８　２階テンソル
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１．　２階テンソルのいろいろ

［１］　２階テンソルは双線形関数（双線形作用素）を用いて定義することが本質的です。しかし，応用でよく見かける２階テンソルは必ずしもそのような形で明示されているとは限りません。多くの教科書 (特に工学・物理) では座標変換(基底変換)に対して成分が前ペ−ジで導いたテンソルの座標変換規則，

と同じように変換されること　(＝テンソル変換を受けるといいます。)　を2階テンソルの定義としています。ここでは次のiいずれの写像も２階テンソルとして座標変換を受けることを確認してみましょう。

(1)，(2)　双線形写像

(1)，(2)は，双線形写像に基づいたオーソドックスな2階テンソルの定義で，具体例としては，このTを二つのベクトルからある実数値を対応させる内積の計算をイメージすれば分かりやすいでしょう。内積の場合は双線形写像Tは計量テンソルと呼ばれます。(1)では，2つのベクトルの基底がともにVの元と考えているのに対して，(2)では，VとV^*からとっています。(1)は2階共変テンソルで(0，2)型とも言います。(2)は2階混合テンソルで(1,1)型といいます。結晶構造解析では，V，V^*をそれぞれ，格子空間，逆格子空間と呼んで，回折理論を簡明に記述するための中核的な役割を果たしています[#]。

これらの場合，縮約「　T_jkx^jy^k，および，T^j_kx_jy^k　」 とは，2つの変数，x，yに対応する関数値 T(x,y ) を求めるプロセスに相当していることになります。

(1)において，添え字を上下すべて逆した双線形写像を考えることもできますが，その場合，T^jkを2階反変テンソル（成分）といい，(2,0)型とも言います。

双線形関数として，3次元ベクトルの内積を具体例として書いておくと，

(x,y )＝		Tjkxjyk (0,2)型　＝　g11x1y1＋g12x1y2＋g13x1y3g13 　　　　　　　　＋g21x2y1＋g22x2y2＋g23x2y3＋g31x3y1＋g32x3y2＋xg33x3y3
		Tjkxjyk (1,1)型　＝　x1y1＋x2y2＋x3y3　　　　　　　　　　(　gjk＝δjk　なので　)
		Tjkxjyk (2,0)型　＝　g11x1y1＋g12x1y2＋g13x1y3 　　　　　　　　　　＋g21x2y1＋g22x2y2＋g23x2y3＋g31x3y1＋g32x3y2＋xg33x3y3

のように基底の選び方で，3つの型の縮約で表現できます。

(3)線形写像(行列)の座標変換

［２］　ベクトル空間 V から V への線形写像（線形作用素） T ： ［ベクトルx　∈V  ⇒  ベクトルy  ∈ V ］ ：

y ＝T(x )　

も２階テンソルとなります。これは，V の｛e₁，e₂，e₃ ｝に対して，

T(e₁)＝T¹₁e₁＋T²₁e₂ ＋T³₁e₃
T(e₂)＝T¹₂e₁＋T²₂e₂ ＋T³₂e₃
T(e₃)＝T¹₃e₁＋T²₃e₂ ＋T³₃e₃

のようにテンソル成分 T^j_k を定義すれば，写像T，

T：　x ＝ x1e1＋x2e2＋x3e3 ＝		x1		⇒  　y ＝ y1e1＋y2e2＋y3e3 ＝		y1
		x2				y2
		x3				y3

は行列の演算規則を使って，

y ＝ T(x )
   ＝T(x¹e₁＋x²e₂＋x³e₃)
   ＝x¹T(e₁)＋ x²T(e₂)＋x³ T(e₃)
　 ＝ x¹(T¹₁e₁＋T²₁e₂＋T³₁e₃ )＋x²(T¹₂e₁＋T²₂e₂＋T³₂e₃)＋x³(T¹₃e₁＋T²₃e₂＋T³₃e₃)

＝ x1		T11		＋x2		T12		＋x3		T13
		T21				T22				T23
		T31				T32				T33

＝		x1T11＋x2T12＋x3T13
		x1T21＋x2T22＋x3T23
		x1T31＋x2T32＋x3T33

＝		T11 T12 T13			x1		＝ Tx      ［座標変換前］
		T21 T22 T23			x2
		T31 T32 T33			x3

と書けます。　ただし，T は T^j_k を j 行 k 列成分とする正方行列。

さて，新しい正規直交基底への座標変換によって，　y　→　y '，　x　→x '　，　T　→　T'，　ただし，

y'＝　T'x '　　［座標変換後］

と表せるとします。いま，座標変換を，x ＝Px'   すなわち，Pの逆行列Qを用いて，x' ＝Qx，y' ＝Qy  とすれば，これらを［座標変換後］に代入し，左からPをかければ，

Qy ＝T'Qx　　⇒　y　＝PT'Qx　　

となります。これを座標変換前と比較すれば，

でなければならないことがわかります。これを成分で書く[#]と，　　

T^j_k　＝p^j_sT'^s_t q^t_k　＝p^j_sq^t_kT'^s_t　　　または，　T'^j_k＝ q^j_sp^t_kT^s_t

となり，T^j_kは混合テンソル変換を受けることがわかります。

そして，２階テンソルがベクトルをベクトルに対応させる線形関数を表す場合の縮約「Tⁱ_kx^k」とは，線形関数T(x)の像であるベクトルのj番目の成分を与えていることが分かります。

(4)テンソル積の座標変換

［３］　テンソル積の定義

２階テンソルは次に述べる (1階テンソル=ベクトルの) テンソル積によってもつくられます。テンソル積とは，ベクトルa，b　∈V　が与えられたとき，
写像 T：　x　→　y　を，

y ＝ T(x )＝a(b ･x )

と定義するとき，この写像 T(x ) を

a

b(x )

と書いて，「 ベクトルa，b のテンソル積 」と定義します。これは行列，ベクトルの演算で具体的に表すと，

T(x ) ＝a (b ･x )＝

a1

(b1x1＋b2x2＋b3x3)＝

a1

(b1,b2,b3)

x1

a2

a2

x2

a3

a3

x3

＝			a1b1	a1b2	a1b3			x1		＝Tx
			a2b1	a2b2	a2b3			x2
			a3b1	a3b2	a3b3			x3

と書くことができます。これは，

T^j_k≡a^jb_k

を成分とする行列 T による線形写像であることを意味しています。これがテンソル変換を受けることはベクトルの座標変換が，

a^j ＝ Σ_sp^j_sa'^s　および，　  b_k ＝ Σ_t q^t_kb'_t

で与えられるとき，

(T^j_k＝)  a^jb_k＝Σ_s p^j_sa'^sΣ_tq^t_kb'_t＝Σ_sΣ_tp^j_sq^t_ka'^sb'_t    (＝Σ_sΣ_tp^j_sq^t_kT'^s_t)

に従って座標変換されることからわかります。これはTが反変ベクトル変換と共変ベクトル変換が混じりあった混合テンソル変換を受けることを示しています。

ここで，縮約 「a^jb_kx^k」 は，ベクトルa，bによって定められるベクトルからベクトルへの線形写像のベクトルxの像T(x)の　j　成分です。(3)との違いは，(4)は必ずaの方向を向いたベクトルであることです。

さて，ここまでの話をまとめると，(1)，(2)のテンソルT^jk，T^j_kは双線形関数として，(3)，(4)のテンソルは線形関数として働いているように見えます。

すると，2階テンソルの本質は双線形関で数であるという主張と矛盾しているように感じられます。

ところが，(3)，(4)は2階テンソルがベクトルに作用した結果はスカラーではなく，ベクトルとなっていることに注意しなければなりません。さらにベクトル空間と双対空間の対称性からベクトルを線形関数と見ることもできるのでした。

すると，(3)，(4)の結果であるベクトルを関数とみなして，それらをさらにベクトルyに作用することもできます。成分で表すと，

(Tⁱ_kx^k) y_j 　　　→　　スカラー

(a^jb_kx^k) y_j　　→　　スカラー

以上のことをふまえると　(3)，(4)　の2階テンソルは本来2つのベクトルに作用できるところを一つのベクトルだけに作用させて，そこで留め置いておくという計算をしているとみなすことができます。つまり，双線形関数のややトリッキーな使い方になっているわけですが，　(3)，(4)　のテンソルが双線形性を備えていることには変わりないことは理解できますね。

補足：

量子力学では反変ベクトルを，

ケット　＝｜a＞＝			a1		＝a　　［縦ベクトル］
			a2
			a3

共変ベクトルは，

　ブラ　＝＜b｜＝(b₁,b₂,b₃)＝b　　［横ベクトル］

のように書きます。量子力学では一般に複素数を成分とするベクトル空間（＝ユニタリ空間Cⁿ）で考えて，縦ベクトルを横ベクトルに書き換えるときは複素共役をとる必要があります[#]。この表記では，添え字の上下はベクトルの縦横の向きから判断できるので普通は表記はしませんが，ここでは反変，共変ベクトルとの対比のために付けています。

もし，この表記において成分を実数とするユークリッド空間に制限，すなわち，a，b∈V=Rⁿ　とすれば，ブラとケットはベクトル成分を縦に並べるか横に並べるかだけの違いでしかありませんが，ケット空間をベクトル空間V ，それと同型なブラ空間を双対ベクトル空間V^* とみなすと，｜a＞はV上のベクトル変数，＜b｜は，VからVへの線形写像とみなすこともできます。（｜a＞∈V，＜b｜∈V^*ということ。）

すると，ブラ-ケットの順の計算は次のようになり， ＜b｜と｜a＞との縮約 （またはb^*とaとの内積） を計算することに相当します。(ここで，b^*は，b₁,b₂,b₃の複素共役，b^*₁,b^*₂,b^*₃　を縦に並べたベクトルです。)

(b1，b2，b3)			a1		＝b1a1＋b2a2＋b3a3　　［スカラー］
			a2
			a3

この計算から内積とはベクトルa を線形写像b によって，あるスカラーに対応させることと理解できます［標準同型対応］。

一方，ケット-ブラの順の計算（テンソル積）は，

｜a＞＜b｜＝

a1

(b1,b2,b3)　＝

a1b1

a1b2

a1b3

［２階テンソル］

a2

a2b1

a2b2

a2b3

a3

a3b1

a3b2

a3b3

となり，先程本文中で計算したとおりの２階テンソル（行列）を与えます。この行列を例えばケット｜c＞∈V に作用させると，一般に異なるケット｜a＞＜b｜c＞＝＜b｜c＞｜a＞　を生成します。つまり，｜a＞＜b｜はVからVへの線形写像を与えてます。

つまり，１階テンソルであるベクトル空間Vとその双対ベクトル空間V^*から１つずつ元をとって，内積をとれば，０回テンソルが得られ，テンソル積をとれば，２階（混合）テンソルが得られることを上の計算は示しています。

そして，このようにして得られた２階混合テンソルを（1,1）型の２階テンソルと呼びます。

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テンソルに関数　Q＆A

Q：縮約とは要するに何をしてるのですか？

一般論としては，ベクトルを変数とする（ｎ重)線形関数の計算を実行して，スカラーを返すという計算をしていることになります。添え字の上下のどちらかをベクトルと見れば他方は線形関数とみなせるのでした。ただし，高階のテンソルである場合は，１回の（１つの添え字の）縮約で，ただのスカラーになるのでなく，ベクトルやテンソルの成分」となります。特殊な場合として，１階テンソル（＝ベクトル）の場合は，縮約は内積を計算することに相当します。

基底に着目して，２次元ベクトルA，B の内積で示すと，

A･B ＝(A¹e₁＋A²e₂)･(B¹e₁＋B²e₂)　
       ＝A¹B¹g₁₁＋A¹B²g₁₂＋A²B¹g₂₁＋A²B²g₂₂　　←　ただの内積

A･B ＝ (a₁e¹＋a₂e²)･ (b₁e¹＋b₂e²)　
       ＝a₁b₁g¹¹＋a₁b₂g¹²＋a₂b₁g²¹＋a₂b₂g^j22　　　←　ただの内積

A･B ＝  (A¹e₁＋A²e₂)･(b₁e¹＋b₂e²)　
       ＝A¹b₁＋A²b₂　　　　( ∵ e^j･e_k ＝ δ_jk)　　　　　←　縮約

ただの内積では，計算結果のスカラーの表現には基底のとり方に依存する計量 g_jk＝e_j･e_k ，g^jk＝e^j･e^k　が必要ですが，縮約による場合はこれらが不要なのです。スカラーは基底の取り方に関係なく決まる量なので，縮約を使った計算はとても合理的・スマートなのです。

Q：添え字の上げ下げとはいったい何をしているのですか。

内積による同型対応が与えられているとき，（要するに普通の物理や幾何学に出てくるテンソル），考察の対象である一つの空間に基底と相反基底（=双対基底)の2通りの「基底」が用意され，ベクトルやテンソルはどちらかの「基底」を選んで表されます。計量テンソルを用いて，添え字を上下させているのはこれら2つの特殊な基底の間の基底変換をしていることに相当します。ここで特殊なと言っているのは基底変換は一般的には無数考えられるのですが，基底に対して唯一定まる双対基底との間の基底変換に限るので特殊と言っています。１階テンソル (＝ベクトル) の場合で示すと，)

x_j　＝　g_jkx^k　　計量テンソルで指標を上げる

x^j　＝　g^jkx_k　　計量テンソルで指標を下げる

x'_j ＝ p^k_jx_k　　一般的な座標(基底)変換

x'^j ＝ q^j_kx^k　　　一般的な座標(基底)変換

↑　どれも同じ形式をしてるでしょ。

Q　物理で見かけるテンソルと表記や意味が何か違う気がするのですが？

ここではベクトル（テンソル）空間について話していますが，物理で見かけると言われるテンソルは，正確にはベクトル（テンソル）場のことを言っているのだと思います。ベクトル場と，「場」がつくとと難しそうですが，空間の各点にベクトル（空間）が配置された空間がベクトル場です。

具体的な例をあげると，ある時刻の世界中の地表の風向きを記録した気象データはベクトル場です。世界の各地点で東西南北を示すための2次元ベクトル空間が配置されていると考えることができますよね。もし，各地点の雨量を記録したものならば，それはスカラー場になります。

きちんと説明するには多様体やリーマン幾何学などの知識が必要となりますが，ここでは，ベクトル空間とベクトル場のベクトル（テンソル）座標変換についての比較表を紹介しておきます。

ベクトル空間
	ベクトル空間　V		双対空間　V*
	基底　　ej		基底　　ej
基 底 変 換	e'j=pijei 共変的とする基準	ej=qije'i	e'j=qjiei	ej=pjie'i
座 標 変 換	x'j=qjixi	xj=pjix'i	x'j=pijxi	xj=qijx'i
ベクトル場
	接空間		余接空間
	基底　　　 ∂ ∂xi		基底　　　dxj
	数学（多様体）における表記例
基 底 変 換	∂ = ∂xi ∂ ∂yj ∂yj ∂xi	∂ = ∂yi ∂ ∂xj ∂xj ∂yi	dyj= ∂yj dxi ∂xi	dxj= ∂xj dyi ∂yi
座 標 変 換	ηj= ∂yj χi ∂xi	χj= ∂xj ηi ∂yi	gj= ∂xi fi ∂yj	fj= ∂yi gi ∂xj
	物理における表記例
基 底 変 換	∂ = ∂xi ∂ ∂x'j ∂x'j ∂xi e'j= ∂xi ei ∂x'j	∂ = ∂x'i ∂ ∂xj ∂xj ∂x'i ej= ∂x'i e'i ∂xj	dx'j= ∂x'j dxi ∂xi e'j= ∂x'j　 ei ∂xi	dxj= ∂xj dx'i ∂x'i ej= ∂xj　 e'i ∂x'i
座 標 変 換	x'j= ∂x'j　 xi ∂xi	xj= ∂xj　 x'i ∂x'i	x'j= ∂xi　 xi ∂x'j	xj= ∂x'i x'i ∂xj
緑=反変的， 赤=共変的　 元の座標系Σの座標 (xi)， 新しい座標系Σ’の座標=(x'i) qij　は　pij　の逆行列，　　|ej|≠1でも構わない

ベクトル空間とベクトル場での記号の対応