13   同型定理
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同型の厳密な定義

定義
    2つの群GとG’が同型である必要十分条件は，φψ＝ψφ＝1　（恒等写像）となる準同形写像，

φ：  G　⇒ G’
ψ：  G’⇒ G

が存在することである。


これはこれでいいでしょう。

第１同型定理
    群 G から群 G’への上への準同型写像を Φとする。H’を G’の正規部分群，また，Φ-1（H’）＝H　とすると，

G/H と G’/H’

とは同型である。

略証

右図を参考にしてください。

H’をG’が正規部分群なので，

（１） G’/ H’　に同型な群 G”

への上への同型写像Ψ’が存在する。

次に合成写像，

Γ＝Φ’・Φ　　を考えると，これはGからG”への上への準同型写像で，H∈GはkerΓなので，準同型定理より，

（２） G/H　からG”とは同型写像Ψが存在する。

⇒（１），（２）よりG/H と G’/H’は同型。


具体例　　次の加群を考えよ。
↑　百聞は一見に如かず！

第２同型定理
    群 G から正規部分群を H，また，Gの任意の部分群を S とする。このとき，

H∩S  は S の正規部分群

であって，

HS/H  と S/(H∩S)

とは同型である。　　　(　加群の記号では，SH ⇔ S+H　)


具体例　　下をみよ。・・・・・右を見よ。　　一番したの囲みを見よ

加群 ｛元｝
G Z z
S 20Z 20p
H 12Z 12q
H∩S 60Z 60r
H＋S 4Z 4z
z，p，q，r　∈　整数

4Z/12Z　＝　20Z/60Z




定理
    任意の群 は変換群のある部分群のひとつと同型である。
これはでっかい定理だ。