441  ベッセル関数
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１．ベッセル微分方程式の解法

ベッセルの微分方程式　
　　x2y''＋xy'＋(x2−n2)y ＝ 0                  
の2つの独立な解は，

    (１)　ベッセル関数： Jn(x)　と ノイマン関数： Nn(x) の線形結合 (定在波)     
    (２)　第１種ハンケル関数： Hn(1)(x) と第２種ハンケル関数： Hn(2)(x) の線形結合 (進行波)

のどちらかで与えられる。　ただし，
Jn(x)＝ x n (-1)m x 2m
2 Γ(m＋1)Γ(n＋m＋1) 2
Nn(x)＝ Jn(x)cos nπ−J-n(x) ，
sin nπ
Hn(1)(x)≡ Jn(x)＋i Nn(x)：　　
Hn(2)(x)≡ Jn(x)−i Nn(x)
なお，n が整数のときは，n への極限で定義する。また，Γ(m＋1) はガンマ関数[#]。
また，n が非整数のときは，Jn(x) と J-n(x) の線形結合を一般解とすることもできる。

ノイマン関数は第2種ベッセル関数 Yn(x) と呼ぶことも多い。

［１］　ベッセルの微分方程式は，x ＝ 0，∞ に確定特異点をもつ微分方程式なので，その解を級数で表すことができます[#]。

x＝0 の周りでは，

 y(x) ＝  ck xk+r
y'(x)＝  (k＋r)ck xk+r-1
y''(x)＝  (k＋r)(k＋r−1)ck xk+r-2

をベッセルの微分方程式に代入して，x のベキごとに整理すれば，

 (k＋r)(k＋r−1)ck xk+r ＋  (k＋r)ckxk+r ＋  ck xk+r+2  −n2 ck xk+r

＝ (r(r−1)＋r −n2)c0xr＋((r＋1)r＋(r＋1)-n2)c1xr+1
                   ＋  (k＋r)(k＋r−1)ckxk+r＋  (k＋r)ckxk+r＋  ckxk+r+2−n2 ckxk+r

＝ (r2−n2)c0xr ＋(r2＋2r＋1−n2)c1xr+1
                   ＋  (k＋r)(k＋r−1)ckxk+r＋  (k＋r)ckxk+r＋  ck-2xk+r−n2 ckxk+r

＝ (r2−n2)c0xr  ＋ (r2＋2r＋1−n2)c1xr+1 ＋  ((k2＋2kr＋r2−n2)ck ＋ck-2)xk+r   ＝ 0
第１項 第２項 第３項以上

［２］　この等式が成り立つためには，すべての xベキの係数が０でなければなりません。まず，最小次数の第１項 xr の係数を 0 とおいて，決定方程式[#]，

r2＝n2　　　　　　　　⇒　　r ＝ n  ＞ 0

が得られます。r＝n　として，第２項 xr+1 と第３項　Σ xk+r　( k ＝ 2，3，･･･ )の係数からは漸化式，

(2n＋1)c1 ＝ 0           　　 　⇒　　　　c1 ＝ 0 　　　　←訂正09/06/17
k(2n＋k)ck＋ck-2 ＝ 0         ⇒        ck ＝  −1  ck-2
k(2n＋k)

が得られます。 すなわち，mを整数として，

c2m+1 ＝0                            　　  　 ( n＝2m＋1　n が奇数のとき )
c2m  ＝ (−1)m  c0  　 ( n＝2m　　　　n が偶数のとき )
22mm！(n＋1)･･･(n＋m)

したがって，ベッセル方程式の解のひとつは，

yn(x) ＝ (−1)m　c0 ･x2m+n
22mm！(n＋1)･･･(n＋m)

［３］　ところで，c0 は如何様にも決めれるのですが，n が整数でないとき (とりあえず，n≧0 の実数を考える) へもこの微分方程式を拡張できるように c0 を

c0  ＝ 1 ＝ 1
2n Γ(n＋1) 2n n！

と定めます。ここで，Γ(n＋1) は，ガンマ関数 [#] で n が非負整数ならば，

Γ(n＋1) ＝ n！ ＝n(n−1)(n−2)  ････  2 ･ 1

とくに，yn(x)の分母のところで，

(n＋m)･･･(n＋1)･Γ(n＋1) ＝ Γ(n＋m＋1)

であることに注意すると，yn(x) は記号改め次のようになります。

ベッセル関数：
Jn(x) ＝ (-1)m x2m+n
22m+nm！(n＋1)･･･(n＋m)Γ(n＋1)
         ＝ x n (-1)m x 2m 　          　･･･････   [*]
2 Γ(m＋1)Γ(n＋m＋1) 2
または，整級数に展開した，
Jn(x) ＝ xn 1− x2 ＋ x4 −････
2nΓ(n＋1) 2(2n＋2) 2･4(2n＋2)(2n＋4)
を ベッセル関数(第１種ベッセル関数)と呼ぶ。

［４］　一方， n → -n とすれば，

J-n(x) ＝ x -n (-1)m x 2m 　          　･･･････   [**]
2 Γ(m＋1)Γ(-n＋m＋1) 2

が得られます。n が整数でなければ，Jn(x) と J-n(x) は明らかに線形独立です，したがって，ノイマン関数を持ち出さなくても　Jn(x) と J-n(x) の線形結合をベッセル方程式の一般解と考えることもできます。

しかし，m ＜n−1 の整数であれば，Γ(-n＋m＋1)→±∞　[#] なので，対応する J-n(x) の展開係数は0となっています。したがって，次のように変形できて，

J-n(x) ＝ x -n (-1)m x 2m 　    
2 Γ(m＋1)Γ(-n＋m＋1) 2
　　　　＝ x -n (-1)m+n x 2(m＋n) 　    
2 Γ(m＋n＋1)Γ(-n＋m＋n＋1) 2
　　　　＝ (-1)nJn(x)　　；　n ＝ 0，1，2，･･･

が成り立っています。つまり，n が整数であれば，Jn(x) と J-n(x) は線形従属であることが分かります，

最初，n は自然数のように扱ってきましたが，この制限をガンマ関数が値を持ち得る限りすべての値でOKというように緩めます。　(最終的には原点を除く複素平面全体にまで広げます。)

［５］　次数が半整数の場合は初等関数でベッセル関数を表記できます。

J1/2(x)  ＝ 2 　sin x
πx
J-1/2(x) ＝ 2 　cos x
πx
sin x −cos x
x
J3/2(x)  ＝ 2
πx
cos x ＋sin x
x
J-3/2(x) ＝ 2
πx
3 −1 sin x − 3 cos x
x2 x
J5/2(x)  ＝ 2
πx
3 sin x ＋ 3 −1 cos x
x x2
J-5/2(x) ＝ 2
πx


［６］　よりおおきな次数のベッセル関数は以下の漸化式を利用すればよいでしょう。

Jn+1(x) ＝ 2n Jn(x) −Jn-1(x)
x

他にも

Jn+1(x) ＝　Jn-1(x) −2J 'n(x)

xJn+1(x) ＝ nJn(x) − xJ 'n(x)

証明は次の２．母関数を読めばヒントがあります。

［７］

・・・　ノイマン関数の話　につづく　・・・




２．ベッセル方程式の母関数

［１］　いわゆる母関数 [#] を出発点にする形式の方がわかりやすいかもしれません。

ベッセル関数は母関数を用いて，↓　t の２乗が抜けていました。t→t2　(10/09/10)　ご指摘された方に感謝！

exp (t2−1) x ＝ Jn(x)･tn　
2t

と定義することもできます。　なぜ，こんな式を持ちだしたかといえば，この左辺をローラン展開 (テーラー展開) すれば，

exp (t2−1) ･ x ＝ exp xt ･exp - x
t 2 2 2t
＝ xt r 1 - x m 1
2 r！ 2t m！

これから，Jn(x)　は tn 項の係数，すなわち，r＝n＋m　のときの係数だけを拾い出せば，

Jn(x) ＝ (-1)m x n＋2m
(n＋m)！m！ 2

これは先ほど導いた [*] とまったく同じで式です！  

［５］　ここで，n が整数でない場合にも拡張できように，

Jn(x) ＝ (-1)m x n＋2m
m！Γ(n＋m＋1) 2

と書き直すことも先ほどと同じです。　

［６］　この Jn(x) がベッセルの微分方程式を満足していることは，　　(以下その証明です。ちょっと長い！)

xnJn(x) ＝ (-1)m x2n＋2m
m！Γ(n＋m＋1) 2n＋2m

を微分して，

左辺　＝  d xnJn(x) ＝  nxn-1Jn(x) ＋ xnJn'(x)
dx
 右辺   ＝    d 2(n＋m)(-1)m x2n＋2m-1
dt 2(n＋m)！m！ 2n＋2m
      ＝　xn (-1)m x n-1+2m ＝ xnJn-1(x)
(n−1＋m)！m！ 2

したがって，

nxn-1Jn(x) ＋ xnJn'(x)   ＝  xnJn-1(x)　　　　　　　　　　　　　･･･(0)

(0)を導いた様に計算して

 d x-nJn(x) ＝−nx-n-1Jn(x) ＋ x-nJn'(x) ＝ -x-nJn+1(x)･･(0)'
dx

［７］　この２式から，すぐに，

  xJ'n(x)   ＝  xJn-1(x)−nJn(x)　　　　　　　　　　　　  　･････(１)　　
nxJ'n(x)   ＝  nxJn-1(x)−n2Jn(x)　　                       ･････(１)'　

  xJ'n(x)   ＝  nJn(x)  −xJn+1(x)                          ･････(２)　
x2Jn-1'(x) ＝ (n−1)xJn-1(x)−x2Jn(x)                 　     ･････(２)'

(１)を微分すると，

xJ''n(x) ＋J'n(x)  ＝    xJn-1'(x)＋Jn-1(x)−nJn'(x)　　
↓　　　　x　をかけて
x2J''n(x) ＋xJ'n(x)  ＝ x2Jn-1'(x)＋ xJn-1(x) − nxJn'(x)　　       (３)
↓　　　(１)'をひいて
x2J''n(x)＋xJ'n(x)  ＝ x2Jn-1'(x)− ( n−1)xJn-1(x) ＋ n2Jn(x)    (４)
↓　　　(２)'をたして
x2J''n(x)＋xJ'n(x)  ＝ n2Jn(x) −x2Jn(x)

となり，これはJn(x)がベッセルの微分方程式，x2y''＋xy'＋(x2−n2)y ＝ 0  の解であることを示しています

　

３．　ベッセル関数の計算＆漸近展開

４．　ベッセル関数の積分

つづく


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メモ

第一種ベッセル関数　Jn(x)

Jn(x)＝ xn 1− x2 ＋ x4 −････
2nΓ(n＋1) 2(2n＋2) 2･4(2n＋2)(2n＋4)
　　　＝ (-1)k(x/2)n＋2k
k！Γ(n＋k＋1)
J-n(x)＝ x-n 1− x2 ＋ x4 −････
2-nΓ(1−n) 2(2−2n) 2･4(2−2n)(4−2n)
　　　＝ (-1)k(x/2)2k-n
k！Γ(k＋1−n)



J0(x)＝ 1− x2 ＋ x4 − x6 ＋････
22 22･42 22･42･62
J1(x)＝ 　　 x − x3 ＋ x5 − x7 ＋････
2 22･4 22･42･6 22･42･62･8

J0'(x)＝-J1(x)

ベッセルの微分方程式のもうひとつの解は，第二種ベッセル関数 ＝ ノイマン関数 Nn(x)，

Nn(x)＝ Jn(x)cos nπ−J-n(x) ，　n ≠ 0，1，2････
sin nπ

で与えられます。特にn が整数ならば，極限を用いて，

Nn(x)＝ Jn(x)cos hπ−J-n(x) ；　n ＝ 0，1，2････
sin hπ
N−n(x) ＝ (-1)nNn(x)　　；　n＝0，1，2，･･･


                               




Nn(x)＝ 2 1n(x/2)＋r Jn(x)− 1 (n-k-1)！ (x/2)2k-n
π π k！
　　　　　　　　　− 1 (-1)k φ(k)＋φ(n＋k) (x/2)2k＋n
π k！(n＋k)！
φ(p)＝1＋ 1＋ 1 ＋ 1 ＋････＋ 1 ，　　φ(0)＝0
2 3 p'
N0(x)＝ 2 ln(x/2)＋γ J0(x)＋ 2 x2 − x4 ( 1 ＋ 1 ) ＋ x6 ( 1＋ 1 ＋ 1 ) −････
π π 22 2242 2 224262 2 3


べッセル関数の微分

Jn+1(x)＝ 2n Jn(x)−Jn-1(x)
x
J'n(x)＝ 1 Jn-1(x)−Jn+1(x)
2

積分を用いた定義

Jn(x) ＝ 1   cos(xsinθ−nθ)dθ ＝ 1   exp[i (xsinθ−nθ)]dθ
π π