５-2　直交曲線座標(補足･証明)
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公式３の証明

公式３-(1)

∂eu ＝− 1 ･ ∂hu ev− 1 ･ ∂hu ew　　　････[**]
∂u hv ∂v hw ∂w
∂eu ＝ 1 ･ ∂hv ev  　　　　　　　　　･･･････[*]
∂v hu ∂u
∂eu ＝ 1 ･ ∂hw ew
∂w hu ∂u

証明　どれも同じような計算をするだけなので，[*]と[**]について示します。

r が連続微分可能[#]という条件下では，

∂ 　 ∂r ＝ ∂ 　 ∂r
∂v ∂u ∂u ∂v
とすることができます。したがって，　 ∂r ＝hueu と
∂u
∂r ＝hvev　とから，
∂v
∂ ∂r ＝ ∂ (hueu)＝ ∂hu eu＋hu ･ ∂eu
∂v ∂u ∂v ∂v ∂v
∂ ∂r ＝ ∂ （hvev）＝ ∂hv ev＋hv ･ ∂ev
∂u ∂v ∂u ∂u ∂u

の右辺は等しく，

∂hu eu＋hu ･ ∂eu ＝ ∂hv ev＋hv ･ ∂ev
∂v ∂v ∂u ∂u
この両辺に ev をかけて(内積をとって)，ev･eu＝ 0， ∂ev ･ev ＝ 0 [#] に注意すれば，
∂u
hu 　 ∂eu ev＝ ∂hv →
書き直して		 ∂eu ＝ 1 ･ ∂hv ev  　　　････　[*]
∂v ∂u ∂v hu ∂u

が得られます。公式３の対角線上にない公式はすべて同様に証明できます。省略しますが，以下できたと仮定して話を進めます。

(以下，10/8/21追加)

次に，対角線上にある公式の１つとして，[**]の証明は，公式１−（１）の左１番上[#]から， ∂eu とeu は垂直なので，
∂u

係数をA，Bを用いて，

∂eu ＝Aev＋Bew　　　　　　　　　　･････[***]
∂u

とおくことができ，この係数A，Bを決めてやればよいでしょう。まず，[***]にevをかけると

∂eu ev＝A
∂u

ところが，Aと等しいこの左辺は公式２の左１番上[#]を用いると，

∂eu ev＝−eu・ ∂ev
∂u ∂u

さらに，公式３の（２）の１番左[#]を用いると，

＝−eu･ 1 ∂hu eu ＝− 1 ∂hu
hv ∂v hv ∂v

これがAです。Bについては[***]にewをかけて同様に計算すればよいでしょう。これで[**]の証明終了です。

他の対角線上に並ぶ公式，公式３の（２）の真中，（３）の左も[**]の証明と同様です。

以上，追加分。

直交曲線座標系での発散

divA ＝ ∇A ＝ 　　1 ∂(hvhwAu) ＋ ∂(hwhuAv) ＋ ∂(huhvAw)
huhvhw 　　　∂u 　　　∂v 　　　∂w

の証明です。　まず[#]，

∇＝ eu ∂ ＋ev ∂ ＋ew ∂
hu∂u hv∂v hw∂w
A  ＝Aueu＋Avev＋Awew

と分配法則を用いれば，

∇A  ＝∇･(Aueu＋Avev＋Awew)
    ＝{(∇Au)･eu＋Au(∇･eu)} ＋ {(∇Av)･ev＋Av(∇･ev)} ＋ {(∇Aw)･ew＋Aw(∇･ew)}

という６つの項が現れます。そこで，

第１項

(∇Au)･eu ＝ 1 ･ ∂Au eu＋ 1 ･ ∂Au ev＋ 1 ･ ∂Au ew ･eu ＝　 1 ･ ∂Au
hu ∂u hv ∂v hw ∂w hu ∂u
         ＝　 (hvhw) ･ ∂Au
huhvhw ∂u

第２項

 Au(∇･eu)  ＝Au eu ･ ∂ eu＋ ev ･ ∂ eu＋ ew ･ ∂ eu
hu ∂u hv ∂v hw ∂w
                   ↓　　 公式３の(1)を用いて,
            ＝Au eu ･ ∂ eu＋ ev ･   ∂hv ev＋ ew ･ ∂hw ew
hu ∂u hv hu∂u hw hu∂u
            ＝Au 0   ＋   1 ･ ∂hv ＋ 1 ･ ∂hw
hvhu ∂u hwhu ∂u
　　　　　  ＝ Au ･ ∂(hvhw)
huhvhw ∂u

これから，第１＋第２項は，

　第１項＋第２項＝　 1 ･ ∂(Auhvhw)
huhvhw ∂u

同様に　公式３ の(2)，(3)を用いて，

　第３項＋第４項＝　 1 ･ ∂(huAvhw)
huhvhw ∂v
　第５項＋第６項＝　 1 ･ ∂(huhvAw)
huhvhw ∂w

が得られます。これらを全部，足し合わせれば,∇Aの右辺となります。

直交曲線座標系での回転

rotA＝ ∂(hwAw) − ∂(hvAv) eu＋ ∂(huAu) − ∂(hwAw) ev＋ ∂(hvAv) − ∂(huAu) ew
hvhw∂v hvhw∂w hwhu∂w hwhu∂u huhv∂u huhv∂v

の証明です。

∇＝ eu ∂ ＋ev ∂ ＋ew ∂ 　；　A  ＝Aueu＋Avev＋Awew　
hu∂u hv∂v hw∂w

分配法則を使って，

∇×A ＝∇×(Aueu＋Avev＋Awew)
      ＝　−{(eu×∇)Au＋(ev×∇)Av＋(ew×∇)Aw}
　　　　　　　　　　　　　　　　　＋{(Au(∇×eu)＋Av(∇×ev)＋Aw(∇×ew)}
      ＝−{*}＋{**}

まず，１つ目の中括弧{*}は，eu×ev＝ew，ev×ew＝eu ，ew×eu＝ev [#]　をもちいると，

(eu×∇)Au＝ eu× eu ∂ ＋ev ∂ ＋ew ∂ Au
hu∂u hv∂v hw∂w
         ＝ 0 ＋ew ∂Au −ev ∂Au
hv∂v hw∂w

および，同様に計算した，

(ev×∇)Av＝−ew ∂Av ＋eu ∂Av
hu∂u hw∂w
(ew×∇)Aw＝ev ∂Aw −eu ∂Aw
hu∂u hv∂v

の３つの項からなるので，

−{*}＝

 ∂Aw − ∂Av eu＋ ∂Au − ∂Aw ev＋ ∂Av  − ∂Au ew
hv∂v hw∂w hw∂w hu∂u hu∂u hv∂v

となります。

一方，２番目の中括弧{**}の第１項は，公式３ の(2),(3),(1)[#]を用いて，

Au(∇×eu)＝Au eu ∂ ＋ev ∂ ＋ew ∂ ×eu
hu∂u hv∂v hw∂w
           ＝Au eu× ∂eu ＋ev× ∂eu ＋ew× ∂eu
hu∂u hv∂v hw∂w
           ＝Au eu× ∂eu ＋ev× 1 ･ ∂hv ev ＋ew× 1 ･ ∂hw ew
hu∂u hvhu ∂u hwhu ∂u
           ＝ Au eu× ∂eu  ＋ 0 ＋ 0
hu ∂u
           ＝ Au eu× − 1 ･ ∂hu ev− 1 ･ ∂hu ew
hu hv ∂v hw ∂w
           ＝ − Au ･ ∂hu ew＋ Au ･ ∂hu ev
huhv ∂v huhw ∂w

および，第２，３項も公式３を用いて，

Av(∇×ev)＝ Av ･ ∂hv ew− Av ･ ∂hv eu
hvhu ∂u hvhw ∂w
Aw(∇×ew)＝ Aw ･ ∂hw eu− Aw ･ ∂hw ev
hwhv ∂v hwhu ∂u

したがって，

{**}  ＝   Aw ･ ∂hw − Av ･ ∂hv eu
hwhv ∂v hvhw ∂w
          ＋ Au ･ ∂hu − Aw ･ ∂hw ev＋ Av ･ ∂hv − Au ･ ∂hu ew
huhw ∂w hwhu ∂u hvhu ∂u huhv ∂v

先程の計算と合わせて，

−{*}＋{**} ＝

 hw∂Aw − hv∂Av eu＋ Aw ･ ∂hw − Av ･ ∂hv eu ＋　･････
hvhw∂v hvhw∂w hwhv ∂v hvhw ∂w
             ＝ 1 ∂ (hwAw)− ∂ (hvAv) eu
hvhw ∂v ∂w
　　　           ＋ 1 ∂ (huAu)− ∂ (hwAw) ev＋ 1 ∂ (hvAv)− ∂ (huAu) ew
hwhu ∂w ∂u huhv ∂u ∂v

証明，終わり


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