431  ルジャンドル関数
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１．ルジャンドルの微分方程式

［１］  ルジャンドルの微分方程式とは，ν ≧ 0 なる整数とし，

このルジャンドルの微分方程式は，

(１)　x＝1−2u　とおくと，

u(1−u)y''＋(1−2u)y'＋ν(ν＋1)y ＝ 0

となって，ガウスの微分方程式 [#] ：

u(1-u)y''＋｛C−(A＋B＋1)u｝y'−ABy　＝　0　　( u に関する方程式 )

において，

C　⇒　1，
A　⇒　ν＋1，
B　⇒　-ν，
u　⇒　(1−x)/2

とした場合であることがわかります。 したがって，ルジャンドルの微分方程式の u＝0 (ｘ＝1) の周りの解はガウスの超幾何級数[#] を用いて，

F(−ν，ν＋1，1；(1−x)/2)

と表せることがわかります。

［２］　ただし，B ＝−ν が負であるため，無限級数とならずに，

−ν＋n−1 ＝ 0，　　　(つまり，　n ＝ ν＋1)

なる n ( ＝ν＋1)　以上の展開係数 c_n は [#]， すべて 0 となります。 すなわち，

F(ν＋1，-ν，1；　(1−x)/2 )      ⇒

と表せて，ルジャンドル多項式　と呼ばれます。

［３］ 具体的にいくつか書いておくと，

ν＝1　(B＝-1)　のとき，  P1(x)＝ 1＋	(1＋1)(-1)	･u　＝ 1−2(1−x)/2 ＝ x
	1！･1

ν＝2　(B＝-2)のとき，  P2(x)＝ 1＋	3･(-2)	(1−x)/2 ＋	3･4･(-2)(-1)	｛(1−x)/2｝2　＝	3x2−1
	1！･1		2！･1･2		2

などと計算することができ，

P0(x) ＝ 1	P4(x)＝ 35x4−30x2＋3 8
P1(x) ＝ x	P5(x)＝ 63x5−70x3−15x2 8
P2(x)＝ 3x2−1 2	P6(x)＝ 231x6−315x4＋105x2−5 16
P3(x)＝ 5x3−3x 2	P7(x)＝ 429x7−693x5＋315x3−35x 16

などとなります。

［４］ 同様に，

(２)  x＝1＋2u とおくと，x＝−1 の周りの解として，

F(−ν，ν＋1，1；(1＋x)/2)

が得られます。

［５］　一方，

(３)   x＝1/t  とおくと，x＝∞ の周りの解が得られますが，この解の一つは，第２種のルジャンドル関数と呼ばれます。

詳細は ⇒ [#]

［６］　以上，やや天下り的な説明でしたが，物理的に重要な意味をこの多項式はもっているので，そちらも説明しておきましょう。そして，この多項式(＝ルジャンドル関数)を解にもつ微分方程式を作ってやると，それがルジャンドルの微分方程式であることを確かめることにします。

　重力や静電力など多くの力のポテンシャルは２つのベクトルR ，r の差の大きさの逆数：｜R −r｜^-1　に比例します。そのなす角を θ，R＝｜R｜＞｜r｜＝ r　として展開した係数 が，P_ν (cosθ)　なのです[#1]，[#2]。　つまり，

1	＝	1
｜R−r｜		R2−2R･rcosθ＋r2

　　　　　↓　　t ＝ ｒ/R　，x＝cosθ として，

＝	1
	R   1 − 2xt ＋ t2

＝	1		Pν (x)･tν
	R

と書くことができます。 ただし，ルジャンドル関数の母関数，

F(t，x) ≡	1	＝		Pν (x)･tν	･･･････････  [*]
	1 − 2xt ＋ t2

の t に関するテーラー展開と比較から，

Pν(x) ＝	1	･		dν	1 − 2xt ＋ t2
	ν！			dxν			t = 0

＝	1	･	dν	(x2−1)ν　              ［ロドリクの公式］
	2ν ･ν！		dxν

でなければなりません。　ただし，最後の ''＝'' の証明はちょと手間であって，たとえば，
　　　「グライナー量子力学」，シュプリングフェアラーク東京(１９９１年) の 101 ページ
を参考にしてください。

［６］　さて，この　P_ν(x) がルジャンドルの微分方程式の解であることは，P_ν(x)　について成り立つ漸化式 [#]，

(x²−1)P_ν'(x)  ＝ νx P_ν(x) − νP_ν−1(x)　　　 　　･･････(１)
xP_ν'(x) − P_ν-1'(x) ＝ νP_ν(x)　　　　                　･･････(２)

を使います。　ただし，P_ν'(x) ＝ dP_ν(x)/dx　。　(１)を微分して，(２)を用いれば，

2xP_ν'(x) ＋ (x²−1)P_ν''(x) ＝ νP_ν(x) ＋ νx P_ν'(x)− νP_ν−1'(x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ νP_ν(x) ＋ ν｛ x P_ν'(x)− P_ν−1'(x) ｝
                                          ＝ νP_ν(x) ＋ ν² P_ν(x)　

これを並びかえれば，

(1−x²)P_ν''(x) − 2x P_ν'(x) ＋ ν(ν ＋ 1)P_ν(x)　＝ 0  

と，ルジャンドルの微分方程式　になることがわかります。　P_ν(x)に関する公式は［下段］にまとめましたので，暇なときに見ておきましょう。

［目次］

補足１

P_ν(x)において，x⇒cosθとしたときは，倍角の公式等が使えて次のように書かれます。

P₀(cosθ)＝1
P₁(cosθ)＝cosθ
P₂(cosθ)＝(3cos²θ+1)/2                  ＝ (1＋3cos 2θ)/4
P₃(cosθ)＝(5cos³θ−3cosθ)/2         ＝ (3cosθ＋5cos 3θ)/8
P₄(cosθ)＝(35cos³θ−30cosθ＋3)/8 ＝ (9＋20cos 2θ＋35cos 4θ)/64

補足２　　　　　P_ν(x)　に関して成り立つ漸化式

まず，ルジャンドル関数の母関数 [*] を t で微分して，

∂F(x，t)	＝	x−t	･		Pν (x)･tν	＝		νPν (x)･tν−1
∂t		1 − 2xt ＋ t2

⇔

(x−t)		Pν (x)･tν	＝　(1 − 2xt ＋ t2)		νPν (x)･tν−1

⇔
･･･＋ xP_ν(x)･t^ν−P_ν-1(x)･t^ν＋･･･  
                              ＝  ･･･＋(ν＋1)P_ν+1 (x)･t^ν − 2xνP_ν(x)･t^ν ＋ (ν−1)P_ν−1(x)･t^ν＋･･･

これより，t^ν の項を比較して，漸化式，

(ν＋1)P_ν+1 (x) − (2ν＋1)xP_ν(x) ＋ νP_ν−1(x) ＝ 0　　　　　　　(１)

が得られます。

また，ルジャンドル関数の母関数を x で微分して，上と同様に考えると，

P_ν+1'(x) − 2xP_ν'(x) ＋ P_ν-1'(x) ＝ P_ν(x)　　　　　　　　　　　　　        (２)

公式，

Pν+1'(x) − xPν'(x) ＝ (ν＋1)Pν(x)　           　 　     　　(３) (x2−1)Pν'(x)  ＝ νx Pν(x) − νPν−1(x)                    (４) xPν'(x) − Pν-1'(x) ＝ νPν(x)                                  (５) Pν+1'(x) − Pν-1'(x) ＝ (2ν＋1)Pν(x)　                      (６)

証明：

たとえば，(３)　は，(１)を微分した，

(ν＋1)P_ν+1'(x) − (2ν＋1)P_ν(x) − (2ν＋1)xP_ν'(x)＋ νP_ν−1'(x) ＝ 0　　　(１)'

から　ν×(２)を引けば，

P_ν+1'(x)− (2ν＋1)P_ν(x) − (2ν＋1)xP_ν'(x) ＋ 2νxP_ν'(x) ＝ −νP_ν(x)
⇔
P_ν+1'(x) − xP_ν'(x) ＝ (ν＋1)P_ν(x)

というように得られます。　他の式の証明も簡単なので証明はこれで終しまい。

［補足３］　　ルジャンドル多項式の直交性

Pm (x)･Pn (x)dx ＝		0	･･････  (m≠n)
		2 2n ＋ 1	･･････  (m＝n)