203　フーリエ変換
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１．フーリエ変換

［１］　周期2Lを持つ関数の複素関数形式のフーリエ級数展開は，

f(x)＝　 cnexp(i nπx/L)，　　　　　　　　　　　････　[*]
cn　＝ 1 f(x)exp(−i nπx/L )dx　　　　　　････　[**]
2L

となります[#]。ここで，[**]　は，

cn ＝ π ・ 1 f(x)exp(−i nπx/L )dx
2π  L
2π

と書き表せることに注意して，変数変換，

  kn ≡ n(π/L)

および，関数の定義，

F(kn) ≡ 1 f(x)exp(−i knx )dx　　　････(１)　
2π

を行なうと，

cn ＝ π ・F(kn)
2π  L
f(x)＝ 1 π ・F(kn)exp(i knx)　　・・・(２)
2π
L

と書き改められます。　

［２］　ここで，L → ∞ を考えると，(２)の級数和は関数：F(k)exp(i kx)の刻み幅を (π/L)とした(広義の)リーマン積分の定義[#]そのものズバリであることに気がつきます(右上図)。
(もし，わかりにくければ，F(kn)exp(i knx)＝F(kn)cosknx＋i F(kn)sinknx として，F(kn)cosknx，＋i F(kn)sinknx とばらしてから積分を考えよ。)
すなわち，積分記号を用いて，

f(x)＝ 1 F(k)exp(i kx)dk　　･････　　(２)’　
2π

と書くことができます。さらに(１)は， L→∞ の極限における kn を連続な実数とみなし，k と簡単に記述すれば，

F(k)＝ 1 f(x)exp(-i kx )dx　　･････  　(１)’　
2π

この(１)’をフーリエ変換 F ： f(x) ⇒ F(k) ，(２)’を逆フーリエ逆変換 F -1： F(k) ⇒ f(x)　といいます。

以上の説明からわかるように，

フーリエ変換    F   とは，  
　　　⇒　与えられた関数f(x)から，フーリエ係数を求めること。

逆フーリエ変換 F -1 とは，　
　　　⇒　与えられたフーリエ係数から関数f(x)を求めること。

に対応しています。

以上，大雑把ですがフーリエ級数展開とフーリエ変換がどのような関係になっているか示しました。　

まとめ：

［ フーリエ変換  I　］　   　F(k) ＝F (f(x))＝ 1  f(x)・exp ［−i kx ] dx　
2π
［ 逆フーリエ変換 I  ］   f(x) ＝F -1(F(x))＝ 1  F(k)・exp ［i kx ] dk　　　
2π
正確に書けば，f(x)⇒｛f(x-0)＋f(x+0)｝/2　なのですが，わずらわしいのでたいてい上のように書きます。
積分はコーシー主値積分です。説明はここではパス。
また，導出途中の(１)式の置き換えで積分の係数(2π)-1/2 を含めないでおき，
［ フーリエ変換 　II ］　   　F(k) ＝  f(x)・exp ［−i kx ] dx　
［ 逆フーリエ変換 II ］   f(x) ＝ 1  F(k)・exp ［i kx ] dk　
2π
と定義することもあります。 さらに，x　→t　，k　→ω　と変数を書き換えた，
F(ω) ＝  f(t)・exp ［−i ωt ] dｔ　
f(t) ＝ 1  F(ω)・exp ［i ωt ] dω　
2π
の形でもよく使われます。（記号の単なる置き換えではなく，時間，角振動数の物理的な意味を持ちますが，詳細は省略。）

もうひとつ，別の表現を書いておくと，変数を，I　の場合から
x　⇒ 2π x ，　　k　⇒ 2π k
と，置き換えて，
［フーリエ変換  III］　   　F(k) ＝  f(x)・exp ［−2πi kx ] dx　
［逆フーリエ変換 III ］   f(x) ＝  F(k)・exp ［2πi kx ] dk　
も固体物理学(ブルルアンゾーンの記述)では使われます。

以上の議論は容易に３次元に拡張でき，

３次元のフーリエ変換：

［ フーリエ変換 ］　   　F(k )＝ 1  f(r )・exp ［−i k ・r ] dr　
8π3
［ 逆フーリエ変換 ］   f(r ) ＝ 1  F(k )・exp ［i k ・r ] dk　
8π3
と定義します。ただし，
r ＝(x，y，z)，k ＝(kx，ky，kz)；　k ・r ＝ xkx＋yky＋zkz



２．フーリエ変換の基本公式

［１］　f(x)，f1(x)，f2(x)のフーリエ変換をそれぞれ，F(k)，F1(k)，F2(k)とし，a，b を定数とすれば，

元の関数f(x) 関数のフーリエ変換F(k)
(1) f(-x) F(-k)
(2) af1(x)＋bf2(x) aF1(k)＋bF2(k)
(3) f(x−a) e-iak・F(k)
(4) f(ax) |a|-1・F(k/a)
(5) eiak・f(x) F(k−a)
(6) xn･f(x)
i d n  F(k)
dk
(7) f(n)(x)　　　［n階微分］ (ik)nF(k)
(8)
 f(x) dx　
1  F(k)
i k

が成り立ちます。

ここには上の公式の説明・・・・・



３．フーリエ変換の計算例　

元の関数 f(x) フーリエ変換 F(k)
(1)
＝
1
π r
exp
− x2
r2
exp −π2k2r2
(2)
1
π
r
r2＋x2
exp −2π|k|r
(3)
1
2r
exp
− |x|
r
1
1＋4π2k2r2
(4)
1
r
exp
− x
r
 ( x＞0)
0    (x≦0)
1
1−2πi kr
(5)
1
r
|x|＜ r
2
0
|x|≧ r
2
sin(πkr)
πkr




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