ときわ台学

	432 ルジャンドル陪関数
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１．ルジャンドルの陪微分方程式

ルジャンドルの陪微分方程式　　　

(1－x²)y''－2ｘy'＋ ν(ν＋1)－ m² y ＝ 0

1－x²

　ν ＝ 0、1、2、･････

の一般解はルジャンドルの陪多項式、

ｙ＝

P_ν^m(x) ＝ (1－x²)^m^/2 ･ d^m P_ν(x) ＝ (1－x²)^m/2 d^ν^＋^m (x²－1)^ν

dx^m 2^ν ν！ dx^ν^＋^m

m ＞ 0 のとき

P_ν⁰(x) ＝ P_ν(x) m ＝ 0 のとき

P_ν^m(x)＝(－1)^|m| ･ (ν－|m|)！ P_ν^|m|(x) ＝ (1－x²)^－|m|/2 d^ν^－|m| (x²－1)^ν

(ν＋|m|)！ 2^ν ν！ dx^ν－|m|

m ＜ 0 のとき

ただし、P_ν(x)ルジャンドル多項式で、

P_ν(x) ＝ 1 ･ d^ν (x²－1)^ν　

2^ν ･ν！ dx^ν

P_ν^m(x) ＝ d^m P_ν(x) ＝ 1 d^ν＋^m (x²－1)^ν　

dx^m 2^ν ･ν！ dx^ν＋^m

　m　＝　-ν、-ν＋1、･････、 ν－1、ν　

まず、この微分方程式は、m＝0 のときにルジャンドルの微分方程式[#]に帰着されます。

P_ν^m(x) ＝ (1－x²)^m^/2 ･ d^m P_ν(x)

dx^m

　　　　　　＝ 1 (1－x²)^m^/2 d^ν^＋^m (x²－1)^ν　

2^ν ･ν！ dx^ν^＋^m

つまり、

「 P_ν^m(x)　は x に関する 2ν次の多項式を (ν＋m) 回微分している。」　

ので、m＞ν となる m については、P_ν^m(x)≡ 0 となり、意味をもちません。　よって、｜m｜≦ν という条件が付加されています。

　　　P_ν^m(x)が解であることの確認計算

･･･

規格化の話

P_ν^m(x)･P_ν'^m'(x)dx ＝

(ν＋m)！

(ν－m)！

2

2ν＋ 1

･δ_νν'δ_mm'

母関数の話

(2m)！(1－x²)^m/2　 t^m ＝ ∞
Σ
ν=m P_ν^m(x)･t^ν

2^m ･m！ (1－2tx＋t²)^m＋1/2

展開可能性の話

f(x) ＝ a_mP_m^m(x) ＋ a_m+1P_m+1^m(x) ＋ a_m+2P_k^m(x) ＋･････

a_k＝

(k－m)！

(k－m)！

2k＋ 1

2

f(x)P_k^m(x)dx

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P₁¹(x)＝(1－x²)^1/2	P₂¹(x) ＝ 3x(1－x²)^1/2	P₃¹(x) ＝ (3/2)(5x²－1)(1－x²)^1/2
	P₂²(x) ＝ 3(1－x²)	P₃²(x) ＝ 15x(1－x²)
		P₃³(x) ＝ 15(1－x²)^3/2

P₁¹(cosθ)＝sinθ	P₂²(cosθ)＝(3/2)(1－cos2θ)
	P₂²(cosθ)＝(3/2)(1－cos2θ)

＝	1	(1－x²)^m^/2	d^ν^＋^m	(x²－1)^ν

	2^ν ･ν！		dx^ν^＋^m

(2m)！(1－x²)^m/2	t^m	＝	∞ Σ ν=m	P_ν^m(x)･t^ν

2^m ･m！	(1－2tx＋t²)^m＋1/2