205  たたみ込み( コンボルーション )
f-denshi.com  更新日： 執筆中

１．たたみ込みの定義

物理的な描像：
　１次元ランダムウォーク　⇒ 拡散方程式も参照のこと [#]

［１］　たたみ込みの定義です。

時刻 0 に原点 x＝0 にある粒子がX軸上をランダムに動いていく様子を考えます。このとき，時刻 ｔ において，微小範囲 (x，x＋Δx)に粒子が見つかる確率が確立分布関数，Pｔ( x )と Δx との積で，

Pｔ( x )Δx　　　←　P(x，t)Δx　と書いてもよい。

で与えられるものとします。特に，

( I ) 時刻 ｔ＋s に微小範囲 (x，x＋Δx)に粒子が見つかる確率は，

Pｔ+s( x )Δx

となります。一方，これと同じ確率を，粒子の動きがランダムであることから時刻 t までとそれ以後の s 秒とを２つの独立な事象に分けて計算することも可能で，それは，

( II ) 時刻 ｔ に微小範囲 ( ｙ，y＋Δy )に確率 Pｔ( y )Δy で存在する確率と 時刻 s に(x−y，x−y＋Δx)に存在する確率 Ps(x−y)Δx との積事象で与えられるはずです。 ただし，最初の t 秒後の位置 y は X軸上のどこを経由してもいいので，y　について区間(-∞，∞)で積分してやった，

Ps(x−y)Pt(y)dy ・Δx　

が時刻 ｔ＋s に 微小範囲 (x，x＋Δx)に粒子がある確率となります。そしてこれら２つを等しいとし，

Pｔ+s( x )Δx＝ Ps(x−y)Pt(y)dyΔx　

とすることができます。両辺を Δxで除し，記号を改めれば，

z( x ) ＝ h(x−u)g(u)du　

と抽象的に書くことできます。ここで，z(x) ，g(x)，h(x) はそれぞれ t＋s 秒後， t 秒後， s 秒後の確率分布という物理的な意味を持たせることができます。

［２］ このような物理的な背景のもとで，次のような定義が行なわれます。

定義：　たたみ込み

絶対可積分関数 h(x)，g(x) にたいして次の積分値を

1
2π
h(x−u)g(u)du　≡　h(x)*g(x)                       定義　I　　
または，
h(x−u)g(u)du　≡　h(x)*g(x) 　　　　　　　　　　　　　　　　　定義　II  
をたたみ込み，または，コンボルーションと言います。

２．たたみ込みの定理

I　たたみ込みの定理　　

h(x)，g(x) について，たたみ込みが，定義できるとき，

(１) たたみ込みのフーリエ変換は，各関数のフーリエ変換の積に等しい，すなわち，

F [ h(x)*g(x)] ＝ F [h(x)]・F [g(x)]
逆に，

(２) f，g が区分的に連続で，(f*g)が点 x で連続なら，
h(x)*g(x) ＝ F -1 ｛F [ h(x)]・F [ g(x)] ｝
がなりたつ。

用途に応じて，次のようにも書かれます。

II　たたみ込みの定理　( 空間  ⇔  運動量 )
u(x)＝ h(q)r(x−q)dq　　　(　≡　h*v (x)　)　
ただし， h(x)dx ＝ 1　　

なる関係があり，u(x)，r(x)，h(x) のフーリエ変換を U(k)，R(k)，H(k)，すなわち，

U(k)＝ u(x)e-i kxdx　
R(k)＝ r(x)e-i kxdx　
H(k)＝ h(x)e-i kxdx　

とすれば，

U(k) ＝ H(k)R(k)

がなりたつ。

III  たたみ込みの定理   ( 時間  ⇔  周波数 )
y(t)＝ h(τ)x(t−τ)dτ　　　(　≡　h*x (ｔ)　)　
ただし， h(t)dt ＝ 1　　
なる関係があり，y(t)，x(t)，h(t) のフーリエ変換を Y(ω)，X(ω)，H(ω)，すなわち，
Y(ω)＝ y(t)e-i ωtdt　
X(ω)＝ x(t)e-i ωtdt　
H(ω)＝ h(t)e-i ωtdt　
とすれば，
Y(ω) ＝ H(ω)X(ω)
がなりたつ。

(１) の証明：

F [h(x)*g(x)] ＝
1
2π
1
2π
h(x−y)g(y)dy e-ikxdx
＝
1
2π
g(y) e-iky・e-ik(x-y)h(x−y)dydx

r ＝ x−y として，

＝
1
2π
g(y) e-ikydy
1
2π
h(r)e-ikrdr
＝F [g(x)]・F [h(x)]
＝G(k)・H(k)　　　　　　(g(x)，h(x)のフーリエ変換をG(k)，H(k)として。)

このフーリエ変換は，

f(x)*g(x)＝F -1｛F [ h(k) ]F [ g(k) ]｝ ＝
1
2π
F [(x)]F [g(x)] eikxdx


［目次へ］