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Appendix 5 上極限集合と下極限集合 | |
| f-denshi.com 最終更新日：04/12/04 | ||
［１］ 実数解析と数列と同じように集合列というものを考えることができます。まず，単調増加列とは，
A1 ⊂ A2 ⊂ ････ ⊂ An ⊂ ・・・・
となる集合列で，その極限を，
An ≡ An
と定義します。また，単調減少列は，
A1 ⊃ A2 ⊃ ････ ⊃ An ⊃ ・・・・
であって，その極限を，
An ≡ An
と書くことにします。
［２］ 一般的な収束列は，増加列でも減少列でもなく，例えば，
Ak ＝ ｛ （x，y）｜x2 ＋ y2 ≦（ 1−（-1）k/k）2 ｝
ならば，半径が 1−（-1）k/k の円の内部とその円周に属する点の集合を第 k 列目の集合 Ak とする場合，”増・減” を繰り返しながら収束していく場合があります。
このような場合に有効なのが，上極限集合，下極限集合，
lim A≡ lim sup Ak ≡ Ak ←上極限集合
lim An ≡ lim inf Ak ≡ Ak ←下極限集合
であって，数列の上極限，下極限に相当します。今の例で，上極限集合，下極限集合への収束の様子を図示すると，下のようになります。
この場合，上極限集合，下極限集合とは同じ集合，半径 1 の円の内部と周囲からなる集合へ収束しており，このようなとき，集合列は収束すると言います。
［２］ 測度空間 X（β，m ） が与えられたとき[#]，
命題：
（１）単調増加列 ｛ Ak ｝，及び， A1＜∞ なる単調減少列 ｛ Ak ｝ に対して，（２）（任意の）集合列 ｛ Ak ｝に対して，
m（ Ak） ＝ m（Ak）
m（ Ak） ≦ m（Ak）
もし，集合が図形で，m がその面積であれば，この命題の意味は，これまで何回も述べてきた直感的にごく当たり前なことを述べているので問題ないはず。
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ファトゥーの補題 であるならば， が成り立つ。 |
これより，集合列 ｛ Ak ｝ が収束すれば，すべての等号が成り立つ，すなわち，
m（Ak） ＝
lim m（Ak） ＝
lim m（Ak）
が存在することの証明に使います。
