８　２階テンソル
f-denshi.com  最終更新日：07/10/20

１．　２階テンソルのいろいろ

［１］　２階テンソルは双線形関数を用いて定義することが本質的です。しかし，応用でよく見かける２階テンソルは必ずしもそのような形で明示されているとは限りません。多くの教科書では座標変換(基底変換)に対して成分が前章で導いたテンソルの座標変換規則，

T'jk＝ΣsΣt psjptkTst

［ 共変テンソルの座標変換　]　　⇔　ベクトル変換　 　x'j ＝ Σ pkjxk

T'jk＝ΣsΣt qjsqktTst

［ 反変テンソルの座標変換　]　　⇔　ベクトル変換　　x'j ＝ Σ qjkxk

と同じように変換されること(＝テンソル変換を受けるといいます。)をテンソルの定義としています。ここでは次の重要な写像が２階テンソルとして座標変換を受けることからこれらがテンソルであることを確認してみましょう。

(１)線形写像(行列)の座標変換

［２］　ベクトル空間 V から V への線形写像 T ： ［ベクトルx　∈V  ⇒  ベクトルy  ∈ V ］ ：

y ＝T(x )　

も２階テンソルとなります。これは，V の正規直交基底｛e₁，e₂，e₃ ｝に対して，

T(e₁)＝T¹¹e₁＋T²¹e₂ ＋T³¹e₃
T(e₂)＝T¹²e₁＋T²²e₂ ＋T³²e₃
T(e₃)＝T¹³e₁＋T²³e₂ ＋T³³e₃

のようにテンソル成分 T_jk を定義すれば，写像T，

T：　x ＝ x1e1＋x2e2＋x3e3 ＝		x1		⇒  　y ＝ y1e1＋y2e2＋y3e3 ＝		y1
		x2				y2
		x3				y3

は行列の演算規則を使って，

y ＝ T(x )
   ＝T(x¹e₁＋x²e₂＋x³e₃)
   ＝x¹T(e₁)＋ x²T(e₂)＋x³ T(e₃)
　 ＝ x¹(T¹¹e₁＋T²¹e₂＋T³¹e₃ )＋x²(T¹²e₁＋T²²e₂＋T³²e₃)＋x³(T¹³e₁＋T²³e₂＋T³³e₃)

＝ x1		T11		＋x2		T12		＋x3		T13
		T21				T22				T23
		T31				T32				T33

＝		x1T11＋x2T12＋x3T13
		x1T21＋x2T22＋x3T23
		x1T31＋x2T32＋x3T33

＝		T11 T12 T13			x1		＝ Tx      ［座標変換前］
		T21 T22 T23			x2
		T31 T32 T33			x3

と書けます。　ただし，T は T^jk を j 行 k 列成分とする正方行列。

さて，新しい正規直交基底への座標変換によって，　y　→　y '，　x　→x '　，　T　→　T'，　ただし，

y'＝　T'x '　　［座標変換後］

と表せるとします。いま，座標変換を，x ＝Px' (つまり，x' ＝P^-1x，y' ＝P^-1y )とすれば，これを［座標変換後］に代入し，左からPをかければ，

P^-1y ＝T'P^-1x　　⇒　y　＝PT'P^-1x　　

となります。これを座標変換前と比較すれば，

でなければならないことがわかります。これを成分で書く[#]と，　　

T^jk　＝p^j_sT'^{st t}(p^t_k)　＝p^j_sp^k_tT'^st　　　　　；P^-1の逆行列が^t(p^t_k)　＝p^k_t　で与えられるとしています。

となり，T^jkはテンソル変換[#]を受けることがわかります。

(２)テンソル積の座標変換

［３］　テンソル積の定義

２階テンソルは次に述べるテンソル積によってもつくられます。(２階の)テンソル積とは，ベクトルa，b　∈V　が与えられたとき，
写像 T：　x　→　y　を，

y ＝ T(x )＝a(b ･x )

と定義するとき，この写像 T(x ) を

a

b(x )

と書いて，「 ベクトルa，b のテンソル積 」と定義します。これは行列，ベクトルの演算で具体的に表すと，

T(x ) ＝a (b ･x )＝

a1

(b1x1＋b2x2＋b3x3)＝

a1

(b1,b2,b3)

x1

a2

a2

x2

a3

a3

x3

＝			a1b1	a1b2	a1b3			x1		＝Tx
			a2b1	a2b2	a2b3			x2
			a3b1	a3b2	a3b3			x3

と書くことができます。これは，

T^j_k≡a^jb_k

を成分とする行列 T による線形写像であることを意味しています。これがテンソル変換を受けることはベクトルの座標変換が，

a^j ＝ Σ_sp^j_sa'^s　および，　  b_k ＝ Σ_t q^t_kb'_t

で与えられるとき，

T^j_k＝a^jb_k＝Σ_s p^j_sa'^sΣ_tq^t_kb'_t＝Σ_sΣ_tp^j_sq^t_ka'^sb'_t＝Σ_sΣ_tp^j_sq^t_kT'^s_t

に従って座標変換されることからわかります。これはTが反変ベクトル変換と共変ベクトル変換が混じりあった混合テンソル変換を受けることを示しています。

なお，V の正規直交基底｛e₁，e₂，e₃ ｝に対して，

e_j・T(e_k)＝e_j・a(b ･e_k)＝(e_j・a )(b ･e_k)＝a_jb_k

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　テンソル不変量

テンソル成分から計算される量の中で座標に依存しないものをテンソル不変量と言います。

(１)トレース積：　　→　T　はユニタリ行列で三角行列に変換される → すべての固有値の積＝トレース積
　　　　

(２)行列式：
　座標変換式　　T' ＝ P^-1TP　より，

｜T' |＝｜P^-1|｜T｜｜P｜＝｜P^-1|｜P｜｜T｜＝｜T｜

ここで，P^-1P＝ E の行列式を考えれば，｜P^-1|｜P｜＝｜E｜＝1　であることを使っています。

成分の２乗和

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