13   同型定理
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同型の厳密な定義

定理
    2つの群GとG’が同型である必要十分条件は、φψ＝ψφ＝1　（恒等写像）となる準同形写像、

φ：  G　⇒ G’
ψ：  G’⇒ G

が存在することである。


第１同型定理
    群 G から群 G’への上への準同型写像を Φとする。H’を G’の正規部分群、また、Φ-1（H’）＝H　とすると、

G/H と G’/H’

とは同型である。

略証

H’をG’が正規部分群なので、

（１） G’/ H’　に同型な群 G”

への上への準同型写像Ψが存在する。

ここで合成写像、

Γ＝Ψ・Φ　　を考えると、これはGからG”への上への準同型写像で、HはkerΓなので、準同型定理より、

（２） G/H　はG”とは同型である。

⇒（１）、（２）よりG/H と G’/H’は同型。

第２同型定理
    群 G から正規部分群を H、また、Gの任意の部分群を S とする。このとき、

S∩H  は S の正規部分群

であって、

SH/H  と S/S∩H

とは同型である。



定理
    任意の群 は変換群のある部分群のひとつと同型である。