U（1/2）]⊂F1c ← 途中にある U（F1）c は省略
が得られます。さらに，この1番目の⊂の箇所と3番目の⊂の箇所に同様に，（開集合⊂閉集合）を挿入することができ，それを (U(1/4)⊂[U(1/4)])，(U(3/4)⊂[U(3/4)]) と書くこととすれば，
F0⊂U(1/4)⊂[U(1/4)]⊂U（1/2）⊂[U（1/2）]⊂U(3/4)⊂[U(3/4)]⊂F1c
||
F0⊂U(1/22)⊂[U(1/22)]⊂U（2/22）⊂[U（2/22）]⊂U((22-1）/22)⊂[U((22-1）/22)]⊂F1c
これをn階繰り返すと，包含関係のある集合族，
U(1/2n)，[U(2/2n)]，・・・・，U（k/2n），・・・・，[U（(2n-1)/2n）]
が得られます。
［５］
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ウリゾーンの補題 正規空間 X の共通部分がなく空でない閉集合を F0，F1とすると，X上のある連続関数 f ∈C(X) が存在して， f(X)⊂［0，1］ |
具体的に，
Dn＝｛m/2n｜m＝0，1，2，・・・，2n｝
D＝Dn ←２進法で表した[0，1]の実数全体を意味する
集合族：｛U(t)｜t∈D｝， （0≦t≦1）
として，f は，
| f(x)＝ |  |
1 | （どんな t に対しても x U(t)） |
| inf｛t∈D｜x⊂U(t) ｝ | （ ある t に対して， x∈U(t)） |
で与えられる。
f(F0)=0，f(F1)＝1 は自明。その中間のXに対しては上図を参照。
f が連続関数であることは，開集合 O∈［0，1］で，f-1(O) が開集合であることを証明すればよい。（上図）
位相空間が距離空間となる条件を示すために用語を整理しておくと，
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定義 距離化可能空間 （１） 位相空間(X，O )に対して，O ＝O (d) となるような距離関数 d が存在するとき，位相空間 (X，O ) は距離化可能（空間）という。 （２）距離化可能空間とは、「距離空間（Y，d）と位相同型な位相空間（X，O ）」のことをいう。 すなわち，位相同型写像ψを，x，y∈X，および，ψ(x)，ψ(y)∈Y とすれば，ある距離， d~（x，y）＝d（ψ(x)，ψ(y)） が存在して、これから導かれる位相がO であるようにすることが可能ということ。 |
距離化定理：位相空間が距離化可能であるための十分条件を与える定理で次のようなものがあります。
| ウリゾーンの（距離化可能）定理 （１）第二可算的な正則空間は距離化可能である。（1926 年，チコノフ） （２）第二可算的な正規空間は距離化可能である。（1925 年，ウリゾーン） （２）’少なくとも2点を含む連結な位相空間が、正規空間ならばその濃度は実数の濃度以上である。 |
距離化可能空間は，距離空間のすべての位相的性質をもっており、ハウスドルフ空間であり，正規空間です。
しかし、完備性のようないくつかの距離の性質は引き継ぎません。
これより，「すべての第二可算的な多様体は、距離化可能」といえます。またこの定理の逆は必ずしも成立しません。
| 定理 ウリゾーン定理の系 位相空間 X が可算基をもつ正規空間ならば、これはある距離空間と位相同型となる。 |
例 ゾルゲンフライ直線は距離化可能ではない。
距離化可能なユークリッド空間との比較です。
| - | ゾルゲンフライ 直線 |
ユークリッド 直線 |
| 位相 | Os ⊃ OR | |
| 可分 ： QはRで稠密 | ○ | ○ |
| コンパクト | × | × |
| 連結性 | 完全非連結 | 弧状連結 |
| 第１可算公理 | ○ | ○ |
| 第２可算公理 | × | ○ |
| T1 | 〇 | 〇 |
| ハウスドルフ | ○ | ○ |
| 正則 | ○ | ○ |
| 正規 | ○ | ○ |
| 距離化可能 | × | ○ |
完全非連結空間はT1 空間である。
カントール集合に関して，
| 定理 カントル集合は有界閉集合である。 |
いずれも同じ内容の定理です。
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定理 （１） ハウスドルフ位相空間がコンパクト距離化可能となるための必要十分条件は、それがカントール空間の連続像となることである。 f：K→X が存在する。つまり，任意のコンパクト距離空間はカントール集合から作ることができる。 |
完全非連結空間の連続像は完全非連結であるとは限らない。
つづく ･・・
